高考数学(文数)二轮专题复习小题提速练习卷08（教师版）

小题提速练(八)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知复数z＝(b∈R)的实部和虚部相等，则b＝(　　)

A．－1　　　　　　　 B．1

C．2  D．－2

解析：选B.复数z＝＝＝－b－i，因为复数z的实部和虚部相等，所以b＝1.

2．已知集合A＝{x|x2＞1}，B＝{x|(x2－1)(x2－4)＝0}，则集合A∩B中的元素个数为(　　)

A．2  B．1

C．3  D．4

解析：选A.A＝{x|x＜－1或x＞1}，B＝{－2，－1，1，2}，A∩B＝{－2，2}，A∩B中有2个元素，故选A.

3．已知角α，β满足tan αtan β＝，若cos(α－β)＝，则cos(α＋β)的值为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选C.解法一：由tan αtan β＝，cos(α－β)＝得，

解得

故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝.

解法二：设cos(α＋β)＝x，即cos αcos β－sin αsin β＝x　①，由cos(α－β)＝得，cos αcos β＋sin αsin β＝　②，由①②得cos αcos β＝＋，sin αsin β＝－，两式相除得tan αtan β＝＝，解得x＝，故cos(α＋β)＝.

4．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数  B．f(x)是增函数

C．f(x)是周期函数  D．f(x)的值域为

解析：选D.由函数f(x)＝可知当x＞0时，f(x)＞2，当x≤0时，f(x)∈，故f(x)的值域为，排除选项A、B、C，故选D.

5．已知直线m，平面α，β，p：“直线m与平面α，β所成的角相同”，q：“α∥β”，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B.充分性：若“直线m与平面α，β所成的角相同”，以正方体ABCD­A1B1C1D1为例，面对角线A1D与底面ABCD及侧面ABB1A1所成的角均为45°，但底面ABCD⊥侧面ABB1A1，所以充分性不成立；

必要性：若“α∥β”，由线面角的定义及三角形的相似可知“直线m与平面α，β所成的角相同”，所以必要性成立．故p是q的必要不充分条件，故选B.

6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为(　　)

A．9，2  B．10，2

C．9，  D．9，－1

解析：选D.当n＝1时，a＝1－＝1－＝；当n＝2时，a＝1－＝1－＝－1；当n＝3时，a＝1－＝1－＝2；当n＝4时，a＝1－＝1－＝；….则a的取值是周期为3的一组数，则由循环语句，当n＝8时，a＝－1，则n＝9，跳出循环，执行输出，故选D.

7．圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋4y＝－3的位置关系是(　　)

A．相离  B．外切

C．内切  D．相交

解析：选D.圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆C2：x2＋(y＋2)2＝9，则C1(2，－1)，圆C1的半径r1为2；C2(0，－2)，圆C2的半径r2为3.两圆的圆心距d＝＝∈(r2－r1，r2＋r1)，所以两圆的位置关系是相交．故选D.

8．已知各项均为正的等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则“q＞1”是“S2＋2S6＞3S4”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

通解：选A.因为等比数列{an}的各项均为正，所以a1＞0.若q＞1，则S2＋2S6－3S4＝＋－＝＝＞0，所以S2＋2S6＞3S4.而当q＝1时，S2＋2S6＞3S4也成立．所以“q＞1”是“S2＋2S6＞3S4”的充分不必要条件，故选A.

优解：因为等比数列{an}的各项均为正，所以q＞0，S2＞0.令S2＋2S6－3S4＝q2S2(2q2－1)＞0，所以q＞.所以“q＞1”是“S2＋2S6＞3S4”的充分不必要条件，故选A.

9．已知函数f(x)＝ax3＋ax2＋x＋b(a，b∈R)，则下列图象一定不能表示f(x)的图象的是(　　)

解析：选D.结合选项，令b＝0，f(x)＝ax3＋ax2＋x，则f′(x)＝3ax2＋2ax＋1，分三种情况讨论：当a＝0时，f′(x)＝1，f(x)单调递增；当a＜0时，方程3ax2＋2ax＋1＝0的判别式Δ＝(2a)2－4×3a＞0，此时f(x)不可能单调递减；当a＞0时，函数f′(x)＝3ax2＋2ax＋1不可能恒小于0，即函数f(x)不可能在R上单调递减，结合各选项，知f(x)的图象不可能为D中图象，故选D.

10．网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某组合体的三视图，则该组合体的体积是(　　)

A.＋π  B．＋π

C．4＋π  D．＋π

解析：选D.观察题中三视图可知组合体的上部分是三棱锥，下部分是半径为1的半球，其直观图如图1所示．

图1

在棱长为2的正方体中画出符合三视图的三棱锥A­BEF，顶点A，B，E，F分别是正方体棱的中点．

解法一：如图2，取EF的中点C，连接AC，BC，则EF⊥AC，EF⊥BC，所以EF⊥平面ABC，AC＝BC＝，AB＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥A­BEF的体积V1＝×S△ABC×EF＝.半球体积V2＝×π×13＝π.所以该组合体的体积V＝V1＋V2＝＋π.故选D.

图2

解法二：如图3，C，D分别为正方体两棱的中点，连接CD，G为CD的中点，连接EG，FG，过CD，EF作截面EFDC，则正方体和三棱锥A­BEF都被一分为二，因为S△EFG＝×2×2＝2，所以三棱锥A­BEF的体积V1＝2××S△EFG×AG＝，半球体积V2＝×π×13＝π.所以该组合体的体积V＝V1＋V2＝＋π.故选D.

图3

11．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选A.如图1，由已知条件得，△ABF2的周长为32，因为|AF2|＝2a＋|AF1|，|BF2|＝2a＋|BF1|，|AF1|＝|BF1|＝，所以4a＋＝32，＋a＝8，b2＋a2－8a＝0，              得(a－4)2＋b2＝16.设k＝，则k表示点(a，b)与点(－1，0)连线的斜率，作出图形，如图2，易知kmax＝.故选A.

12．已知函数f(x)的定义域是R，且满足f(x)－f(－x)＝0，f(x＋2)－f(－x)＝0，当x∈[ 0，1]时，f(x)＝x·g(x)＝4x－2x－2是定义域为R的函数．

给出以下四个命题：

①存在实数a，使得关于x的方程|g(x)|＝a有两个不相等的实根；

②存在x0∈[0，1]，使得g(－x0)＝－g(x0)；

③当x∈(－∞，2]时，关于x的方程f[g(x)]＝0有7个实根；

④关于x的方程g[f(x)]＝0有1个实根．

其中正确命题的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B.因为f(x)＝f(－x)，f(x＋2)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，也是周期函数，其最小正周期T＝2.结合已知条件画出函数f(x)的图象，如图所示．

图1

命题①是真命题．当a＝1时，4x－2x－2＝±1，所以4x－2x－3＝0或4x－2x－1＝0，解得2x＝或2x＝，又2x＞0，所以x＝log2或x＝log2，符合题意，所以命题①是真命题．命题②是假命题．解方程4－x－2－x－2＝－(4x－2x－2)，整理得(2x＋2－x)2－(2x＋2－x)－6＝0，所以(2x＋2－x－3)(2x＋2－x＋2)＝0，因为2x＋2－x＞0，所以2x＋2－x－3＝0，所以(2x)2－3×2x＋1＝0，解得2x＝.由x0∈[0，1]，得2x0∈[1，2]，而∉[1，2]，所以原方程在[0，1]上无解．所以在[0，1]上不存在x0，使得g(－x0)＝－g(x0)，命题②是假命题．

命题③是真命题．设t＝2x，由x∈(－∞，2]，得t∈(0，4]．构造函数φ(t)＝t2－t－2(4≥t＞0)，则g(x)＝φ(t)，函数φ(t)的图象如图2所示．

图2

易得φ(t)∈，结合函数f(x)的图象可知，函数f(x)在上有零点－2，0，2，4，6，8，10，

当g(x)分别等于－2，0，2，4，6，8，10时，都只有一个实根．所以方程f[g(x)]＝0在(－∞，2]上有7个实根，命题③是真命题．

命题④是假命题．函数g(x)只有唯一零点x＝1，所以f(x)＝1，结合f(x)的图象可知，当f(x)＝1时，x＝2k＋1，k∈Z，所以方程g[f(x)]＝0有无数个实根，且x＝2k＋1，k∈Z，命题④是假命题．所以只有命题①③是真命题，故选B.

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)

13．某校共有学生2 400人，高一学生有800人，现对学生活动情况进行抽样调查，用分层抽样的方法从所有学生中抽取120人，则从高一年级学生中应抽取________人．

解析：由题意得，抽取的比例为，因为从所有学生中抽取120人，

所以从高一年级学生中应抽取的人数为800×＝40.

答案：40

14．已知向量a＝(1，m)，|b|＝1，|a＋b|＝，且向量a，b的夹角是60°，则m＝________．

解析：由|a＋b|＝，得|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2＋|a|＋1＝7，解得|a|＝2，所以＝2，故m＝±.

答案：±

15．已知在等差数列{an}中，{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S13＝91，若＝6，则正整数k＝________．

解析：解法一：设等差数列{an}的公差为d，则由S13＝91，得13a1＋d＝91，根据a1＝1，得d＝1，所以an＝n，所以Sk＝，所以＝＝6，所以k＝11.

解法二：在等差数列{an}中，S13＝91，根据等差数列的性质，可得13a7＝91，即a7＝7，又a1＝1，所以可得公差d＝1，即an＝n，所以Sk＝，所以＝＝6，所以k＝11.

答案：11

16．如图，AB是立于山顶上的电视塔，现借助升降机CD测量塔高，当在升降机底部C时，测得点A的仰角为45°、点B的仰角为60°；当升降机上升10米至D时，测得点A的仰角为30°，则塔高AB为________米．

解析：在△ACD中，∠ACD＝45°，∠ADC＝120°，得∠DAC＝15°，又CD＝10，由正弦定理＝，得AC＝.又在△ACB中，∠ACB＝60°－45°＝15°，∠ABC＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×·sin 15°＝10.

答案：10