沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试课时作业

沪科版九年级数学下册第24章圆定向练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知⊙O的半径为4，点P 在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（     ）

A．OP>4 B．0≤OP<4 C．OP>2 D．0≤OP<2

2、下列判断正确的个数有（    ）

①直径是圆中最大的弦；

②长度相等的两条弧一定是等弧；

③半径相等的两个圆是等圆；

④弧分优弧和劣弧；

⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3、从图形运动的角度研究抛物线, 有利于我们认识新的拋物线的特征. 如果将拋物线绕着原点旋转180°，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列法正确的是（   ）

A．它们的开口方向相同 B．它们的对称轴相同

C．它们的变化情況相同 D．它们的顶点坐标相同

4、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（    ）

A．直径所对圆周角为 B．如果点在圆上，那么点到圆心的距离等于半径

C．直径是最长的弦 D．垂直于弦的直径平分这条弦

5、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）

A． B． C． D．

6、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（    ）

A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上三种都不对

7、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（　　）

A．5厘米 B．4厘米 C．厘米 D．厘米

8、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

9、如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（    ）

A．45° B．60° C．90° D．120°

10、如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转60°得到，此时点B的对应点D恰好落在BC边上，则CD的长为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、数学兴趣活动课上，小方将等腰的底边BC与直线l重合，问：

（1）如图（1）已知，，点P在BC边所在的直线l上移动，小方发现AP的最小值是______；

（2）如图（2）在直角中，，，，点D是CB边上的动点，连接AD，将线段AD顺时针旋转60°，得到线段AP，连接CP，线段CP的最小值是______．

2、已知60°的圆心角所对的弧长是3.14厘米，则它所在圆的周长是______厘米．

3、如图，在ABC中，∠C＝90°，AB=10，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于________．

4、如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为CD边上一点，将绕点A旋转至，连接，若，则的长等于______．

5、是的内接正六边形一边，点是优弧上的一点（点不与点，重合）且，与交于点，则的度数为_______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在中，，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D，与AC的另一个交点为E．

（1）求证：BO平分；

（2）若，，求BO的长．

2、元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，OA经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C两点，点B的坐标为，点D在上，且，求OA的半径和圆心A的坐标．

元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程：

解：如图2，连接BC．作AELOB于E、AF⊥OC于F．

∴、（依据是  ①  ）

∵，

∴（依据是  ②  ）．

∵，．

∴BC是的直径（依据是  ③  ）．

∴

∵，

∴A的坐标为（  ④  ）的半径为  ⑤ 

3、阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

任务：

如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

4、如图，在等边中，D为BC边上一点，连接AD，将沿AD翻折得到，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的大小；

（3）猜想CF，BF，AF之间的数量关系，并证明．

5、如图1，在中，，，点D为AB边上一点．

（1）若，则______；

（2）如图2，将线段CD绕着点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE，求证：；

（3）如图3，过点A作直线CD的垂线AF，垂足为F，连接BF．直接写出BF的最小值．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答．

【详解】

解：∵⊙O的半径为4，点P 在⊙O外部，

∴OP需要满足的条件是OP>4，

故选：A．

【点睛】

此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键．

2、B

【详解】

①直径是圆中最大的弦；故①正确，

②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确

③半径相等的两个圆是等圆；故③正确

④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确

⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．

综上所述，正确的有①③

故选B

【点睛】

本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．

3、B

【分析】

根据旋转的性质及抛物线的性质即可确定答案．

【详解】

抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，2)，将此抛物线绕原点旋转180°后所得新抛物线的开口向下，对称轴仍为y轴，顶点坐标为(0，－2)，所以在四个选项中，只有B选项符合题意．

故选：B

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质等知识，掌握这两方面的知识是关键．

4、A

【分析】

定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.

【详解】

A选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为，A选项符合要求；

B、C选项，根据圆的定义可以得到；

D选项，是垂径定理；

故选：A

【点睛】

本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.

5、D

【详解】

解：．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

6、C

【详解】

解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，

故选：C．

【点睛】

本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．

7、D

【分析】

根据题意先求出弦AC的长，再过点O作OB⊥AC于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可．

【详解】

解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，

∴AC=8-2=6厘米，

过点O作OB⊥AC于点B，

则AB=AC=×6=3厘米，

设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，

在Rt△AOB中，

OA2=OB2+AB2，即r2=（r-2）2+32，

解得r=厘米．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

8、C

【分析】

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

9、B

【分析】

设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得 ，求出β即可解决问题．

【详解】

解：设∠ADC=α，∠ABC=β；

∵四边形ABCO是菱形，

∴∠ABC=∠AOC；

∠ADC=β；

四边形为圆的内接四边形，

α+β=180°，

∴ ，

解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，

故选：B．

【点睛】

该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.

10、B

【分析】

由题意以及旋转的性质可得为等边三角形，则BD=2，故CD=BC-BD=2．

【详解】

由题意以及旋转的性质知AD=AB，∠BAD=60°

∴∠ADB=∠ABD

∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°

∴∠ADB=∠ABD=60°

故为等边三角形，即AB= AD =BD=2

则CD=BC-BD=4-2=2

故选：B．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定及性质，等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于，等边三角形判定的方法有：三边相等的三角形是等边三角形（定义）；三个内角都相等的三角形是等边三角形；有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形；两个内角为60度的三角形是等边三角形．

二、填空题

1、10    5   

【分析】

（1）如图，作AH⊥BC于H．根据垂线段最短，求出AH即可解决问题．

（2）如图，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK，DK．由△PAC≌△DAK（SAS），推出PC＝DK，易知KD⊥BC时，KD的值最小，求出KD的最小值即可解决问题．

【详解】

解：如图作AH⊥BC于H，

∵AB＝AC＝20，，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

根据垂线段最短可知，当AP与AH重合时，PA的值最小，最小值为10．

∴AP的最小值是10；

（2）如图，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK，DK．

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴∠CAK＝60°，

∴∠PAD＝∠CAK，

∴∠PAC＝∠DAK，

∵PA＝DA，CA＝KA，

∴△PAC≌△DAK（SAS），

∴PC＝DK，

∵KD⊥BC时，KD的值最小，

∵ ，

是等边三角形，

∴ ，

∴PC的最小值为5．

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．

2、18.84

【分析】

先根据弧长公式求得πr，然后再运用圆的周长公式解答即可．

【详解】

解：设圆弧所在圆的半径为厘米，

则，

解得，

则它所在圆的周长为（厘米），

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了弧长公式、圆的周长公式等知识点，牢记弧长公式是解答本题的关键．

3、5

【分析】

直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．

【详解】

解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

即可知道点到点A，B，C的距离相等，

如下图：

，

，

故答案是：5．

【点睛】

本题考查了直角三角形的外接圆的外心，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．

4、4

【分析】

在正方形ABCD中，BE′＝DE＝2，所以在直角三角形E′CE中，E′C＝8，CE＝4，利用勾股定理求得EE′的长即可．

【详解】

解：在正方形ABCD中，∠C＝90°，

由旋转得，BE′＝DE＝2，

∴E′C＝8，CE＝4，

∴在直角三角形E′CE中，

EE′＝＝＝4．

故答案为4．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、旋转的性质与勾股定理的知识，正确的利用旋转和正方形的性质得出直角三角形边长并正确的应用勾股定理是解题的关键．

5、90°

【分析】

先根据是的内接正六边形一边得，再根据圆周角性质得，再根据平行线的性质得,最后由三角形外角性质可得结论．

【详解】

解：∵是的内接正六边形一边

∴

∴

∵

∴

∴

故答案为90°

【点睛】

本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键

三、解答题

1、（1）见解析；（2）2

【分析】

（1）连接OD，由与AB相切得，由HL定理证明由全等三角形的性质得，即可得证；

（2）设的半径为，则，在中，得出关系式求出，可得出的长，在中，由正切值求出，在中，由勾股定理求出即可．

【详解】

（1）

如图，连接OD，

∵与AB相切，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

∴平分；

（2）设的半径为，则，

在中，，，

∴，

解得：，

∴，

在中，，即，

在中，．

【点睛】

本题考查圆与直线的位置关系，全等三角形的判定与性质、三角函数以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．

2、垂径定理，圆周角定理，圆周角定理，（1，），2

【分析】

根据垂径定理，圆周角定理依次分析解答．

【详解】

解：如图2，连接BC．作AE⊥OB于E、AF⊥OC于F．

∴、（依据是垂径定理）

∵，

∴（依据是圆周角定理）．

∵，．

∴BC是的直径（依据是圆周角定理）．

∴，

∵，

∴A的坐标为（1，），的半径为2，

故答案为：垂径定理，圆周角定理，圆周角定理，（1，），2．

【点睛】

此题考查了圆的知识，垂径定理、圆周角定理，熟记各定理知识并综合应用是解题的关键．

3、成立，证明见解析

【分析】

根据阅读材料将△ADF旋转120°再证全等即可求得EF= BE+DF ．

【详解】

解：成立．

证明：将绕点顺时针旋转，得到，

，，，，，

，、、三点共线，

．

，，，

，

．

【点睛】

本题考查旋转中的三角形全等，读懂材料并运用所学的全等知识是本题关键．

4、（1）20°；（2）；（3）AF= CF+BF，理由见解析

【分析】

（1）由△ABC是等边三角形，得到AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，则∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，，∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；

（2）同（1）求解即可；

（3）如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG，先证明△AEF≌△ACF得到∠AFE=∠AFC，然后证明∠AFE=∠AFC=60°，得到∠BFC=120°，即可证明F、C、G三点共线，得到△AFG是等边三角形，则AF=GF=CF+CG=CF+BF．

【详解】

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，

由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，

∴∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，

∴，

∴∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°，

由折叠的性质可知，，AC=AE，

∴ ，AB=AE，

∴，

∴；

（3）AF= CF+BF，理由如下：

如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG，

∴AF=AG，∠FAG=60°，∠ACG=∠ABF，BF=CG

在△AEF和△ACF中，

，

∴△AEF≌△ACF（SAS），

∴∠AFE=∠AFC，

∵∠CBF+∠BCF+∠BFD+∠CFD=180°，∠CAF+∠CFA+∠ACD+∠CFD=180°，

∴∠BFD=∠ACD=60°，

∴∠AFE=∠AFC=60°，

∴∠BFC=120°，

∴∠BAC+∠BFC=180°，

∴∠ABF+∠ACF=180°，

∴∠ACG+∠ACF=180°，

∴F、C、G三点共线，

∴△AFG是等边三角形，

∴AF=GF=CF+CG=CF+BF．

【点睛】

本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．

5、

（1）5

（2）证明见解析

（3）

【分析】

(1)过C作CM⊥AB于M，根据等腰三角形的性质求出CM和DM，再根据勾股定理计算即可；

(2)连BE，先证明,即可得到直角三角形ABE，利用勾股定理证明即可；

（3）取AC中点N，连接FN、BN，根据三角形BFN中三边关系判断即可．

（1）

过C作CM⊥AB于M，

∵，

∴

∵

∴

∴在Rt中

（2）

连接BE，

∵，，，

∴,

∴

∴，

∴

在Rt中

∴

∴

（3）

取AC中点N，连接FN、BN，

∵，，

∴

∵AF垂直CD

∴

∵AC中点N，

∴

∴

∵三角形BFN中

∴

∴当B、F、N三点共线时BF最小，最小值为．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的常用辅助线以及直角三角形斜边上的中线，解题的关键是根据等腰直角三角形作斜边垂线或者构造“手拉手模型”．