高考数学(文数)二轮专题复习大题规范练习04（教师版）

大题规范练(四)

解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．(本题满分12分)已知数列{an}满足a1＝1，an≠0，且an＋1－an＋3an＋1an＝0.

(1)证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{an·an＋1}的前n项和Sn.

解：(1)由an≠0，an＋1－an＋3an＋1an＝0可得－＋3＝0，即＝＋3.

所以数列是公差d＝3，首项＝＝1的等差数列，

故＝1＋3(n－1)＝3n－2，

所以an＝.

(2)由(1)知，an·an＋1＝×＝＝.

故数列{an·an＋1}的前n项和

Sn＝＋＝

＝＝.

2．(本题满分12分)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，且AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，侧棱A1A⊥底面ABCD，E为棱AA1的中点．

(1)证明：B1C1⊥CE；

(2)求点C到平面B1C1E的距离．

解：(1)由题易知侧棱CC1⊥平面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，

∴CC1⊥B1C1.

∵AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，且E为棱AA1的中点，

∴B1E＝，B1C1＝，EC1＝，

则B1E2＝B1C＋EC，

∴B1C1⊥C1E.

又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，

∴B1C1⊥平面CC1E.

又CE⊂平面CC1E，

∴B1C1⊥CE.

(2)解法一：由(1)知，S△B1C1E＝B1C1·EC1＝××＝，

VB1­CC1E＝B1C1·S△CC1E.

取CC1的中点M，连接EM(图略)，设点C到平面B1C1E的距离为d.

∵CE＝C1E，∴EM⊥CC1，

∴S△CC1E＝CC1·EM＝CC1·

＝×2× ＝，

∴VB1­CC1E＝××＝，

VC­B1C1E＝d·S△B1C1E＝d.

由VC­B1C1E＝VB1­CC1E，得d＝，解得d＝.

∴点C到平面B1C1E的距离为.

解法二：由(1)知，S△B1C1E＝B1C1·EC1＝××＝，

VB1­CC1E＝B1C1·S△CC1E.

∵AA1∥CC1，AA1⊄平面B1CC1，CC1⊂平面B1CC1，

∴AA1∥平面B1CC1.

连接A1C1，则VE­B1CC1＝VA1­B1CC1＝VC­A1B1C1＝CC1·S△A1B1C1＝×2××2×1＝.

设点C到平面B1C1E的距离为d，

由VC­B1C1E＝VE­B1CC1，得d·＝，

解得d＝，

∴点C到平面B1C1E的距离为.

3．(本题满分12分)2018年“双十一”网购节结束后，规定：“双十一”当天网络购物消费600元以下(含600元)者被称为“理智购物者”，超过600元者被网友形象地称为“剁手党”．某公司某人从“双十一”当天该公司的网购者中随机抽取了140人进行分析，得到下表(单位：人)：

(1)根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为是否为“剁手党”与性别有关？

(2)用频率估计概率，若“双十一”当天该公司的网购者共有2 800人，其中女性“剁手党”平均每人消费1 000元，男性“剁手党”平均每人消费800元，试估计其中所有的女性“剁手党”比所有的男性“剁手党”平均多消费的金额；

(3)现从“剁手党”中按分层抽样的方法选出7人进一步调查，再从这7人中随机选出2人谈心得，试求选出的2人中至少有1人是女性的概率．

参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

参考数据：

解：(1)由列联表可知K2＝≈11.667＞6.635.

所以能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为是否为“剁手党”与性别有关．

(2)由题中表格可知，女性“剁手党”所占的频率为＝，男性“剁手党”所占的频率为＝，

利用频率估计概率，可以估计，2 800人中，女性“剁手党”人数为2 800×＝1 000，

男性“剁手党”人数为2 800×＝400，

因为1 000×1 000－400×800＝680 000，

所以估计其中所有的女性“剁手党”比所有的男性“剁手党”平均多消费了680 000元．

(3)依题意可知，所抽取的7人中，男性有7×＝2(人)，女性有7×＝5(人)．

设这7人中的2位男性为a，b，5位女性为c，d，e，f，g，则从这7人中任选2人的基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(a，g)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(b，g)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(c，g)，(d，e)，(d，f)，(d，g)，(e，f)，(e，g)，(f，g)，共21个，

其中全为男性的基本事件有(a，b)，共1个，

故选出的2人中至少有1人是女性的概率P＝1－＝.

选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＋6sin θ＝0.

(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)若直线l与圆C相交于M，N两点，求△MNC的面积．

解：(1)将直线l的参数方程消去参数t，得y＝－1＋2x，

整理得直线l的普通方程为2x－y－1＝0.

由圆C的极坐标方程为ρ＋6sin θ＝0，得ρ2＋6ρsin θ＝0.

将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ代入，得x2＋y2＋6y＝0，

故圆C的直角坐标方程为x2＋(y＋3)2＝9.

(2)由(1)知，圆C的圆心C(0，－3)，半径r＝3，

则圆心C到直线l的距离d＝＝.

所以|MN|＝2＝2＝.

所以△MNC的面积S＝|MN|×d＝××＝.

5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝2|x|＋|x－3|.

(1)解关于x的不等式f(x)＜4；

(2)若a，b，c都是正实数，且＋＋＝f(0)，求证：3a＋2b＋c≥3.

解：(1)①当x≤0时，不等式可化为－2x－(x－3)＜4，解得x＞－，

故此时不等式的解集为；

②当0＜x＜3时，不等式可化为2x－(x－3)＜4，解得x＜1，

故此时不等式的解集为{x|0＜x＜1}；

③当x≥3时，不等式可化为2x＋(x－3)＜4，解得x＜，

显然与x≥3矛盾，故此时不等式无解．

综上，不等式的解集为.

(2)因为＋＋＝f(0)＝3，

所以3a＋2b＋c＝(3a＋2b＋c)×＝

≥×(3＋2＋2＋2)＝3，

当且仅当3a＝2b＝c，即a＝，b＝，c＝1时等号成立．