山东省日照市五莲县2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

五莲县2020-2021学年高二下学期期中考试

         数学试题             2021.04

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列可作为数列1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是

A．                      B．

C．                      D．

2．在等差数列中，，是方程的两根，则

A． B． C．            D．

3．函数的单调递减区间为

A．[－1,1]        B．(0,1]           C． [1,+)    D．(0,+)

4．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是

A．  B．  C．  D．

5．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（参考数据：，）

A．4 B．5 C．6 D．7

6．已知，为自然对数的底数，则

A.              B.                C.            D.

7．已知，若数列是递增数列，则实数的取值范围为

A． B． C．        D．

8．设函数，则满足的取值范围是

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示．

现有下列四种说法正确的有

A．前四年该产品产量增长速度越来越快 B．前四年该产品产量增长速度越来越慢

C．第四年后该产品停止生产 D．第四年后该产品年产量保持不变．

10．数列是首项为1的正项数列，，是数列的前项和，则下列结论正确的是

A． B．数列是等比数列

C． D．

11．对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，是数列的“谷值点”，在数列中，若，则数列的“谷值点”为

A． B． C． D．

12．已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线，切点为.则下列结论正确的是

A．数列的通项为            B．数列的通项为

C．当时， D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数在点处的切线斜率为________.

14．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个整数中能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为_________.

15．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是__________.

16．已知函数若时，恒成立，则实数的最小值为__________.

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）

在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一种情况解答给分）

已知等比数列的各项均为正数，且，________．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列前项和.

18．（12分）

设与是函数的两个极值点.

（1）试确定常数和的值；

（2）设，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.

19．（12分） 

为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．

（1）求，，；

（2）求数列的前项和．

20．（12分）

在数列中，， ．

（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）已知数列的前项和为，且数列满足，若不等式对一切 恒成立，求的取值范围.

21．（12分）

如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地米， 米，以为直径的半圆和半圆（半圆在矩形内部）为两个半圆形水上主题乐园，都建有围墙，游客只能从线段处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着修建不锈钢护栏，沿着线段修建该主题乐园大门并设置检票口，其中分别为上的动点，//，且线段与线段在圆心和连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为元/米，直线部分的平均修建费用为元/米.

（1）若米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米

（2）试确定点的位置，使得修建费用最低.

22．（12分）

    已知．

（1）设曲线在点处的切线为，若，求直线斜率的取值范围；

（2）设

① 讨论的极值点个数；

② 若有个极值点（其中）证明：．

五莲县2020-2021学年高二下学期期中考试

             数学参考答案                      2021.04

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

答案  BCBD,  CABA

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．【答案】BD，10．【答案】．AB，11．【答案】AD，12． 【答案】．ABD，

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．【答案】；   14．【答案】135；   15．【答案】；    16．【答案】；

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）解：（1）设等比数列的公比为，则．

若选择条件①，则， 即是：                                 

解得，                                          …………….. 4分

；                            …………….. 6分

若选择条件②，由题意得，

解得，                                      …………….. 4分

因此，；                      …………….. 6分

（2），                          …………….. 8分

所以，

所以，数列是等差数列，首项为，                

设数列前项和为，则

。                   …………….. 10分

18．（12分）【答案】（1） ，       

由题意可知：;

.                              ……………6分

（2）,  

所以：，，，            …………….8分

从而切线方程是 ，                      ……………10分

在轴上的截距是，在轴上的截距是；    

所以：三角形面积是：.                   ……………….12分

19．（12分）【解析】（1）设的公差为，，

∴，∴，∴．       ……………2分 

∴，                              ……………3分

，                              ……………4分

．                           ……………5分

（2）记的前项和为，则

．

当时，；               ……………6分

当时，；             ……………7分

当时，；           ……………8分

当时，．                         ……………9分

∴．            ……………12分

20．（12分） 解：（1）因为…2分 

所以数列是公差为1，                                       …3分

首项为的等差数列，                                        …4分

所以．                                       …………………..5分

所以数列的通项公式为.                 …………………..6分

  （2）由题干知：，

令               ①

则             ②     

① -②得      

所以                       

∴，                …….10分

若为偶数，则，∴；       

若为奇数，则，∴，∴.

综上，.                                     …………….12分

21．（12分）【答案】（1）；（2）当为时，修建费用最低.

(1)    如图，设直线矩形交于两点，连，

因为米，则米，米．    ………..2分

梯形的面积为平方米， ………..3分

矩形的面积为平方米，           

由，得扇形和扇形的面积均为：平方米，                              

故阴影部分面积为平方米．            ………..6分

(2) 设，则，

所以，

修建费用，

所以，

令,得，                          ……….10分

当变化时,的变化情况如下表：

由上表可得当时，即，有极小值,也为最小值．

故当为时,修建费用最低．                …………….12分

22．（12分）（1）解：当时，

又 时，时，  

即是：在单调递减，在单调递增，

所以：

即斜率的取值范围是；            ……………………………..4分

（2）

所以：，即：不是的零点。

，    

的极值点的个数即为函数的变号零点个数，

令，，

故在上单调递减，上单调递增，

在上单调递减，且当x＜0时，m（x）＜0．

即，  

根据与的交点个数可得：    

1)        当时，有2个极值点，

2)        当时，只有1个极值点，

3)        当时，有3个极值点．                       …………8分

②证明：因为有3个极值点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），

此时，，x1，x2，x3的位置如右图所示：

所以，且x2＝1，即得，   

要证，即         

由，得，设，k＞1，

 则，所以x3﹣x1＝lnk，                  

联立，得，所以，

所以要证x1x3＜1，只需，k＞1，                ……………….10分

则有，即，则需证明．

令，t＞1，即需证明．

因为恒成立，

所以h（t）在t∈（1，+∞）上是单调递减函数，则有，

即成立，所以x1x3＜1，即得以证明． ………12分