初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试巩固练习

沪科版九年级数学下册第24章圆定向练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为（    ）

A． B． C． D．

2、计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（    ）

A． B． C． D．

3、下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

4、如图，在Rt△ABC中，，，点D、E分别是AB、AC的中点．将△ADE绕点A顺时针旋转60°，射线BD与射线CE交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值为；③BP存在最小值为；④点P运动的路径长为．其中，正确的（      ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

5、如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（    ）

A． B． C． D．

6、已知⊙O的半径为4，点P 在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（     ）

A．OP>4 B．0≤OP<4 C．OP>2 D．0≤OP<2

7、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

8、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）

A． B． C． D．

9、如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（    ）

A． B． C． D．

10、下列说法正确的个数有（    ）

①方程的两个实数根的和等于1；

②半圆是弧；

③正八边形是中心对称图形；

④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；

⑤如果反比例函数的图象经过点，则这个函数图象位于第二、四象限．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE=110°，∠B=40°，则∠C的度数为________．

2、如图，在平行四边形中，，，，以点为圆心，为半径的圆弧交于点，连接，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留）

3、如图，已知，在中，，．将绕点A逆时针旋转一个角至位置，连接BD，CE交于点F．

（I）求证：；

（2）若四边形ABFE为菱形，求的值；

（3）在（2）的条件下，若，直接写出CF的值．

4、如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上异于A，B的一点，连接AC，BC．若∠P＝58°，则∠ACB的大小是___________．

5、如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P = 50°，则∠ACB ＝_____________°

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图1，在中，，，将边绕着点A逆时针旋转，得到线段，连接交边于点E，过点C作于点F，延长交于点G．

（1）求证：；

（2）如图2，当时，求证：；

（3）如图3，当时，请直接写出的值．

2、如图①，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = k·AC，△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转某个角度得到的，BC与DE交于点F，直线BD与EC交于点G

（1）求证：BD = k·EC；

（2）求∠CGD的度数；

（3）若k = 1（如图②），求证：A，F，G三点在同一直线上．

3、如图，在直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转90°．

（1）画出旋转后的△AB1C1，并写出B1、C1的坐标；

（2）求线段AB在旋转过程中扫过的面积．

4、如图，AB是的直径，CD是的一条弦，且于点E．

（1）求证：；

（2）若，，求的半径．

5、如图，ABC是⊙O的内接三角形，，，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．

（1）求证：AD∥EC；

（2）若AD＝6，求线段AE的长．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

阴影部分的面积=扇形扇形，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及的面积，最后即可求出阴影部分的面积．

【详解】

解：由图可知：阴影部分的面积=扇形扇形，

由旋转性质可知：，，

，，

在中，，，，

，，

有勾股定理可知：，

阴影部分的面积=扇形扇形

．

故选：B．

【点睛】

本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．

2、B

【分析】

直接根据扇形的面积公式计算即可．

【详解】

故选：B．

【点睛】

本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．

3、A

【分析】

中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．

【详解】

解：根据中心对称图形的定义，可知A选项的图形为中心对称图形，

故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．

4、B

【分析】

根据，，点D、E分别是AB、AC的中点．得出∠DAE=90°，AD=AE=，可证∠DAB=∠EAC，再证△DAB≌△EAC（SAS），可判断①△AEC≌△ADB正确；作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，根据△AEC≌△ADB，得出∠DBA=∠ECA，可证∠P=∠BAC=90°，CP为⊙A的切线，证明四边形DAEP为正方形，得出PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE=，可判断②CP存在最大值为正确；△AEC≌△ADB，得出BD=CE=，在Rt△BPC中，BP最小=可判断③BP存在最小值为不正确；取BC中点为O，连结AO，OP，AB=AC=6，∠BAC=90°，BP=CO=AO=，当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ACE=，可求∠ACE=30°，根据圆周角定理得出∠AOP=2∠ACE=60°，当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=，可得∠ABD=30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD=60°，点P在以点O为圆心，OA长为半径，的圆上运动轨迹为，L可判断④点P运动的路径长为正确即可．

【详解】

解：∵，，点D、E分别是AB、AC的中点．

∴∠DAE=90°，AD=AE=，

∴∠DAB+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，

∴∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

故①△AEC≌△ADB正确；

作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，

∵△AEC≌△ADB，

∴∠DBA=∠ECA，

∴∠PBA+∠P=∠ECP+∠BAC，

∴∠P=∠BAC=90°，

∵CP为⊙A的切线，

∴AE⊥CP，

∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°，

∴四边形DAEP为矩形，

∵AD=AE，

∴四边形DAEP为正方形，

∴PE=AE=3，

在Rt△AEC中，CE=，

∴CP最大=PE+EC=3+，

故②CP存在最大值为正确；

∵△AEC≌△ADB，

∴BD=CE=，

在Rt△BPC中，BP最小=，

BP最短=BD-PD=-3，

故③BP存在最小值为不正确；

取BC中点为O，连结AO，OP，

∵AB=AC=6，∠BAC=90°，

∴BP=CO=AO=，

当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ACE=，

∴∠ACE=30°，

∴∠AOP=2∠ACE=60°，

当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=，

∴∠ABD=30°，

∴∠AOP′=2∠ABD=60°，

∴点P在以点O为圆心，OA长为半径，的圆上运动轨迹为，

∵∠POP=∠POA+∠AOP′=60°+60°=120°，

∴L．

故④点P运动的路径长为正确；

正确的是①②④．

故选B．

【点睛】

本题考查图形旋转性质，线段中点定义，三角形全等判定与性质，圆的切线，正方形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，本题难度大，利用辅助线最长准确图形是解题关键．

5、D

【分析】

连接CD，由直角三角形斜边中线定理可得CD=BD，然后可得△CDB是等边三角形，则有BD=BC=5cm，进而根据勾股定理可求解．

【详解】

解：连接CD，如图所示：

∵点D是AB的中点，，，

∴，

∵，

∴，

在Rt△ACB中，由勾股定理可得；

故选D．

【点睛】

本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．

6、A

【分析】

点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答．

【详解】

解：∵⊙O的半径为4，点P 在⊙O外部，

∴OP需要满足的条件是OP>4，

故选：A．

【点睛】

此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键．

7、B

【分析】

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．

【详解】

A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．是中心对称图形，故本选项符合题意；

C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

8、D

【详解】

解：．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

9、D

【分析】

由平角的性质得出∠BCD=116°，再由内接四边形对角互补得出∠A=64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD=2∠A=128°．

【详解】

∵

∴

∵四边形内接于

∴

又∵

∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

10、B

【分析】

根据所学知识对五个命题进行判断即可．

【详解】

1、，故方程无实数根，故本命题错误；

2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；

3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；

4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；

5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误

综上所述，正确个数为3

故选B

【点睛】

本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．

二、填空题

1、

【分析】

先根据旋转的性质求得，再运用三角形内角和定理求解即可．

【详解】

解：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∠DAE=110°

，

，

．

故答案是：30°．

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．

2、

【分析】

过点C作于点H，根据正弦定义解得CH的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．

【详解】

解：过点C作于点H，

在平行四边形中，

平行四边形的面积为：，

图中黑色阴影部分的面积为：

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

3、（1）见解析；（2）120°；（3）

【分析】

（1）根据旋转的性质和全等三角形的判定解答即可；

（2）根据等腰三角形的性质求得∠ABD=90°－，∠BAE=+30°，根据菱形的邻角互补求解即可；

（3）连接AF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可求得∠FAC=45°，∠FCA=30°，过F作FG⊥AC于G，设FG=x，根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求解即可．

【详解】

解：（1）由旋转得：AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=，

∵AB=AC，

∴AB=AC=AD=AE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）∵AB=AD，∠BAD=，∠BAC=30°，

∴∠ABD=（180°－∠BAD）÷2=（180°－）÷2=90°－，∠BAE=+30°，

∵四边形ABFE是菱形，

∴∠BAE+∠ABD=180°，即+30°+90°－=180°，

解得：=120°；

(3)连接AF，

∵四边形ABFE是菱形，∠BAE=+30°=150°，

∴∠BAF=∠BAE=75°，又∠BAC=30°，

∴∠FAC=75°－30°=45°，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠FCA=∠ABD=90°－=30°，

过F作FG⊥AC于G，设FG=x，

在Rt△AGF中，∠FAG=45°，∠AGF=90°，

∴∠AFG=∠FAG=45°，

∴△AGF是等腰直角三角形，

∴AG=FG=x，

在在Rt△AGF中，∠FCG=30°，∠FGC=90°，

∴CF=2FG=2x，，

∵AC=AB=2，又AG+CG=AC，

∴，

解得：，

∴CF=2x= ．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

4、或

【分析】

如图，连接利用切线的性质结合四边形的内角和定理求解再分两种情况讨论，结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.

【详解】

解：如图，连接 （即）分别在优弧与劣弧上，

PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，

故答案为：或

【点睛】

本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，四边形的内角和定理的应用，求解是解本题的关键.

5、

【分析】

连接，根据切线的性质以及四边形内角和定理求得，进而根据圆周角定理即可求得∠ACB

【详解】

解：连接，如图，

PA，PB分别与⊙O相切

故答案为：

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键．

三、解答题

1、

（1）见解析

（2）见解析

（3）

【分析】

（1）由旋转的性质得AB=AD，所以，再根据三角形内角和定理可证明即可得到结论；

（2）连接，根据ASA证明≌得，是等边三角形，从而得出，再运用AAS证明≌得，由勾股定理可得出，从而 可得结论；

（3）证明平分，作于点，根据勾股定理得，代入求值即可．

（1）

∵边绕着点逆时针旋转得到线段，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴

又，且∠AEB=∠CEF

∴．

∴．

（2）

连接．

在和中，

∵，

∴≌（ASA）．

∴．

∴，即．

在和中，

∵，

∴≌（AAS）．

∴．

∵，

∴在中，，

即．

∵，，

∴是等边三角形．

∴．

（3）

．

∵，，

∴

∵．

∵，

∴．

∴平分．

作于点，

∴．

∴在中，．

∵≌，≌，

∴，，．

∴在中，，

∵，

∴．

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．

2、（1）见解析；（2）90°；（3）见解析

【分析】

（1）由旋转的性质可得对应边相等对应角相等，由相似三角形的判定得出△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质即可得出结论 ；

（2）由（1）证得△ABD∽△ACE，和等腰三角形的性质得出，进而推出，由四边形的内角和定理得出结论；

（3）连接CD，由旋转的性质和等腰三角形的性质得出，CG＝DG，FC＝FD，由垂直平分线的判断得出A，F，G都在CD的垂直平分线上，进而得出结论．

【详解】

证明：（1）∵△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转某个角度得到的，

∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，

∴，

∴△ABD∽△ACE，

∴，

∵AB = k·AC，

∴，

∴BD = k·EC；

（2）由（1）证得△ABD∽△ACE，

∴，

∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAC = 90°，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴∴在四边形ADGE中，，∠BAC = 90°，

∴∠CGD＝360°－180°－90°＝90°；

（3）连接CD，如图：

∵△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转某个角度得到的，∠BAC = 90°，AB = k·AC，

∴当k = 1时，△ABC和△ADE为等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，∴CG＝DG

∵，

∴，∴FC＝FD，

∴点A、点G和点F在CD的垂直平分线上，

∴A，F，G三点在同一直线上．

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质和判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和垂直平分线的判定是解题的关键．

3、（1）作图见解析，、；（2）

【分析】

（1）将绕点A顺时针旋转90°得，根据点A、B、C坐标，即可确定出点、的坐标；

（2）根据勾股定理求出AB的长，由扇形面积公式即可得出答案．

【详解】

（1）将绕点A顺时针旋转90°得如图所示：

∴、；

（2）由图可知：，

∴线段AB在旋转过程中扫过的面积为．

【点睛】

本题考查作旋转图形以及扇形的面积公式，掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键．

4、（1）见解析；（2）3

【分析】

（1）根据∠D=∠B，∠BCO=∠B，代换证明；

（2）根据垂径定理，得CE=，，利用勾股定理计算即可．

【详解】

（1）证明：

∵OC＝OB，

∴∠BCO＝∠B；

∵，

∴∠B＝∠D；

∴∠BCO＝∠D；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，

∴CE＝CD，

∵CD＝，

∴CE＝，

在Rt△OCE中，，

∵OE＝1，

∴，

∴；

∴⊙O的半径为3．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，结合图形，熟练运用三个定理是解题的关键．

5、（1）见解析；（2）6

【分析】

（1）连接OC，根据CE是⊙O的切线，可得∠OCE＝，根据圆周角定理，可得∠AOC=，从而得到∠AOC+∠OCE＝，即可求证；

（2）过点A作AF⊥EC交EC于点F，由∠AOC＝，OA＝OC，可得∠OAC＝，从而得到∠BAD＝，再由AD∥EC，可得，然后证得四边形OAFC是正方形，可得，从而得到AF=3，再由直角三角形的性质，即可求解．

【详解】

证明：（1）连接OC，

∵CE是⊙O的切线，

∴∠OCE＝，

∵∠ABC＝，

∴∠AOC＝2∠ABC＝，

∵∠AOC+∠OCE＝，

∴AD∥EC；

（2）解：过点A作AF⊥EC交EC于点F，

∵∠AOC＝，OA＝OC，

∴∠OAC＝，

∵∠BAC＝，

∴∠BAD＝，

∵AD∥EC，

∴，

∵∠OCE＝，∠AOC＝，∠AFC=90°，

∴四边形OAFC是矩形，

∵OA＝OC，

∴四边形OAFC是正方形，

∴，

∵，

∴，

在Rt△AFE中，，

∴AE=2AF=6．

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．