初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试课时作业

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沪科版九年级数学下册第24章圆定向测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2、已知⊙O的半径为4，点P 在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（ ）
A．OP>4 B．0≤OP<4 C．OP>2 D．0≤OP<2
3、如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ）

A．100° B．50° C．40° D．25°
4、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（ ）cm．
A．3π B．6π C．12π D．18π
5、如图，ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将ABC绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是（ ）

A．50° B．70° C．110° D．120°
6、若的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7、如图，边长为5的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（ ）

A． B．1 C．2 D．
8、如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（　　）

A． B．
C．或 D．（﹣2，0）或（﹣5，0）
9、如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（ ）

A． B． C． D．
10、在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（ ）

A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，PA是⊙O的切线，A是切点．若∠APO=25°，则∠AOP=___________°．

2、已知如图，AB=8，AC=4，∠BAC=60°，BC所在圆的圆心是点O，∠BOC=60°，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F，则PE+EF+FP的最小值为____________．

3、如图，、分别与相切于A、B两点，若，则的度数为________．

4、一条弧所对的圆心角为，弧长等于，则这条弧的半径为________．
5、在平面直角坐标系中，点，圆C与x轴相切于点A，过A作一条直线与圆交于A，B两点，AB中点为M，则OM的最大值为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，ABC是⊙O的内接三角形，，，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD＝6，求线段AE的长．

2、将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．

（1）如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE．
①求证：BE平分∠AEC．
②取BC的中点P，连接PH，求证：PHCG．
③若BC＝2AB＝2，求BG的长．
（2）若点A，E，D第二次在同一直线上，BC＝2AB＝4，直接写出点D到BG的距离．
3、在平面直角坐标系xOy中，旋转角满足，对图形M与图形N给出如下定义：将图形M绕原点逆时针旋转得到图形．P为图形上任意一点，Q为图形N上的任意一点，称PQ长度的最小值为图形M与图形N的“转后距”．已知点，点，点．
（1）当时，记线段OA为图形M．
①画出图形；
②若点C为图形N，则“转后距”为______；
③若线段AC为图形N，求“转后距”；

（2）已知点，点，记线段AB为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角，“转后距”大于1，直接写出t的取值范围．
4、如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，求正方形ABCD的边长和边心距．

5、在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．已知：如图，点A(，0)，B(0，)．
（1）如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝ ，d(B，⊙O)＝ ．
（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围；
（3）如果C(m，0)是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范围．


-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析
【详解】
解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；
C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．
2、A
【分析】
点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答．
【详解】
解：∵⊙O的半径为4，点P 在⊙O外部，
∴OP需要满足的条件是OP>4，
故选：A．
【点睛】
此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键．
3、C
【分析】
先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】
∵∠ACB=50°，
∴∠AOB=100°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA= 40°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4、B
【分析】
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【详解】
解：它的侧面展开图的面积＝×2×2×3＝6（cm2）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
5、B
【分析】
根据旋转可得，，得．
【详解】
解：，，
，
将绕点逆时针旋转得到△，使点的对应点恰好落在边上，
，，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
6、C
【分析】
先设半径为r，再根据弧长公式建立方程，解出r即可
【详解】
设半径为r，
则周长为2πr，
120°所对应的弧长为
解得r=3
故选C
【点睛】
本题考查弧长计算，牢记弧长公式是本题关键．
7、A
【分析】
取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．
【详解】
解：如图，取BC的中点G，连接MG，

∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB=AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×5=2.5，
∴MG=CG=，
∴HN=，
故选A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
8、C
【分析】
由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0．-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，

则PD⊥AB，PD=1，
∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴，
∴，
∴AP= ，
∴OP= 或OP= ，
∴P或P，
故选：C．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．
9、D
【分析】
由平角的性质得出∠BCD=116°，再由内接四边形对角互补得出∠A=64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD=2∠A=128°．
【详解】
∵
∴
∵四边形内接于
∴
又∵
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
10、B
【分析】
根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得⊙C 与AB的位置关系
【详解】
解：连接,

，点O为AB中点．

CO为⊙C的半径，
是的切线，
⊙C 与AB的位置关系是相切
故选B
【点睛】
本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．
二、填空题
1、65
【分析】
根据切线的性质得到OA⊥AP，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．
【详解】
解：∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴，
∵∠APO=25°，
∴，
故答案为：65．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
2、12
【分析】
如图，连接BC，AO，作点P关于AB的对称点M，作点P关于AC的对称点N，连接MN交AB于E，交AC于F，此时△PEF的周长=PE+PF+EF=EM+EF+FM=MN，想办法求出MN的最小值即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接BC，AO，作点P关于AB的对称点M，作点P关于AC的对称点N，连接MN交AB于E，交AC于F，此时△PEF的周长=PE+PF+EF=EM+EF+FM=MN，

∴当MN的值最小时，△PEF的值最小，
∵AP=AM=AN，∠BAM=∠BAP，∠CAP=∠CAN，∠BAC=60°，
∴∠MAN=120°，
∴MN=AM=PA，
∴当PA的值最小时，MN的值最小，
取AB的中点J，连接CJ．
∵AB=8，AC=4，
∴AJ=JB=AC=4，
∵∠JAC=60°，
∴△JAC是等边三角形，
∴JC=JA=JB，
∴∠ACB=90°，
∴BC=，
∵∠BOC=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=4，∠BCO=60°，
∴∠ACH=30°，
∵AH⊥OH，
AH=AC=2，CH=AH=2，
∴OH=6，
∴OA==4，
∵当点P在直线OA上时，PA的值最小，最小值为-，
∴MN的最小值为•（-）=-12．
故答案：-12．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．
3、
【分析】
根据已知条件可得出，，再利用圆周角定理得出即可．
【详解】
解：、分别与相切于、两点，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的知识点是切线的性质以及圆周角定理，掌握以上知识点是解此题的关键．
4、9cm
【分析】
由弧长公式即可求得弧的半径．
【详解】
∵
∴
故答案为：9cm
【点睛】
本题考查了扇形的弧长公式，善于对弧长公式变形是关键．
5、##
【分析】
如图所示，取D（-2，0），连接BD，连接CD与圆C交于点，先求出A点坐标，从而可证OM是△ABD的中位线，得到，则当BD最小时，OM也最小，即当B运动到时，BD有最小值，由此求解即可．
【详解】
解：如图所示，取D（-2，0），连接BD，连接CD与圆C交于点
∵点C的坐标为（2，2），圆C与x轴相切于点A，
∴点A的坐标为（2，0），
∴OA=OD=2，即O是AD的中点，
又∵M是AB的中点，
∴OM是△ABD的中位线，
∴，
∴当BD最小时，OM也最小，
∴当B运动到时，BD有最小值，
∵C（2，2），D（-2，0），
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，一点到圆上一点的距离得到最小值，两点距离公式，三角形中位线定理，把求出OM的最小值转换成求BD的最小值是解题的关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）连接OC，根据CE是⊙O的切线，可得∠OCE＝，根据圆周角定理，可得∠AOC=，从而得到∠AOC+∠OCE＝，即可求证；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于点F，由∠AOC＝，OA＝OC，可得∠OAC＝，从而得到∠BAD＝，再由AD∥EC，可得，然后证得四边形OAFC是正方形，可得，从而得到AF=3，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】
证明：（1）连接OC，

∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝，
∵∠ABC＝，
∴∠AOC＝2∠ABC＝，
∵∠AOC+∠OCE＝，
∴AD∥EC；
（2）解：过点A作AF⊥EC交EC于点F，
∵∠AOC＝，OA＝OC，
∴∠OAC＝，
∵∠BAC＝，
∴∠BAD＝，
∵AD∥EC，
∴，
∵∠OCE＝，∠AOC＝，∠AFC=90°，
∴四边形OAFC是矩形，
∵OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AFE中，，
∴AE=2AF=6．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
2、
（1）①见解析；②见解析；③
（2）
【分析】
（1）①根据旋转的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
②如图1，过点作的垂线，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的中位线定理即可得到结论；
③如图2，过点作的垂线，解直角三角形即可得到结论．
（2）如图3，连接，，过作交的延长线于，交的延长线于，根据旋转的性质得到，，解直角三角形得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
（1）
解：①证明：矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，
，
，
又，
，
，
平分；
②证明：如图1，过点作的垂线，

平分，，，
，
，
，，，
，
，
即点是中点，
又点是中点，
；
③解：如图2，过点作的垂线，

，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）
解：如图3，连接，，过作交的延长线于，交的延长线于，

，
，
将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，
，，
点，，第二次在同一直线上，
，
，
，
，
，，
，，
，，
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是正确地作出辅助线．
3、（1）①OA′，图形见详解；②2；③ “转后距”为；（2）t的取值范围为t＜-5或0＜t＜2或．
【分析】
（1）①当时，记线段OA为图形M．图形M绕原点逆时针旋转90°得到图形即OA′．
②∵点C为图形N，求出OC=2最短距离；
③过点O作OF⊥AC于F，先证△OAC为等边三角形，OF⊥AC，根据勾股定理求出OF=即可；
（2）点，点，可求tan∠OPQ=，得出当点P在x轴负半轴时，∠OPQ=120°，当点P在x轴正半轴时，∠OPQ=60°，得出∠CAB=∠ABC=30°，分三种情况，当°，当点P在点B右边，PB=t-4，BD＞1，列不等式，解得，当点P在点B左边B′右边时，∠EPB=∠OPQ=60°，PB=2PE＞2×1即4-t＞2解得t＜2，当t=0时，OA′=2，A′Q=2-1=1，t＞0，当点P在B′左边，PB′＞1，OB′=OB=4，t＜-5即可．
【详解】
解：（1）①当时，记线段OA为图形M．图形M绕原点逆时针旋转90°得到图形即OA′；
②∵点C为图形N，OC=2为图形M与图形N的“转后距”，
∴“转后距”为2，
故答案为2；
③线段AC为图形N，
过点O作OF⊥AC于F，
根据勾股定理OA=，AC=，
∴OA=AC=OC=2，
∴△OAC为等边三角形，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF=1，
∴OF=，
∴“转后距”为；

（2）∵点，点，
∴tan∠OPQ=，
∴当点P在x轴负半轴时，∠OPQ=120°，当点P在x轴正半轴时，∠OPQ=60°，
∵CB=4-2=2=AC，∠ACO=60°，
∴∠CAB=∠ABC=30°，
分三种情况，
当°，当点P在点B右边，PB=t-4，BD＞1，
∴BPsin60＞1，
∴，
解得；

当点P在点B左边B′右边时，∠EPB=∠OPQ=60°，
∴∠OEB=180°-∠EPB-∠ABC=180°-60°-30°=90°，
∵PB=4-t，
∴PB=2PE＞2×1即4-t＞2，
解得t＜2，
当t=0时，点P与原点O重合，OA′=2，A′Q=2-1=1，
∴t＞0，
∴0＜t＜2；

当点P在B′左边，PB′＞1，OB′=OB=4，
∴t＜-5；

综合t的取值范围为t＜-5或0＜t＜2或．
【点睛】
本题考查图形新定义，仔细阅读，熟悉新定义要点，图形旋转性质，最短距离，锐角三角函数，锐角三角函数值求角度，等边三角形判定与性质，勾股定理，掌握图形新定义，仔细阅读，熟悉新定义要点，图形旋转性质，最短距离，锐角三角函数，锐角三角函数值求角度，等边三角形判定与性质，勾股定理是解题关键．
4、边长为，边心距为
【分析】
过点O作OE⊥BC，垂足为E，利用圆内接四边形的性质求出∠BOC=90°，∠OBC=45°，然后在Rt△OBE中，根据勾股定理求出OE、BE即可．
【详解】
解：过点O作OE⊥BC，垂足为E，

∵正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，
∴∠BOC==90°，∠OBC=45°，OB=OC=6，
∴BE=OE．
在Rt△OBE中，∠BEO=90°，由勾股定理可得
∵OE2+BE2=OB2,
∴OE2+BE2=36,
∴OE= BE=，
∴BC=2BE=，
即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形每个中心角都等于．
5、（1）0，；（2）；（3）
【分析】
（1）根据新定义，即可求解；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据三角形的面积，可得，再由d（⊙O，线段AB）=0，可得当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，即可求解；
（3）过点C作CN⊥AB于点N ，利用锐角三角函数，可得∠OAB=60°，然后分三种情况：当点C在点A的右侧时，当点C与点A重合时，当点C在点A的左侧时，即可求解．
【详解】
解：（1）∵⊙O的半径为2，A(，0)，B(0，)．
∴，
∴点A在⊙O上，点B在⊙O外，
∴d（A，⊙O）＝，
∴d（B，⊙O）＝；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，

∵点A(，0)，B(0，)．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴，
∵d（⊙O，线段AB）=0，
∴当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，
∴r的取值范围是，
（3）如图，过点C作CN⊥AB于点N ，

∵点A(，0)，B(0，)．
∴ ，
∴ ，
∴∠OAB=60°，
∵C(m，0)，
当点C在点A的右侧时， ，
∴ ，
∴ ，
∵d（⊙C，线段AB）<1，⊙C的半径为1，
∴ ，解得： ，
当点C与点A重合时， ，
此时d（⊙C，线段AB）=0，
当点C在点A的左侧时， ，
∴
，
∴ ，解得： ，
∴．
【点睛】
本题主要考查了点与圆的位置关系，点与直线的位置关系，理解新定义，熟练掌握点与圆的位置关系，点与直线的位置关系是解题的关键．