安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

育才学校2020-2021学年度第二学期期中考试

     高二数学理科试卷  

一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)

1.已知是的共轭复数，则(   )

A．            B．            C．              D．1

2.从甲、乙两种玉米苗中各抽10株,测得它们的株高分别如下:(单位:cm)

根据上表数据估计(   )

A.甲种玉米比乙种玉米不仅长得高而且长得整齐B.乙种玉米比甲种玉米不仅长得高而且长得整齐
C.甲种玉米比乙种玉米长得高但长势没有乙整齐D.乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐

3.如图所示，5组数据中去掉后，下列说法错误的是(   )

A.相关系数r变大                                   B.残差平方和变大

C.相关指数变大                                 D.解释变量x与预报变量y的相关性变强

4.已知球O的半径，三棱锥内接于球O,平面，且，则直线与平面所成角的正弦值为(   )
A. B. C. D.

5.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程,则实数应满足(   )

A. B. C. D.

6.已知平面内的两个向量,且.若为平面的法向量,则的值分别为(   )

A. B. C.1,2 D.

7.下列命题：

①若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；

②在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；

③若两个变量间的线性相关关系越强，则相关系数r的值越接近于1;

④对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大.其中正确的命题序号是（    ）

A．①②③ B．①② C．①③④ D．②③④

8.已知，若共面，则实数的值为(    )

A. B.14 C.12 D.

9.已知平面的一个法向量,点在平面内,则点到平面的距离为(   )A.10 B.3 C. D.

10.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是(   )

①若的观测值满足,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;

②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病;

③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误.

A.①         B.①③       C.③         D.②

11.已知空间点,则的最小值是(     )

A．     B．     C．     D．

12.若平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与夹角的余弦是(   )

A. B. C. D.

二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)

13.在复平面上内,一个正方形的三个顶点对应的复数分别为,则第四个顶点对应的复数为_____________.

14.已知复数z，且，则的最小值是___________.

15、已知空间三点的坐标为A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2),若A,B,C三点共线,则p=______,q=______.

16.以模型去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设,其变换后得到线性回归方程,则______________.

三、解答题(共6小题，10+12*5，共70分)

17.已知复数,当实数m为何值时:

(1)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数;(4)复数z对应的点Z在第四象限.

18.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图，如图

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.

19.某校为了加强体能训练,利用每天下午15-16点进行大课间活动.为了了解学生适应情况,他们采用给活动打分的方式(分数为整数,满分100分).从中随机抽取一个容量为120的样本,发现所给数据均在内,现将这些数据分成6组并绘制出如图所示的样本频率分布直方图.

（I）请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（Ⅱ）在该样本中，经统计有男同学70人，其中40人打分在，女同学50人，其中20人打分在，根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有的把握认为“对大课间活动的适应性跟性别有关”(分数在内认为适应大课间活).

附:.

20.某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

附：对于一组数据，其回归直线的斜率的最小二乘估计值为；       本题参考数值．

（1）若销量y与单价x服从线性相关关系，求该回归方程；

（2）在（1）的前提下，若该产品的成本是5元/件，问：产品该如何确定单价，可使工厂获得最大利润.

21.如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，，分别为AB,PC的中点.
（1）证明：平面PAD；

（2）当PC与平面PAB所成角为45°时，求二面角的余弦值.

22.如图，在三棱柱中，侧棱平面为等腰直角三角形，，且分别是的中点.

（1）若D是的中点，求证：平面AEF.

（2）线段AE（包括端点）上是否存在点M，使直线与平面AEF所成的角为60°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由

. 参考答案

1.答案：D

解析：，

∴，

∴，

∴，

故选：D.

2.答案：D

解析：∵

=

∴<,即乙种玉米的苗长得高.

∵,即甲种玉米的苗长得整齐.

综上,乙种玉米的苗长得高,甲种玉米的苗长得整齐.

故选D.

3.答案：B

解析：

4.答案：D

解析：本题考查三棱锥的外接球以及线面角的求解.如图，取的中点D，连接，，由，得；因为平面,平面，所以；因为，所以平面，故为与平面所成角.设的外接圆圆心为，半径为r，连接，则，即，解得.所以，所以.由题可知，则，所以，故选D.
 

5.答案：A

解析：依题意，，故，解得.

6.答案：A

解析：.由为平面的法向量,得,即,解得.

7.答案：B

解析：①若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，由方差的计算公式可得样本的方差不变，故正确；

②在残差图，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，故正确；

③r的绝对值越接近于1，故错误；④对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越大，判断“X与Y有关系”的把握越大，故错误.故选：B．

8.答案：B

解析：

9.答案：D

解析：由,得点到平面的距离.

10.答案：C

解析：要正确认识观测值的意义,
观测值同临界值进行比较得到一个概率,这个概率是推断出错误的概率,
若的观测值为,
我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,
但不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病,故①不正确.
也不表示某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病,故②不正确.
若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,
是指有5%的可能性使得推判出现错误,③正确.
故选C.

11.答案：C

解析：

12.答案：D

解析：

13.答案：

解析：.
设复数,它们在复平面上的对应点分别是,∴.又直线AC,BC的斜率之积为-1，.
设正方形ADBC的第四个顶点对应的坐标是,
∴,∴,∴,∴.∴第四个顶点对应的复数为.

14.答案：4

解析：方法一：∵复数z满足，
，
的最小值是4.
方法二：复数z满足，复数z的对应点的集合是以原点为圆心，1为半径的圆.则表示复数对应的点Z与点之间的距离，圆心O到点之间的距离，的最小值为.

答案： 15、

16.答案：

解析：∵,∴两边取对数,可得,令,可得,∵,∴,∴.

17.答案：(1)由,得或.

所以当或时,z为实数.

(2)由,得或.

所以,当或时,z为虚数.

(3)由得.所以,当时,z为纯虚数.

(4)由得.

所以,当时,复数z对应的点Z在第四象限.

解析：

18.答案：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160-179之间，而乙班身高集中于170-180之间，因此乙班平均身高高于甲班。

(2)

甲班的样本方差为

(3)设身高为176cm的同学被拍中的事件为A。

从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：,共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；

解析：

19.答案：（I）设内的高为h，则,
，
故补全样本频率分布直方图如图所示.

由,
,
可得中位数为75.
平均数.
（Ⅱ）根据题中的数据得到2×2列联表：

,
故有的把握认为“对大课间活动的适应性跟性别有关”.

解析：

20.答案：（1）∵

又

所以

故回归方程为.

（2）设该产品的售价为x元，工厂利润为L元，当时，利润，定价不合理.

由得，故

，当时，取得最大值.

因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元

解析：

21.答案：(1)【证明】取PD的中点G，连接NG，AG.
为PC的中点，
且，
又四边形ABCD为菱形，M为AB的中点，
且，
且四边形AMNG为平行四边形，
又平面平面PAD，
干面PAD.
(2)【解】连接CM，PM，
，
为等边三角形，
又为AB的中点，.
平面又
平面PAB，
与平面PAB所成角为即
.
设则
又，即.
以点A为原点，垂直AD的直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.

设平面NMD的法向量为，
则即
令得.
显然平面BMD的一个法向量为，，
由图可知，二面角是锐二面角，
故二面角的余弦值为.

解析：

22.答案：（1）【证明】如图，连接.

因为D,E分别是的中点，

所以.

因为平面平面，

所以平面.

因为E,F分别是的中点，

所以.

因为平面平面，

所以平面.

又平面平面AEF，

所以平面平面.

又平面，

所以平面AEF.

（2）【解】由题意得两两互相垂直，故以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则.

则.

设平面AEF的法向量为，

则由得

令，得，

所以平面AEF的一个法向量为.

设，又，

所以.

若直线与平面AEF所成的角为60°，

则

，

解得或，即当点M与点A重合或时，直线与平面AEF所成的角为60°.

解析：