数学第24章 圆综合与测试同步练习题

沪科版九年级数学下册第24章圆定向训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，AB，CD是⊙O的弦，且，若，则的度数为（    ）

A．30° B．40° C．45° D．60°

2、在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，则∠B的度数为（      ）

A．140° B．100° C．80° D．40°

3、在半径为6cm的圆中，的圆心角所对弧的弧长是（    ）

A．cm B．cm C．cm D．cm

4、点P(3，﹣2)关于原点O的对称点的坐标是（　　）

A．(3，﹣2) B．(﹣3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(2，3)

5、下列图形中，是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

6、如图，在Rt中，．以点为圆心，长为半径的圆交于点，则的长是（    ）

A．1 B． C． D．2

7、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

8、将等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，那么n的最小值是（      ）

A．60 B．90 C．120 D．180

9、在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽cm，则水的最大深度为（    ）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm

10、如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（　　　　）

A．AM=BM B．CM=DM C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、边长为2的正三角形的外接圆的半径等于___．

2、 “化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：

已知：⊙O（纸片），其半径为．

求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．

作法：①如图1，取⊙O的直径，作射线，过点作的垂线；

②如图2，以点为圆心，为半径画弧交直线于点；

③将纸片⊙O沿着直线向右无滑动地滚动半周，使点，分别落在对应的，处；

④取的中点，以点为圆心，为半径画半圆，交射线于点；

⑤以为边作正方形．

正方形即为所求．

根据上述作图步骤，完成下列填空：

（1）由①可知，直线为⊙O的切线，其依据是________________________________．

（2）由②③可知，，，则_____________，____________（用含的代数式表示）．

（3）连接，在Rt中，根据，可计算得_________（用含的代数式表示）．由此可得．

3、如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为______．

4、如图，在中，，是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为_______．

5、如图，在中，，分别以、、边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为__________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3）,B（﹣3，5），C（﹣4，1）．

（1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；

（2）把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．

2、如图1，点O为直线AB上一点，将两个含60°角的三角板MON和三角板OPQ如图摆放，使三角板的一条直角边OM、OP在直线AB上，其中．

（1）将图1中的三角板OPQ绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边OP在的内部且平分，此时三角板OPQ旋转的角度为______度；

（2）三角板OPQ在绕点O按逆时针方向旋转时，若OP在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）如图3，将图1中的三角板MON绕点O以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板OPQ绕点O以每秒3°的速度按逆时针方向旋转，将射线OB绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线OB记为OE，射线OC平分，射线OD平分，当射线OC、OD重合时，射线OE改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在OC与OD第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值．

3、如图，内接于，BC是的直径，D是AC延长线上一点．

（1）请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交于点P．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，过点P作，垂足为E．则PE与有怎样的位置关系？请说明理由．

4、如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB的长．

5、如图，已知AB是⊙O的直径，，连接OC，弦，直线CD交BA的延长线于点．

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）若，，求OC的长．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．

2、C

【分析】

，，，进而求解的值．

【详解】

解：由题意知

∵

∴

∴

∵

∴

故选C．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解．

3、C

【分析】

直接根据题意及弧长公式可直接进行求解．

【详解】

解：由题意得：的圆心角所对弧的弧长是；

故选C．

【点睛】

本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．

4、B

【分析】

根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．

【详解】

解：点P（3，﹣2）关于原点O的对称点P'的坐标是（﹣3，2）．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．

5、C

【分析】

根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解．

【详解】

A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、不是中心对称图形，不符合题意；

C、是中心对称图形，符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．

6、B

【分析】

利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用，求出BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．

【详解】

解： 在Rt中，，

∴BC=3，，

连接CD，过点C作CE⊥AB于E，

∵，

∴，

解得，

∵CB=CD，CE⊥AB，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．

7、A

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．

故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

8、C

【分析】

根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数．

【详解】

解：等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，因而绕其中心旋转的最小度数是=120°．

故选C．

【点睛】

本题考查了根据旋转对称性，掌握旋转的性质是解题的关键．

9、B

【分析】

连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．

【详解】

解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：

∵AB=8cm，

∴BD=AB=4（cm），

由题意得：OB=OC==5cm，

在Rt△OBD中，OD=（cm），

∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），

即水的最大深度为2cm，

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

10、B

【分析】

根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．

【详解】

解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，

∴AM=BM，，，

即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，

当根据已知条件得CM和DM不一定相等，

故选B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．

二、填空题

1、

【分析】

过圆心作一边的垂线，根据勾股定理可以计算出外接圆半径．

【详解】

如图所示，是正三角形，故O是的中心，，

∵正三角形的边长为2，OE⊥AB

∴，，

∴，

由勾股定理得：，

∴，

∴，

∴(负值舍去)．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了正多边形和圆，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．

2、（1）经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2），；（3）

【分析】

（1）根据切线的定义判断即可．

（2）由=AC+，计算即可；根据计算即可．

（3）根据勾股定理，得即为正方形的面积，比较与圆的面积的大小关机即可．

【详解】

解：（1）∵⊙O的直径，作射线，过点作的垂线，

∴经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

故答案为：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

 （2）根据题意，得AC=r，==πr，

∴=AC+=r+πr，

∴=；

∵，

∴MA=-r=，

故答案为：，；                               

（3）如图，连接ME，

根据勾股定理，得

=

=；

 故答案为：．

【点睛】

本题考查了圆的切线的定义，勾股定理，圆的周长，正方形的面积和性质，熟练掌握圆的切线的定义，勾股定理，正方形的性质是解题的关键．

3、

【分析】

先由切线的性质得到∠OBC=90°，再由平行四边形的性质得到BO=BC，则∠BOC=∠BCO=45°，由OD=OB，得到∠ODB=∠OBD，由∠ODB+∠OBD=∠BOC，即可得到∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°．

【详解】

解：∵BC是圆O的切线，

∴∠OBC=90°，

∵四边形ABCO是平行四边形，

∴AO=BC，

又∵AO=BO，

∴BO=BC，

∴∠BOC=∠BCO=45°，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠ODB+∠OBD=∠BOC，

∴∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°，

故答案为：22.5°．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知切线的性质是解题的关键．

4、2

【分析】

取AC中点O，由勾股定理的逆定理可知∠ADC=90°，则点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为，由此求解即可．

【详解】

解：如图所示，取AC中点O，

∵，即，

∴∠ADC=90°，

∴点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，

作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为，

∵，，∠ACB=90°，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：2．

【点睛】

本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D的运动轨迹．

5、

【分析】

根据阴影部分面积等于以为直径的2 个半圆的面积加上减去为半径的半圆面积即．

【详解】

解：在中，，

，

．

故答案为：

【点睛】

本题考查了勾股定理，求扇形面积，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．

三、解答题

1、（1）图见解析；A1（3，3）；（2）见解析

【分析】

（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．

【详解】

解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（3，3）；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．

【点睛】

此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．

2、

（1）135°

（2）∠MOP-∠NOQ=30°，理由见解析

（3）s或s．

【分析】

（1）先根据OP平分得到∠PON，然后求出∠BOP即可；

（2）先根据题意可得∠MOP=90°-∠POQ, ∠NOQ=60°-∠POQ,然后作差即可；

（3）先求出旋转前OC、OD的夹角，然后再求出OC与OD第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在OC与OD第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分OE在OC的左侧和OE在OC的右侧两种情况解答即可．

（1）

解：∵OP平分∠MON

∴∠PON=∠MON=45°

∴三角板OPQ旋转的角：∠BOP=∠PON+∠NOB=135°．

故答案是135°

（2）

解：∠MOP-∠NOQ=30°，理由如下：

∵∠MON=90°，∠POQ=60°

∴∠MOP=90°-∠POQ, ∠NOQ=60°-∠POQ,

∴∠MOP-∠NOQ=90°-∠POQ -（60°-∠POQ）=30°．

（3）

解：∵射线OC平分，射线OD平分

∴∠NOC=45°，∠POD=30°

∴选择前OC与OD的夹角为∠COD=∠NOC+∠NOP+∠POD=165°

∴OC与OD第一次相遇的时间为165°÷（2°+3°）=33秒，此时OB旋转的角度为33×5°=165°

∴此时OC与OE的夹角165-（180-45-2×33）=96°

OC与OD第二次相遇需要时间360°÷（3°+2°）=72秒

设在OC与OD第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t

①当OE在OC的左侧时，有（5°-2°）t=96°-13°，解得：t=s

②当OE在OC的右侧时，有（5°-2°）t=96°+13°，解得：t=s

然后，①②都是每隔360÷（5°-2°）=120秒，出现一次这种现象

∵C、D第二次相遇需要时间72秒

∴在OC与OD第二次相遇前，当时，、旋转时间t的值为s或s．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．

3、

（1）作图见解析

（2）是的切线，理由见解析

【分析】

（1）如图1所示，以点为圆心，大于为半径画弧，交于点，交于点；分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，交点为，连接即为角平分线，与的交点即为点．

（2）如图2所示，连接，由题意可知，，，，；在四边形中，，，求出，得出，由于是半径，故有是的切线．

（1）

解：如图1所示

（2）

解：是的切线．

如图2所示，连接

由题意可知，，

，，

在四边形中

∵

∴

∴

又∵是半径

∴是的切线

【点睛】

本题考查了角平分线的画法与性质，切线的判定，圆周角等知识点．解题的关键在于将知识综合灵活运用．

4、

【分析】

连接OA，根据⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2可求出OM的长，由勾股定理求出AM的长，再由垂径定理求出AB的长即可．

【详解】

解：如图，连接OA．

∵OM：MC＝3：2，OC＝10，

∴OM＝=6．

∵OC⊥AB，

∴∠OMA＝90°，AB＝2AM．

在Rt△AOM中，AO＝10，OM＝6，

∴AM＝8．

∴AB＝2AM =16．

【点睛】

本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．

5、（1）见解析；（2）

【分析】

（1）连接OD，由AD∥OC及OD=OA，即可得到∠COB=∠DOC，从而可证得△OBC≌△ODC，即可证得CD是⊙O的切线；

（2）由AD∥OC可得△EAD∽△EOC，可得，再由△OBC≌△ODC得BC=CD，

从而可得，则可求得OC的长．

【详解】

（1）连接OD，

∵，

∴．

又∵，

∴，

∴．

在与中，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴是的切线．

（2）∵，

∴，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴OC=15

【点睛】

本题是圆的综合，它考查了切线的判定，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识；证明圆的切线时，往往作半径．