高考数学(文数)二轮专题复习大题规范练习03（教师版）

大题规范练(三)

解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．(本题满分12分)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD＝∠CDE＝，∠BAE＝，DE＝3BC＝3CD＝km.

(1)求道路BE的长度；

(2)求生活区△ABE面积的最大值．

解：(1)如图，连接BD，在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD

cos∠BCD＝，∴BD＝ km.

∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝＝，

又∠CDE＝，∴∠BDE＝.

∴在Rt△BDE中，BE＝

＝＝(km)．

故道路BE的长度为 km.

(2)设∠ABE＝α，∵∠BAE＝，∴∠AEB＝－α.

在△ABE中，易得＝＝＝＝，

∴AB＝sin，AE＝sin α.

∴S△ABE＝AB·AEsin＝sinsin α＝≤＝(km2)．

∵0＜α＜，∴－＜2α－＜.

∴当2α－＝，即α＝时，S△ABE取得最大值，最大值为 km2，

故生活区△ABE面积的最大值为km2.

2．(本题满分12分)一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄(单位：岁)在[20，60]内的顾客中，随机抽取了180人，调查结果如下表：

(1)为推广移动支付，商场准备对使用移动支付的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该商场预计有12 000人(年龄在[20，60]内)购物，试根据上述数据估计该商场当天应准备多少个环保购物袋．

(2)某机构从被调查的使用移动支付的顾客中，按分层抽样的方式选出7人进行跟踪调查，并给其中2人赠送额外礼品，求获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的概率．

解：(1)由表可知，该日该商场使用移动支付的顾客人数与顾客总人数之比为7∶12，

若某日该商场有12 000人购物，则估计该商场要准备环保购物袋的个数为12 000×＝7 000.

(2)由题知，抽样比为1∶15，所以应从年龄在[20，30)内的顾客中选出3人，[30，40)内的顾客中选出2人，[40，50)内的顾客中选出1人，[50，60]内的顾客中选出1人．

记从年龄在[20，30)内的顾客中选出的3人分别为A，B，C，其他4人分别为a，b，c，d，从7个人中选出2人赠送额外礼品，有以下情况：AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Ca，Cb，Cc，Cd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共21种，

其中获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的情况有3种，

所以获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的概率为＝.

3．(本题满分12分)如图所示，△ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且AB⊥BC，AB＝BC＝2，∠BCD＝60°，点M为BE的中点，点N在线段AC上．

(1)若＝λ，且DN⊥AC，求λ的值；

(2)在(1)的条件下，求三棱锥B­DMN的体积．

解：(1)如图，取BC的中点O，连接ON，OD，因为四边形BCDE为菱形，∠BCD＝60°，

所以DO⊥BC，

因为△ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，所以DO⊥平面ABC，

因为AC⊂平面ABC，所以DO⊥AC，

又DN⊥AC，且DN∩DO＝D，所以AC⊥平面DON，

因为ON⊂平面DON，所以ON⊥AC，

∴△OCN∽△OBA，∴＝＝，

由O为BC的中点，AB＝BC，可得NC＝AC，

所以＝3，即λ＝3.

(2)由平面ABC⊥平面BCDE，AB⊥BC，可得AB⊥平面BCDE，

由AB＝2，＝3，可得点N到平面BCDE的距离h＝AB＝，

由∠BCD＝60°，点M为BE的中点，可得DM⊥BE，

且DM＝＝＝，

所以△BDM的面积S＝×DM×BM＝，

所以三棱锥B­DMN的体积VB­DMN＝VN­BDM＝Sh＝××＝.

选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cos θ.直线l交曲线C于A，B两点．

(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设点P的直角坐标为(－2，－4)，求点P到A，B两点的距离之积．

解：(1)由直线l的参数方程为(t为参数)，得直线l的普通方程为x－y－2＝0.

∴直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－2＝0.

易得曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.

(2)∵直线l：x－y－2＝0经过点P(－2，－4)，

∴直线l的参数方程为 (T为参数)．

将直线l的参数方程代入y2＝2x，化简得

T2－10T＋40＝0，∴|PA|·|PB|＝|T1T2|＝40.

5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x－1|＋a.

(1)当a＝0时 ，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若对任意的x∈R，都有f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)得|2x＋1|≥|x－1|，

两边平方，整理得x2＋2x≥0，解得x≥0或x≤－2，

所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)．

(2)由f(x)≥g(x)得a≤|2x＋1|－|x－1|，

令h(x)＝|2x＋1|－|x－1|，

则h(x)＝

 所以h(x)min＝h＝－.

故所求实数a的范围为.