初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试课后复习题

沪科版九年级数学下册第24章圆定向测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（      ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2、下列说法正确的个数有（    ）

①方程的两个实数根的和等于1；

②半圆是弧；

③正八边形是中心对称图形；

④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；

⑤如果反比例函数的图象经过点，则这个函数图象位于第二、四象限．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

3、如图，ABCD是正方形，△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，那么△CEF是（　　）

A．.等腰三角形 B．等边三角形

C．.直角三角形 D．.等腰直角三角形

4、小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则可以为（    ）

A．30° B．60°

C．90° D．120°

5、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）

A． B． C． D．

6、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且ABCD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（　　）

A．5 B． C． D．

7、在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切

C．相离 D．不确定

8、如图，，，，都是上的点，，垂足为，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

9、如图，是的直径，、是上的两点，若，则（    ）

A．15° B．20° C．25° D．30°

10、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（　　）

A．5厘米 B．4厘米 C．厘米 D．厘米

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．

2、如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为 _____．

3、如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为______．

4、如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P = 50°，则∠ACB ＝_____________°

5、是的内接正六边形一边，点是优弧上的一点（点不与点，重合）且，与交于点，则的度数为_______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A 顺时针旋转60°得到 ，连接 ．

（1）用等式表示 与CP的数量关系，并证明；

（2）当∠BPC＝120°时，

①直接写出 的度数为       ；

②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．

2、在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．求证：AD=CD．

3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（与A、B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE、BE

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）若BE=5，DE=13，求AB的长

4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3）,B（﹣3，5），C（﹣4，1）．

（1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；

（2）把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．

5、如图，在中，，，将绕着点A顺时针旋转得到，连接BD，连接CE并延长交BD于点F．

（1）求的度数；

（2）若，且，求DF的长．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．

【详解】

解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

2、B

【分析】

根据所学知识对五个命题进行判断即可．

【详解】

1、，故方程无实数根，故本命题错误；

2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；

3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；

4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；

5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误

综上所述，正确个数为3

故选B

【点睛】

本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．

3、D

【分析】

根据旋转的性质推出相等的边CE＝CF，旋转角推出∠ECF＝90°，即可得到△CEF为等腰直角三角形．

【详解】

解：∵△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，

∴∠ECF＝90°，CE＝CF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查旋转的性质，掌握图形旋转前后的大小和形状不变是解决问题的关键．

4、B

【分析】

由题意依据每次旋转相同角度，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°进行分析即可得出答案.

【详解】

解：因为每次旋转相同角度，旋转了六次，

且旋转了六次刚好旋转了一周为360°，

所以每次旋转相同角度 .

故选：B.

【点睛】

本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数．

5、D

【详解】

解：．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

6、D

【分析】

连接OF，OE，OG，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB平分，OC平分，利用平行线的性质及角之间的关系得出，利用勾股定理得出，再由三角形的等面积法即可得．

【详解】

解：连接OF，OE，OG，

∵AB、BC、CD分别与相切，

∴，，，且，

∴OB平分，OC平分，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

7、B

【分析】

根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得⊙C 与AB的位置关系

【详解】

解：连接,

，点O为AB中点．

CO为⊙C的半径，

是的切线，

⊙C 与AB的位置关系是相切

故选B

【点睛】

本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．

8、B

【分析】

连接OC．根据确定，，进而计算出，根据圆心角的性质求出，最后根据圆周角的性质即可求出．

【详解】

解：如下图所示，连接OC．

∵，

∴，．

∴．

∵．

∴．

∴

∵和分别是所对的圆周角和圆心角，

∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角的性质，综合应用这些知识点是解题关键．

9、C

【分析】

根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．

【详解】

解：∵∠BOC=130°，

∴∠BDC=∠BOC=65°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADC=90°-65°=25°，

故选：C．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

10、D

【分析】

根据题意先求出弦AC的长，再过点O作OB⊥AC于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可．

【详解】

解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，

∴AC=8-2=6厘米，

过点O作OB⊥AC于点B，

则AB=AC=×6=3厘米，

设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，

在Rt△AOB中，

OA2=OB2+AB2，即r2=（r-2）2+32，

解得r=厘米．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

二、填空题

1、       

【分析】

过O作OC垂直于弦AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，然后由OA=OB，且∠AOB为直角，得到三角形OAB为等腰直角三角形，由斜边AB的长，利用勾股定理求出直角边OA的长即可；再由C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，在直角三角形OAC中，由OA及AC的长，利用勾股定理即可求出OC的长，即为O点到AB的距离．

【详解】

解：过O作OC⊥AB，则有C为AB的中点，

∵OA=OB，∠AOB=90°，AB=a，

∴根据勾股定理得： OA2+OB2=AB，

∴OA=，

在Rt△AOC中，OA=，AC=AB=，

根据勾股定理得：OC==．

故答案为：；

【点睛】

此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，在圆中遇到弦，常常过圆心作弦的垂线，根据近垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．

2、

【分析】

连接OB，交AC于点D，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC为菱形，根据菱形的性质可得：，，，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，由此得出，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．

【详解】

解：如图所示，连接OB，交AC于点D，

∵四边形OABC为平行四边形，，

∴四边形OABC为菱形，

∴，，，

∵，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

在中，设，则，

∴，

即，

解得：或（舍去），

∴的长为：，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．

3、

【分析】

先由切线的性质得到∠OBC=90°，再由平行四边形的性质得到BO=BC，则∠BOC=∠BCO=45°，由OD=OB，得到∠ODB=∠OBD，由∠ODB+∠OBD=∠BOC，即可得到∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°．

【详解】

解：∵BC是圆O的切线，

∴∠OBC=90°，

∵四边形ABCO是平行四边形，

∴AO=BC，

又∵AO=BO，

∴BO=BC，

∴∠BOC=∠BCO=45°，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠ODB+∠OBD=∠BOC，

∴∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°，

故答案为：22.5°．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知切线的性质是解题的关键．

4、

【分析】

连接，根据切线的性质以及四边形内角和定理求得，进而根据圆周角定理即可求得∠ACB

【详解】

解：连接，如图，

PA，PB分别与⊙O相切

故答案为：

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键．

5、90°

【分析】

先根据是的内接正六边形一边得，再根据圆周角性质得，再根据平行线的性质得,最后由三角形外角性质可得结论．

【详解】

解：∵是的内接正六边形一边

∴

∴

∵

∴

∴

故答案为90°

【点睛】

本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键

三、解答题

1、（1），理由见解析；（2）①60°；②PM＝，见解析

【分析】

（1）根据等边三角形的性质，可得AB＝AC，∠BAC＝60°，再由由旋转可知：从而得到，可证得，即可求解 ；

（2）①由∠BPC＝120°，可得∠PBC＋∠PCB＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC＝60°，从而得到∠ABC＋∠ACB＝120°，进而得到∠ABP＋∠ACP＝60°．再由，可得 ，即可求解；

②延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．可先证得△PCM≌△NBM．从而得到CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．进而得到 ．根据①可得，可证得，从而得到 ．再由 为等边三角形，可得 ．从而得到 ，即可求解．

【详解】

解：（1） ．理由如下：

在等边三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，

由旋转可知： 

∴

即

在和△ACP中

∴ ．

∴ ．

（2）①∵∠BPC＝120°，

∴∠PBC＋∠PCB＝60°．

∵在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，

∴∠ABC＋∠ACB＝120°，

∴∠ABP＋∠ACP＝60°．

∵ ．

∴ ，

∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．

即 ；

②PM＝ ．理由如下：

如图，延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．

∵M为BC的中点，

∴BM＝CM．

在△PCM和△NBM中

∴△PCM≌△NBM（SAS）．

∴CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．

∴ ．

∵∠BPC＝120°，

∴∠PBC＋∠PCB＝60°．

∴∠PBC＋∠NBM＝60°．

即∠NBP＝60°．

∵∠ABC＋∠ACB＝120°，

∴∠ABP＋∠ACP＝60°．

∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．

即 ．

∴ ．

在△PNB和 中

∴ （SAS）．

∴ ．

∵ 

∴ 为等边三角形，

∴ ．

∴ ，

∴PM＝ ．

【点睛】

本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．

2、见解析

【分析】

由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．

【详解】

证明：根据题意作图如下：

∵BD是圆周角ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

∴，

∴AD=CD．

【点睛】

本题考查了角，弧，弦之间的关系，熟练掌握三者的关系定理是解题的关键．

3、（1）见解析；（2）17

【分析】

（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，由“SAS”可证△ACD≌△BCE；

（2）由∠ACB＝90°，AC＝BC，可得∠CAB＝∠CBA＝45°，再由△ACD≌△BCE，得到BE＝AD=5，∠CBE＝∠CAD＝45°，则∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，然后利用勾股定理求出BD的长即可得到答案．

【详解】

解：（1）证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，

∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，

∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵△ACD≌△BCE，

∴BE＝AD=5，∠CBE＝∠CAD＝45°，

∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，

∴，

∴AB=AD+BD=17．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

4、（1）图见解析；A1（3，3）；（2）见解析

【分析】

（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．

【详解】

解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（3，3）；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．

【点睛】

此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．

5、（1）45°；（2）

【分析】

（1）根据旋转的性质得，，，，通过等量代换及三角形内角和得，根据四点共圆即可求得；

（2）连接EB，先证明出，根据全等三角形的性质得，在中利用勾股定理，即可求得．

【详解】

解：（1）由旋转可知：

，，，，

∴，，．

由三角形内角和定理得，

∴点A，D，F，E共圆．

∴．

（2）连接EB，

∵，

∴．

∵，

∴．

又∵，，

∴．

∴，．

∴．

在中，，，，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、三角形全等判定及性质、勾股定理、三角形内角和等，解题的关键是掌握旋转的性质．