数学沪科版第24章 圆综合与测试复习练习题

沪科版九年级数学下册第24章圆定向测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

2、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（   ）

A．70° B．50° C．20° D．40°

3、如图，与的两边分别相切，其中OA边与相切于点P．若，，则OC的长为（    ）

A．8 B． C． D．

4、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

5、在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ）

A．  B． 

C．  D．

6、如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（    ）

A． B． C． D．

7、已知⊙O的半径为4，，则点A在（      ）

A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定

8、如图，ABCD是正方形，△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，那么△CEF是（　　）

A．.等腰三角形 B．等边三角形

C．.直角三角形 D．.等腰直角三角形

9、点P(3，﹣2)关于原点O的对称点的坐标是（　　）

A．(3，﹣2) B．(﹣3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(2，3)

10、如图，AB是的直径，弦CD交AB于点P，，，，则CD的长为（    ）

A． B． C． D．8

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为 _____．

2、如图，是由绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为100°，则的度数是______．

3、如果点与点B关于原点对称，那么点B的坐标是______．

4、如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次函数是（），那么这个一次函数的解析式为______．

5、如图，在中，，分别以、、边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为__________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．

2、如图，四边形是的内接四边形，，，．

（1）求的度数．

（2）求的度数．

3、已知：如图，A为上的一点．

求作：过点A且与相切的一条直线．

作法：①连接OA；

②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为B，作射线OB；

③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；

④作直线PA．

直线PA即为所求．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接BA．

由作法可知．

∴点A在以OP为直径的圆上．

∴（    ）（填推理的依据）．

∵OA是的半径，

∴直线PA与相切（    ）（填推理的依据）．

4、如图，是⊙的直径，弦，垂足为E，弦与弦相交于点G，且，过点C作的垂线交的延长线于点H．

（1）判断与⊙的位置关系并说明理由；

（2）若，求弧的长．

5、如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图：

（1）在图①中，画等腰△ABC，使AB为腰，点C在格点上．

（2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C，D两点均在格点上．

（3）在图③中，画△ABC，使∠ACB=90°，面积为5，点C在格点上．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．

【详解】

解：根据中心对称图形的定义，可知A选项的图形为中心对称图形，

故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．

2、D

【分析】

首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．

【详解】

解：连接OA，OB，

∵PA，PB为⊙O的切线，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∵∠ACB=70°，

∴∠AOB=2∠P=140°，

∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．

故选：D．

【点睛】

此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．

3、C

【分析】

如图所示，连接CP，由切线的性质和切线长定理得到∠CPO=90°，∠COP=45°，由此推出CP=OP=4，再根据勾股定理求解即可．

【详解】

解：如图所示，连接CP，

∵OA，OB都是圆C的切线，∠AOB=90°，P为切点，

∴∠CPO=90°，∠COP=45°，

∴∠PCO=∠COP=45°，

∴CP=OP=4，

∴，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知切线长定理是解题的关键．

4、B

【分析】

根据“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”及“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，由此问题可求解．

【详解】

解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；

B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；

C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；

D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．

5、B

【分析】

根据中心对称图形与轴对称图形的定义解答即可.

【详解】

解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；

C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D. 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意.

故选B.

【点睛】

本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的定义.一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫作轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合叫作中心对称图形.

6、D

【分析】

由平角的性质得出∠BCD=116°，再由内接四边形对角互补得出∠A=64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD=2∠A=128°．

【详解】

∵

∴

∵四边形内接于

∴

又∵

∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

7、C

【分析】

根据⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5知d>r，据此可得答案．

【详解】

解：∵⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5，

∴d>r，

∴点A在⊙O外，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．

8、D

【分析】

根据旋转的性质推出相等的边CE＝CF，旋转角推出∠ECF＝90°，即可得到△CEF为等腰直角三角形．

【详解】

解：∵△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，

∴∠ECF＝90°，CE＝CF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查旋转的性质，掌握图形旋转前后的大小和形状不变是解决问题的关键．

9、B

【分析】

根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．

【详解】

解：点P（3，﹣2）关于原点O的对称点P'的坐标是（﹣3，2）．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．

10、A

【分析】

过点作于点，连接，根据已知条件即可求得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理即可求得的长．

【详解】

解：如图，过点作于点，连接，

AB是的直径，，，

，

在中，

故选A

【点睛】

本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．

二、填空题

1、

【分析】

连接OB，交AC于点D，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC为菱形，根据菱形的性质可得：，，，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，由此得出，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．

【详解】

解：如图所示，连接OB，交AC于点D，

∵四边形OABC为平行四边形，，

∴四边形OABC为菱形，

∴，，，

∵，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

在中，设，则，

∴，

即，

解得：或（舍去），

∴的长为：，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．

2、35°

【分析】

根据旋转的性质可得∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，再求出∠BOD，∠ADO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

【详解】

解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，

∴∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，

∵∠AOC＝100°，

∴∠BOD＝100°−30°×2＝40°，

∠ADO＝∠A＝（180°−∠AOD）＝（180°−30°）＝75°，

由三角形的外角性质得，∠B＝∠ADO−∠BOD＝75°−40°＝35°．

故答案为：35°．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

3、

【分析】

关于原点对称的点坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；进而求出点B坐标．

【详解】

解：由题意知点B横坐标为；纵坐标为；

故答案为：．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标知识．解题的关键在于熟练记忆关于原点对称的点坐标中相对应的坐标互为相反数．

4、

【分析】

由题意可知二次函数与坐标轴的三个交点坐标为（0，k），（1，0），（-k，0），将其代入抛物线（）即可得m、k的二元一次方程组，即可解出，故这个一次函数的解析式为．

【详解】

一次函数与y轴的交点为（0，k），与x轴的交点为（1，0）

绕O点逆时针旋转90°后，与x轴的交点为（-k，0）

即（0，k），（1，0），（-k，0）过抛物线（）

即

得

将代入有

整理得

解得k=3或k=-1（舍）

将k=3代入得

故方程组的解为

则一次函数的解析式为

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，解二元一次方程组，结合旋转的性质以及图象得出抛物线与坐标轴的三个交点坐标是解题的关键．

5、

【分析】

根据阴影部分面积等于以为直径的2 个半圆的面积加上减去为半径的半圆面积即．

【详解】

解：在中，，

，

．

故答案为：

【点睛】

本题考查了勾股定理，求扇形面积，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．

三、解答题

1、

（1）见解析

（2）3，2

【分析】

（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，∠OCA=∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，进而得到∠OCD=90°，即可得出结论；

（2）根据平行线分线段成比例定理得到，设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x=1，即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB=∠EOC，在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC=2，即tan∠OCB=2．

（1）

证明：∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵∠DCB＝∠OAC，

∴∠OCA＝∠DCB，     

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠OCA+∠OCB＝90°，

∴∠DCB+∠OCB＝90°，

即∠OCD＝90°，

∴OC⊥DC，     

∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）

∵OE∥BC，

∴，

∵CD=4，CE=6，

∴，

设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，

∵OC⊥DC，

∴△OCD是直角三角形，

在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2，

∴（3x）2+42=（5x）2，

解得，x=1，

∴OC=3x=3，即⊙O的半径为3，

∵BC∥OE，

∴∠OCB=∠EOC，

在Rt△OCE中，tan∠EOC=，

∴tan∠OCB=tan∠EOC=2．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．

2、（1）70°；（2）103°

【分析】

（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，得出，在三角形中利用三角形内角和定理求解即可得；

（2）由圆周角定理可得，结合（1）中结论及图形可得：，代入求解即可．

【详解】

解：（1），

，，

在中，

．

（2）由圆周角定理，得．

．

【点睛】

题目主要考查圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握运用圆周角定理是解题关键．

3、（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理

【分析】

（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可；

（2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．

【详解】

解：（1）补全图形如图所示，直线AP即为所求作；

（2）证明：连接BA，

由作法可知，

∴点A在以OP为直径的圆上，

∴（直径所对的圆周角是直角），

∵OA是的半径，

∴直线PA与相切（切线的判定定理），

故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．

【点睛】

本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．

4、

（1）相切，见解析

（2）

【分析】

（1）连接OC、OD、AC，OC交AF于点M，根据AG＝CG，CD⊥AB，可得，从而OC⊥AF，再由∠AFB＝90°，可得CH∥AF，即可求证；

（2）先证明四边形CMFH为矩形，可得OC⊥AF，CM＝HF＝2，从而得到AM＝FM，进而得到OM＝BF＝2，可得到CM＝OM，进而得到 OC=4，AM垂直平分OC，可证得△AOC为等边三角形，即可求解．

（1）

解： CH与⊙O相切．

理由如下：如图，连接OC、OD、AC，OC交AF于点M，

∵AG＝CG，

∴∠ACG＝∠CAG，

∴，

∵CD⊥AB，

∴，

∴，

∴OC⊥AF，

∵AB为直径，

∴∠AFB＝90°，

∵BH⊥CH，

∴CH∥AF，

∴OC⊥CH，

∵OC为半径，

∴CH为⊙O的切线；

（2）

解：由（1）得：BH⊥CH，OC⊥CH，

∴OC∥BH，

∵CH∥AF，

∴四边形CMFH为平行四边形，

∵OC⊥CH，

∴∠OCH=90°，

∴四边形CMFH为矩形，

∴OC⊥AF，CM＝HF＝2，

∴AM＝FM，

∵点O为AB的中点，

∴OM＝BF＝2，

∴CM=OM，

∴OC=4，AM垂直平分OC，

∴AC＝AO，

而AO＝OC，

∴AC＝OC＝OA，,

∴△AOC为等边三角形，

∴∠AOC＝60°，

∵，

∴∠AOD＝∠AOC＝60°，

∴∠COD＝120°，

∴弧CD的长度为．

【点睛】

本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，切线的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

5、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】

（1）因为AB=5，作腰为5的等腰三角形即可（答案不唯一）；

（2）作边长为2，高为4的平行四边形即可；

（3）根据（1）的结论，作BG边的中线，即可得解．

【详解】

解：（1）如图①中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；

（2）如图②中，平行四边形ABCD即为所求作；

（3）如图③中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；

∵AB=AG，BC=CG，

∴AC⊥BG，

∵△ABG的面积为，

∴△ABC的面积为5，且∠ACB=90°．

【点睛】

本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．