高考数学(文数)二轮专题复习大题规范练习02（教师版）

大题规范练(二)

解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．(本题满分12分)设公差不为零的等差数列{an}的前5项和为55，且a2，，a4－9成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜.

解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

则

⇒或(舍去)．

故数列{an}的通项公式为an＝7＋2(n－1)，即an＝2n＋5.

(2)证明：由an＝2n＋5，得

bn＝＝

＝.

所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋

＝＜.

2．(本题满分12分)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．

(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；

(2)将y表示为x的函数；

(3)根据直方图估计利润y不少于4 000元的概率．

解：(1)由频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x的众数是150盒，

需求量在[100，120)内的频率为0.005 0×20＝0.1，

需求量在[120，140)内的频率为0.010 0×20＝0.2，

需求量在[140，160)内的频率为0.015 0×20＝0.3，

需求量在[160，180)内的频率为0.012 5×20＝0.25，

需求量在[180，200]内的频率为0.007 5×20＝0.15.

则平均数x＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)．

(2)因为每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，

所以当100≤x＜160时，y＝30x－10×(160－x)＝40x－1 600，

当160≤x≤200时，y＝160×30＝4 800，

所以y＝

(3)因为利润y不少于4 000元，所以当100≤x＜160时，由40x－1 600≥4 000，解得160＞x≥140.

当160≤x≤200时，y＝4 800＞4 000恒成立，所以200≥x≥140时，利润y不少于4 000元．

所以由(1)知利润y不少于4 000元的概率P＝1－0.1－0.2＝0.7.

3．(本题满分12分)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，E为AC与BD的交点，PA⊥平面ABCD，M为PA中点，N为BC中点，连接MN.

(1)证明：直线MN∥平面PCD；

(2)若点Q为PC中点，∠BAD＝120°，PA＝，AB＝1，求三棱锥A­QCD的体积．

解：(1)取PD中点R，连接MR，RC(图略)，∵MR∥AD，NC∥AD，MR＝AD，NC＝AD，∴MR∥NC，MR＝NC，

∴四边形MNCR为平行四边形，

∴MN∥RC，又RC⊂平面PCD，MN⊄平面PCD，

∴直线MN∥平面PCD.

(2)由已知条件得AC＝AD＝CD＝1，∴S△ACD＝，

∴VA­QCD＝VQ­ACD＝×S△ACD×PA＝.

选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.

(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2交于A，B两点，点P的极坐标为，求＋的值．

解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t可得，曲线C1的普通方程为4x＋3y－2＝0；

由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得，曲线C2的直角坐标方程为y＝x2.

(2)由点P的极坐标为可得点P的直角坐标为(2，－2)．曲线C1的参数方程为(t为参数)，代入y＝x2得9t2－80t＋150＝0，

设t1，t2是点A，B对应的参数，则t1＋t2＝，t1t2＝＞0.

∴＋＝＝＝.

5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|，g(x)＝|x－a|＋|x＋a|.

(1)解不等式f(x)＞9；

(2)∀x1∈R，∃x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围．

解：(1)f(x)＝

f(x)＞9等价于或或

综上，原不等式的解集为{x|x＞3或x＜－3}．

(2)∵|x－a|＋|x＋a|≥2|a|.

由(1)知f(x)≥f＝，

所以2|a|≤，

所以实数a的取值范围是.