云南省丽江市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）
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2020-2021学年下学期期中考试试卷
高二年级 理科数学
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知集合，，则中元素的个数为
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
- 复数，则
A. 0 B. C. 1 D.
- 若曲线在点处的切线方程是，则
A. ， B. C. D.
- 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种生物鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有
A. 30种 B. 50种 C. 60种 D. 90种
- 已知等差数列中，，，则的值是
A. 15 B. 30 C. 31 D. 64
- “”是“直线：与直线：垂直”的
A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
- 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面由扇形OAD挖去扇形OBC后构成已知米，米，线段BA、线段CD、弧、弧的长度之和为30米，圆心角为弧度，则关于x的函数解析式是
- B.
C. D.
8.如图所示，中，，点E是线段AD的中点，则
- B.
C. D.
9.如图，椭圆的中心在坐标原点，F为其左焦点，当时，椭圆的离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为
A.
B.
C.
D.
10.的内角A，B，C的对边分别为a，b，若的面积为，则角
A. B. C. D.
11.某四棱锥的三视图如图所示，点E在棱BC上，且，则异面直线PB与DE所成的角的余弦值为
B.
C.
D.
12.已知定义在R上的函数，是其导函数，且满足，，则不等式的解集为
A. B. C. D.
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.计算定积分 ．
14.若x，y满足约束条件的最大值为6，则________．
15.以下四个关于圆锥曲线的命题中：
设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；
双曲线与椭圆有相同的焦点；
方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
和定点及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．
其中真命题的序号为______．
16.已知三棱锥的体积为2，是等腰直角三角形，其斜边，且三棱锥的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.（本题共10分）求以下两小题的解：
（1）求展开式中的第四项；
（2）求展开式中项的系数．
18.（本题共12分）等差数列的前n项和为，且．
求的通项公式；
求满足不等式的n的值．
19.（本题共12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知．
若，，求的面积；
若，求C．
20.（本题共12分）如图，在菱形ABCD中，且，E为AD的中点．将沿BE折起使，得到如图所示的四棱锥．
Ⅰ求证：平面平面ABC；
Ⅱ若P为AC的中点，求二面角的余弦值．
21.（本题共12分）已知椭圆C：的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且的面积为．
求椭圆C的方程；
设直线l与椭圆相交于A，B两点，若点F恰为的重心，求直线l的方程．
22.（本题共12分）已知函数，．
求函数的单调区间；
若，使不等式成立，求a的取值范围．
2020-2021学年下学期期中考试试卷
高二年级 理科数学答案
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60.0分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
选项 | B | D | A | B | A | C | A | C | D | D | B | B |
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）
13. 14. 1 15. ②③ 16.
三、计算题（本大题共6小题，共70.0分）
17.（本题共10.0分）
解：；
（2）的展开式中，，，，项的系数分别为，，，，
的展开式中，，，，项的系数依次为，，，，
因此，的展开式中，项的系数是
．
18.（本题共12分） 解：设数列的公差为d，
由，得．
由，得，
解得，，所以；
因为，，所以，
由不等式，得，
所以，解得，因为，所以n的值为2，3，4．
19.（本题共12分） 解：中，，，，
，
，，
．
，
即，
化简得，
，
，
，
，
．
20.（本题共12分） 证明：Ⅰ在图中，连接BD．
四边形ABCD为菱形，，是等边三角形．
为AD的中点，，．
又，．
在图中，，．
．
，，．
又，AE，平面ABE．
平面ABE．
平面ABC，平面平面ABC．
解：Ⅱ由Ⅰ，知，．
，BE，平面BCDE．
平面BCDE．
以E为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系Exyz．
则0，，0，，0，，2，，1，．
为AC的中点，1，
，0，
设平面PBD的一个法向量为y，．
由得
令，得
又平面BCD的一个法向量为0，．
设二面角的大小为，由题意知该二面角得平面角为锐角．
则．
二面角的余弦值为．
21.（本题共12分）解：依据题意得，解得，，，
所以椭圆C的方程为．
延长EF交直线l于点D，
因为点F为的重心，
所以点D为线段AB的中点，
由点，，得，
设，，
则，
由，
得，
所以，
所以，
所以直线l的方程为，
即．
22.（本题共12分） 解：，．
当时，，在R上单调递减；
当时，令得．
由得的单调递增区间为；
由得的单调递减区间为．
综上，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为的单调递减区间为；
，使不等式，
则，即．
设，则问题转化为，
由，
令，则．
当x在区间 内变化时，、变化情况如下表：
x |
|
|
|
|
| 0 |
|
| 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
由上表可知，当时，函数有极大值，即最大值为．
．
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