云南省南涧县第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

高二数学期中考试卷（理科）

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：人教A版必修1~5占50%，选修2-1，2-2占50%。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，

A.   B.   C.   D.

2.的共轭复数为

A.   B.   C.   D.

3.已知命题，，则的否定是

A.，   B.，

C.，   D.，

4.双曲线的离心率为

A.   B.3   C.   D.

5.现有下面四个推理：

①每个偶函数都有最大值；

②若，则；

③如果今天是星期五，那么二十天后是星期四；

④已知函数，因为，，所以.

其中所有推理正确的序号是

A.③   B.②③   C.②④   D.①②④

6.两个不同的平面与平行的一个充分条件是

A.内存在无数条直线与平行

B.内存在直线与内的无数条直线都平行

C.平面且平面

D.平面且平面

7.如图所示的程序框图的功能是求满足的最大整数的值，则应在空白框中填入

A.   B.

C.   D.

8.圆柱形容器内部盛有高度为h的水，若放入两个半径为3cm的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球（如图所示），则

A.2cm   B.3cm   C.4cm   D.5cm

9.函数的图象在点处的切线方程为

A.   B.

C.   D.

10.设向量，，若，则

A.   B.   C.   D.

11.已知函数若在区间上至少有5个零点，在区间上至多有5个零点，则正数的取值范围是

A.   B.

C.   D.

12.将正偶数按如图所示进行排列，若第行第列位置上的数记为，则

A.3216   B.3218   C.3220   D.3222

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.若，则      ▲      .

14.冬至是中国一个非常重要的节气，同时，冬至也是汉族传统节日之一，源于汉代，盛于唐宋，相沿至今.这一天北方大部分地区有吃饺子的习俗，某电视台在冬至这天要从六户人家中随机采访两户，其中这六户中只有一户当天不吃饺子，则被采访的两户当天都吃饺子的概率为      ▲      .

15.已知为正实数，复数满足，则的虚部的最小值为      ▲      .

16.如图，点为抛物线的焦点，直线l过点F且与抛物线交于A，B两点（A在B的上方），与抛物线的准线交于点C，若，则l的斜率为      ▲      .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在等差数列中，已知，.

（1）求的通项公式；

（2）若等比数列的第四项与的第四项相等，求的前项和.

18.某养殖场新引进了40只幼猪，并对其体重（单位：千克）进行了测量，将数据按照分成6组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）试估计这40只幼猪体重的中位数；

（2）试估计这40只幼猪中体重不低于16千克的数量.

19.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，且.

（1）求的周长；

（2）若D为BC边上一点，且，，的面积成等比数列，求.

20.如图，在空间直角坐标系中，A，D，B分别在x，y，z轴的正半轴上，C在平面BOD内.

（1）若，证明：.

（2）已知，，C的坐标为，求BC与平面ACD所成角的正弦值.

21.已知椭圆过点，且焦距为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）不经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线PA，PB的斜率之积为6.若l的斜率为，求直线PA的斜率.

22.已知函数.

（1）讨论的单调性.

（2）证明：.

高二数学期中考试卷参考答案（理科）

1.A因为，所以.

2.A因为，所以的共轭复数为.

3.C全称命题的否定为特称命题.

4.D因为，，所以.

5.B因为存在没有最大值的偶函数，所以①错误.因为，所以②正确.

如果今天是星期五，那么二十一天后是星期五，所以二十天后是星期四，所以③正确.

若函数，则，所以④错误.

6.C由面面平行的判定定理可知，A，B，D选项都无法推出平面与平面平行；易知C选项可推出平面与平面平行.

7.D当循环结构结束时，此时的恰好满足，又因为题目要求满足的最大整数，因此还需再减1，因此需要在空白框中填入.

8.C依题意可得，解得.

9.D当时，，此时，，可得，又，可得，故所求切线方程为.

10.A因为向量与y轴正半轴的夹角为45°，与y轴负半轴的夹角为135°>105°，所以向量与y轴正半轴的夹角为105°-45°=60°，所以.

11.B因为方程在上的解为，，所以当在区间上至多有5个零点时，.因为方程在上的解为，所以当在区间上至少有5个零点时，，即.综上，正数的取值范围是.

12.C前1行共有1个数，前2行共有4个数，前3行共有9个数，前4行共有16个数，由此归纳得出前n行共有个数.而，则.

13.  .

14.  记这六户人家分别为A，B，C，D，E，F，其中A户当天不吃饺子，则采访的所有可能为，，，，，，，，，，，，，，，共15种，两户都吃饺子的情况共有10种，故所求概率为.

15.  由，得.

设函数，则.当时，则；当时，.故，从而的虚部的最小值为.

16.  如图，过A，B两点分别作准线的垂线，垂足分别为，.设，则由，可得，从而，所以，则，所以，故直线的斜率为.

17.解：（1）因为，所以，

则公差，所以，故.

（2）因为，所以，解得.

所以.

18.解：（1）后三组的频率之和为，

后四组的频率之和为，

所以中位数位于第三组，设中位数为，

则，解得.

所以这40只幼猪体重的中位数估计值为15.6.

（2）由频率分布直方图可得，不低于16千克的频率为，

所以这40只幼猪中体重不低于16千克的数量估计为.

19.解：（1）∵，∴由正弦定理可得.

又，∴，

∴由余弦定理得，

∴.

故的周长为.

（2）∵，，的面积成等比数列，

∴BD，CD，BC成等比数列.

设，∴，

解得，

∴.

20.（1）证明：依题意可知平面，

因为平面，所以.

因为，，

所以平面.

又平面，所以.

（2）解：依题意可得，，，，

则，.

设平面的法向量为，则，

即，

令，得.

设BC与平面ACD所成角为，因为，

所以，

故BC与平面ACD所成角的正弦值为.

21.解：（1）因为椭圆过点，所以.

又焦距为，所以，，

所以椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，

由得，

则，.

因为，所以，

所以，所以.

将换为，得，

所以.

因为，所以，解得或6.

22.（l）解：的定义域为，

.

当时，，在上单调递增.

当时，由，得，则在上单调递增；

由，得，则在上单调递减.

（2）证明：当时，，由（1）知，

故.

所以.

因为，

所以.