2020-2021学年第24章 圆综合与测试当堂检测题

沪科版九年级数学下册第24章圆定向练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列叙述正确的有(    )个.

（1）随着的增大而增大；

（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是和；

（3）斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；

（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；

（5）以为三边长度的三角形，不是直角三角形．

A．0 B．1 C．2 D．3

2、如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数是（      ）．

A．90° B．100° C．120° D．150°

3、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且ABCD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（　　）

A．5 B． C． D．

4、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（   ）

A．  B． 

C．  D．

5、如图，在△ABC中，∠CAB=64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′AB，则旋转角的度数为（    ）

A．64° B．52° C．42° D．36°

6、如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为24cm2，则圆形螺帽的半径是（　　）

A．1cm B．2cm C．2cm D．4cm

7、如图，AB，CD是⊙O的弦，且，若，则的度数为（    ）

A．30° B．40° C．45° D．60°

8、如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ）

A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断

9、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

10、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（   ）

A．3 B．2 C．1 D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在⊙O中，＝，AB＝10，BC＝12，D是上一点，CD＝5，则AD的长为______．

2、如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，作的外接圆，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）

3、AB是的直径，点C在上，，点P在线段OB上运动．设，则x的取值范围是________．

4、已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是______．

5、如图，点C是半圆上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使在正方形内），连OE，若AB＝4cm，则OE的最大值为_____cm．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，为的直径，为的切线，弦，直线交的延长线于点，连接．

求证：（1）；

（2）．

2、对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．

已知点N（3，0），A（1，0），，．

（1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是______；

②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；

（2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在的“二分点”，直接写出r的取值范围．

3、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在BA的延长线上，连接BC，PC．若AB = 6，的长为π，BC = PC．求证：直线PC与⊙O相切．

4、请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Binmi （973-1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi详本出版了俄文版《阿基米德全集》．第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），， 是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．

下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．

证明：如图2，在上截取，连接和．

是的中点，

…

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明部分；

（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是_________．

5、阅读下列材料，完成相应任务：如图①，是⊙O的内接三角形，是⊙O的直径，平分交⊙O于点，连接，过点作⊙O的切线，交的延长线于点．则．下面是证明的部分过程：

证明：如图②，连接，

是⊙O的直径，，

①________．（1）

为⊙O的切线，，

，（2）

由（1）（2）得，②________________．

平分．

，

③________，

．

任务：

（1）请按照上面的证明思路，补全证明过程：①________，②________，③________；

（2）若，求的长．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据反比例函数的性质，得当或者时，随着的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．

【详解】

当或者时，随着的增大而增大，故（1）不正确；

如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是和；，故（2）正确；

∵圆的直径所对的圆周角为直角

∴斜边为的直角三角形顶点A的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆，故（3）正确；

三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确；

∵

∴

∴以为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误；

故选：D．

【点睛】

本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．

2、D

【分析】

将绕点逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，则为等边三角形，得到，，在中，，，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数．

【详解】

解：为等边三角形，

，

可将绕点逆时针旋转得，

如图，连接，

，，，

为等边三角形，

，，

在中，，，，

，

为直角三角形，且，

．

故选：D．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、等边三角形，解题的关键是掌握旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．

3、D

【分析】

连接OF，OE，OG，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB平分，OC平分，利用平行线的性质及角之间的关系得出，利用勾股定理得出，再由三角形的等面积法即可得．

【详解】

解：连接OF，OE，OG，

∵AB、BC、CD分别与相切，

∴，，，且，

∴OB平分，OC平分，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

4、C

【分析】

利用中心对称图形的定义：旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故A错误．

B、不是中心对称图形，故B错误．

C、是中心对称图形，故C正确．

D、不是中心对称图形，故D错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．

5、B

【分析】

先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=64°，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′=∠AC′C=64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．

【详解】

解：∵CC′∥AB，

∴∠ACC′=∠CAB=64°

∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，

∴∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，

∴∠ACC′=∠AC′C=64°，

∴∠CAC′=180°-∠ACC′-∠AC′C=180°-2×64°=52°，

∴旋转角为52°．

故选：B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

6、D

【分析】

根据圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，由面积公式可求出半径．

【详解】

解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，过作于

设半径为r，即OA=OB=AB=r，

OM=OA•sin∠OAB=，

∵圆O的内接正六边形的面积为（cm2），

∴△AOB的面积为（cm2），

即，

，

解得r=4，

故选：D．

【点睛】

本题考查正多边形和圆，作边心距转化为直角三角形的问题是解决问题的关键．

7、B

【分析】

由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．

8、B

【分析】

根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．

【详解】

解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．

故选：B．

【点睛】

本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．

9、A

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．

故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

10、B

【分析】

连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．

【详解】

解：连接OC，如图

∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．

二、填空题

1、3

【分析】

过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，根据圆周角定理可得∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，再由等腰三角形的性质可知BE=CE=6，根据相似三角形的判定证明△ABE∽△CDF，由相似三角形的性质和勾股定理分别求得AE、DF、CF， AF即可求解．

【详解】

解：过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，

∵＝， AB＝10，

∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，

∵AE⊥BC，BC=12，

∴BE=CE=6， 

∴，

∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，

∴△ABE∽△CDF，

∴，

∵AB=10，CD=5，BE=6，AE=8，

∴，

解得：DF=3，CF=4，

在Rt△AFC中，∠AFC=90°，AC=10，CF=4，

则，

∴AD=DF+AF=3＋2，

故答案为：3＋2．

【点睛】

本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解答的关键．

2、

【分析】

先求出A、B、C坐标，再证明三角形BOC是等边三角形，最后根据扇形面积公式计算即可．

【详解】

过C作CD⊥OA于D

∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴当时，，B点坐标为（0,1）

当时，，A点坐标为

∴

∵作的外接圆，

∴线段AB中点C的坐标为,

∴三角形BOC是等边三角形

∴

∵C的坐标为

∴

∴

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了一次函数的综合运用，求扇形面积．用已知点的坐标表示相应的线段是解题的关键．

3、

【分析】

分别求出当点P与点O重合时，当点P与点B重合时x的值，即可得到取值范围．

【详解】

解：当点P与点O重合时，

∵OA=OC，

∴，即；

当点P与点B重合时，

∵AB是的直径，

∴，

∴x的取值范围是．

【点睛】

此题考查了同圆中半径相等的性质，直径所对的圆周角是直角的性质，正确理解点P的运动位置是解题的关键．

4、在⊙A上

【分析】

先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．

【详解】

解：∵点A的坐标为（4，3），

∴OA==5，

∵半径为5，

∴OA=r，

∴点O在⊙A上．

故答案为：在⊙A上．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r．

5、

【分析】

如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，通过△OCD≌△OBE（SAS），可得OE＝OD，通过旋转观察如图可知当DO⊥AB时，DO最长，此时OE最长，设DO与⊙O交于点M，连接CM，先证明△MED≌△MEB，得MD＝BM．再利用勾股定理计算即可．

【详解】

解：如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，

∵四边形BCDE是正方形，

∴∠BCD＝∠CBE＝90°，CD＝BC＝BE＝DE，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠BCD+∠OCB＝∠CBE+∠OBC，即∠OCD＝∠OBE，

∴△OCD≌△OBE（SAS），

∴OE＝OD，

根据旋转的性质，观察图形可知当DO⊥AB时，DO最长，即OE最长，

∵∠MCB＝∠MOB＝×90°＝45°，

∴∠DCM＝∠BCM＝45°，

∵四边形BCDE是正方形，

∴C、M、E共线，∠DEM＝∠BEM，

在△EMD和△EMB中，

，

∴△MED≌△MEB（SAS），

∴DM＝BM＝＝＝2（cm），

∴OD的最大值＝2+2，即OE的最大值＝2+2；

故答案为：（2+2）cm．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，解题的关键是OD取得最大值时的位置，学会通过特殊位置探究得出结论．

三、解答题

1、（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）连接，根据，可证．从而可得，，即可证明，故；

（2）证明，可得，即可证明．

【详解】

证明：（1）连接，如图：

∵为的直径，为的切线，

∴，

∵，

∴，．

∵，

∴，

∴．

在和中，

，

∴，

∴，

∵为的直径，

∴，即，

∴，

∵，

∴， 

∴，即，

∵，

∴；

（2）由（1）知：，

又∵，

∴，

∴，

∴， 

∵，

∴．

【点睛】

本题考查圆中的相似三角形判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是证明，从而得到．

2、（1）①B和C；②或；（2）或

【分析】

（1）①分别找出点A，B，C到线段ON的最小值和最大值，是否满足“二分点”定义即可；

②对a的取值分情况讨论：、、和，根据“二分点”的定义可求解；

（2）设线段AN上存在的“二分点”为，对的取值分情况讨论、，、，和，根据“二分点”的定义可求解．

【详解】

（1）①

∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，

点B到ON的最小值为，最大值为，

∴点B是线段ON的“二分点”，

点C到ON的最小值为1，最大值为，

∴点C是线段ON的“二分点”，

故答案为：B和C；

②若时，如图所示：

点C到OD的最小值为，最大值为，

∵点C为线段OD的“二分点”，

∴，

解得：；

若，如图所示：

点C到OD的最小值为1，最大值为，满足题意；

若时，如图所示：

点C到OD的最小值为1，最大值为，

∵点C为线段OD的“二分点”，

∴，

解得：（舍）；

若时，如图所示：

点C到OD的最小值为，最大值为，

∵点C为线段OD的“二分点”，

∴，

解得：或（舍），

综上所得：a的取值范围为或；

（2）

如图所示，设线段AN上存在的“二分点”为，

当时，最小值为：，最大值为：，

∴，即，

∵，

∴

∴；

当，时，最小值为：，最大值为：，

∴∴，即，

∵，

∴，

∵，

∴不存在；

当，时，最小值为：，最大值为：，

∴，即，

∴，

∵，

∴不存在；

当时，最小值为：，最大值为：，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

综上所述，r的取值范围为或．

【点睛】

本题考查坐标上的两点距离，解一元二次方程解不等式以及点到圆的距离求最值，根据题目所给条件，掌握“二分点”的定义是解题的关键．

3、见详解

【分析】

连接OC，由题意易得∠AOC=60°，则有∠B=∠OCB=30°，然后可得∠P=∠B=30°，进而可得∠OCP=90°，最后问题可求证．

【详解】

证明：连接OC，如图所示：

∵的长为π，AB=6，

∴OC=OA=3，，

∴，

∵OB=OC，

∴∠B=∠OCB=30°，

∵BC=PC，

∴∠P=∠B=30°，

∴∠POC+∠P=90°，即∠OCP=90°，

∵OC是圆O的半径，

∴直线PC与⊙O相切．

【点睛】

本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．

4、

（1）证明见解析；

（2）．

【分析】

（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；

（2）首先证明，进而得出，以及，进而求出的长即可得出答案．

（1）

证明：如图2，在上截取，连接，，和．

是的中点，

．

在和中

，

，

，

又，

，

；

（2）

解：如图3，截取，连接，，，

由题意可得：，

∵

∴，

在和中

，

，

，

，

，则，

，

，

∵，

∴

则

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了圆与三角形综合，涉及了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．

5、（1），，；（2）

【分析】

（1）由是⊙O的直径，得到∠ODB．再由为⊙O的切线，得到，即可推出∠ODA=∠BDE，由角平分线的定义可得，由，得到，即可证明；

（2）在直角△ODE中利用勾股定理求解即可．

【详解】

解：（1）如图②，连接，

是⊙O的直径，

，

∠ODB．（1）

为⊙O的切线，

，

，（2）

由（1）（2）得，∠ODA=∠BDE．

平分，

∴．

，

∠ODA，

．

故答案为：① ，② ，③ ；

（2）为的切线，

．

，

，

，

．

在中，

．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握切线的性质．