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数学九年级下册第24章 圆综合与测试精练
展开这是一份数学九年级下册第24章 圆综合与测试精练,共31页。试卷主要包含了下列说法正确的个数有等内容,欢迎下载使用。
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如图,在Rt△ABC中,,,点D、E分别是AB、AC的中点.将△ADE绕点A顺时针旋转60°,射线BD与射线CE交于点P,在这个旋转过程中有下列结论:①△AEC≌△ADB;②CP存在最大值为;③BP存在最小值为;④点P运动的路径长为.其中,正确的( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
2、如图,点A、B、C在上,,则的度数是( )
A.100°B.50°C.40°D.25°
3、下列四个图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
4、下列各点中,关于原点对称的两个点是( )
A.(﹣5,0)与(0,5)B.(0,2)与(2,0)
C.(﹣2,﹣1)与(﹣2,1)D.(2,﹣1)与(﹣2,1)
5、下列四个图案中,是中心对称图形的是( )
A.B.
C.D.
6、如图,与的两边分别相切,其中OA边与相切于点P.若,,则OC的长为( )
A.8B.C.D.
7、下列说法正确的个数有( )
①方程的两个实数根的和等于1;
②半圆是弧;
③正八边形是中心对称图形;
④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件;
⑤如果反比例函数的图象经过点,则这个函数图象位于第二、四象限.
A.2个B.3个C.4个D.5个
8、在下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A.B.
C.D.
9、如图,,,,都是上的点,,垂足为,若,则的度数为( )
A.B.C.D.
10、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示,若水面宽,则水的最大深度为( )
A.36 cmB.27 cmC.24 cmD.15 cm
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图,与x轴交于、两点,,点P是y轴上的一个动点,PD切于点D,则△ABD的面积的最大值是________;线段PD的最小值是________.
2、一个正多边形的中心角是,则这个正多边形的边数为________.
3、点(2,-3)关于原点的对称点的坐标为_____.
4、一个五边形共有__________条对角线.
5、《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有这样的一个问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”.其意思是:“如图,现有直角三角形,勾(短直角边)长为 8 步,股(长直角边)长为 15 步,问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少?”答:该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是______步.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、如图1,在⊙O中,AC=BD,且AC⊥BD,垂足为点E.
(1)求∠ABD的度数;
(2)图2,连接OA,当OA=2,∠OAB=15°,求BE的长度;
(3)在(2)的条件下,求的长.
2、如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若,,求的半径.
3、如图,以四边形的对角线为直径作圆,圆心为,点、在上,过点作的延长线于点,已知平分.
(1)求证:是切线;
(2)若,,求的半径和的长.
4、如图,在等边三角形ABC中,点P为△ABC内一点,连接AP,BP,CP,将线段AP绕点A 顺时针旋转60°得到 ,连接 .
(1)用等式表示 与CP的数量关系,并证明;
(2)当∠BPC=120°时,
①直接写出 的度数为 ;
②若M为BC的中点,连接PM,请用等式表示PM与AP的数量关系,并证明.
5、如图,已知等边内接于⊙O,D为的中点,连接DB,DC,过点C作AB的平行线,交BD的延长线于点E.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若AB的长为6,求CE的长.
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
根据,,点D、E分别是AB、AC的中点.得出∠DAE=90°,AD=AE=,可证∠DAB=∠EAC,再证△DAB≌△EAC(SAS),可判断①△AEC≌△ADB正确;作以点A为圆心,AE为半径的圆,当CP为⊙A的切线时,CP最大,根据△AEC≌△ADB,得出∠DBA=∠ECA,可证∠P=∠BAC=90°,CP为⊙A的切线,证明四边形DAEP为正方形,得出PE=AE=3,在Rt△AEC中,CE=,可判断②CP存在最大值为正确;△AEC≌△ADB,得出BD=CE=,在Rt△BPC中,BP最小=可判断③BP存在最小值为不正确;取BC中点为O,连结AO,OP,AB=AC=6,∠BAC=90°,BP=CO=AO=,当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心,AE为半径的圆相切,此时sin∠ACE=,可求∠ACE=30°,根据圆周角定理得出∠AOP=2∠ACE=60°,当AD⊥BP′时,BP′与以点A为圆心,AE为半径的圆相切,此时sin∠ABD=,可得∠ABD=30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD=60°,点P在以点O为圆心,OA长为半径,的圆上运动轨迹为,L可判断④点P运动的路径长为正确即可.
【详解】
解:∵,,点D、E分别是AB、AC的中点.
∴∠DAE=90°,AD=AE=,
∴∠DAB+∠BAE=90°,∠BAE+∠EAC=90°,
∴∠DAB=∠EAC,
在△DAB和△EAC中,
,
∴△DAB≌△EAC(SAS),
故①△AEC≌△ADB正确;
作以点A为圆心,AE为半径的圆,当CP为⊙A的切线时,CP最大,
∵△AEC≌△ADB,
∴∠DBA=∠ECA,
∴∠PBA+∠P=∠ECP+∠BAC,
∴∠P=∠BAC=90°,
∵CP为⊙A的切线,
∴AE⊥CP,
∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°,
∴四边形DAEP为矩形,
∵AD=AE,
∴四边形DAEP为正方形,
∴PE=AE=3,
在Rt△AEC中,CE=,
∴CP最大=PE+EC=3+,
故②CP存在最大值为正确;
∵△AEC≌△ADB,
∴BD=CE=,
在Rt△BPC中,BP最小=,
BP最短=BD-PD=-3,
故③BP存在最小值为不正确;
取BC中点为O,连结AO,OP,
∵AB=AC=6,∠BAC=90°,
∴BP=CO=AO=,
当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心,AE为半径的圆相切,此时sin∠ACE=,
∴∠ACE=30°,
∴∠AOP=2∠ACE=60°,
当AD⊥BP′时,BP′与以点A为圆心,AE为半径的圆相切,此时sin∠ABD=,
∴∠ABD=30°,
∴∠AOP′=2∠ABD=60°,
∴点P在以点O为圆心,OA长为半径,的圆上运动轨迹为,
∵∠POP=∠POA+∠AOP′=60°+60°=120°,
∴L.
故④点P运动的路径长为正确;
正确的是①②④.
故选B.
【点睛】
本题考查图形旋转性质,线段中点定义,三角形全等判定与性质,圆的切线,正方形判定与性质,勾股定理,锐角三角函数,弧长公式,本题难度大,利用辅助线最长准确图形是解题关键.
2、C
【分析】
先根据圆周角定理求出∠AOB的度数,再由等腰三角形的性质即可得出结论.
【详解】
∵∠ACB=50°,
∴∠AOB=100°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA= 40°,
故选:C.
【点睛】
本题考查的是圆周角定理,即在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
3、D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【详解】
解:A、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
C、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不符合题意;
D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项符合题意;
故选:D.
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
4、D
【分析】
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,可得答案.
【详解】
解:A、(﹣5,0)与(0,5)横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数的特征,故A错误;
B、(0,2)与(2,0)横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数的特征,故B错误;
C、(﹣2,﹣1)与(﹣2,1)关于x轴对称,故C错误;
D、关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,故D正确;
故选:D.
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标,关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数.
5、A
【分析】
中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形,由此判断即可.
【详解】
解:根据中心对称图形的定义,可知A选项的图形为中心对称图形,
故选:A.
【点睛】
本题考查中心对称图形的识别,掌握中心对称图形的基本定义是解题关键.
6、C
【分析】
如图所示,连接CP,由切线的性质和切线长定理得到∠CPO=90°,∠COP=45°,由此推出CP=OP=4,再根据勾股定理求解即可.
【详解】
解:如图所示,连接CP,
∵OA,OB都是圆C的切线,∠AOB=90°,P为切点,
∴∠CPO=90°,∠COP=45°,
∴∠PCO=∠COP=45°,
∴CP=OP=4,
∴,
故选C.
【点睛】
本题主要考查了切线的性质,切线长定理,等腰直角三角形的性质与判定,勾股定理,熟知切线长定理是解题的关键.
7、B
【分析】
根据所学知识对五个命题进行判断即可.
【详解】
1、Δ=12-4×1=-3<0,故方程无实数根,故本命题错误;
2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧,半圆也是,故本命题正确;
3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合,故本命题正确;
4、抛硬币无论抛多少,出现正反面朝上都是随机事件,故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件,故本命题正确;
5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ,则,它的函数图像位于一三象限,故本命题错误
综上所述,正确个数为3
故选B
【点睛】
本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像,掌握这些是本题关键.
8、B
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的定义解答即可.
【详解】
解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
B既是中心对称图形又是轴对称图形,符合题意;
C. 是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
D. 既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,不符合题意.
故选B.
【点睛】
本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的定义.一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形叫作轴对称图形;把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形与另一个图形重合叫作中心对称图形.
9、B
【分析】
连接OC.根据确定,,进而计算出,根据圆心角的性质求出,最后根据圆周角的性质即可求出.
【详解】
解:如下图所示,连接OC.
∵,
∴,.
∴.
∵.
∴.
∴
∵和分别是所对的圆周角和圆心角,
∴.
故选:B.
【点睛】
本题考查垂径定理,圆心角的性质,圆周角的性质,综合应用这些知识点是解题关键.
10、C
【分析】
连接,过点作于点,交于点,先由垂径定理求出的长,再根据勾股定理求出的长,进而得出的长即可.
【详解】
解:连接,过点作于点,交于点,如图所示:
则,
的直径为,
,
在中,,
,
即水的最大深度为,
故选:C.
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识,解题的关键是根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
二、填空题
1、
【分析】
根据题中点的坐标可得圆的直径,半径为1,分析以AB定长为底,点D在圆上,高最大为圆的半径,即可得出三角形最大的面积;连接AP,设点,根据切线的性质及勾股定理可得,由其非负性即可得.
【详解】
解:如图所示:当点P到如图位置时,的面积最大,
∵、,
∴圆的直径,半径为1,
∴以AB定长为底,点D在圆上,高最大为圆的半径,如图所示:
此时面积的最大值为:;
如图所示:连接AP,
∵PD切于点D,
∴,
∴,
设点,
在中,,,
∴,
在中,,
∴,
则,
当时,PD取得最小值,
最小值为,
故答案为:①;②.
【点睛】
题目主要考查切线的性质及勾股定理的应用,理解题意,作出相应图形求出解析式是解题关键.
2、九9
【分析】
根据正多边形的每个中心角相等,且所有中心角的度数和为360°进行求解即可.
【详解】
解:设这个正多边形的边数为n,
∵这个正多边形的中心角是40°,
∴,
∴,
∴这个正多边形是九边形,
故答案为:九.
【点睛】
本题主要考查了正多边形的性质,熟知正多边形中心角的度数和为360度是解题的关键.
3、 (-2,3)
【分析】
根据“关于原点对称的点的坐标关系,横坐标与纵坐标都互为相反数”,即可求解.
【详解】
点(2,-3)关于原点的对称点的坐标是(-2,3).
故答案为: (-2,3).
【点睛】
本题主要考查点关于原点对称,解决本题的关键是要熟练掌握关于原点对称点的坐标的关系.
4、5
【分析】
由n边形的对角线有: 条,再把代入计算即可得.
【详解】
解:边形共有条对角线,
五边形共有条对角线.
故答案为:5
【点睛】
本题考查的是多边形的对角线的条数,掌握n边形的对角线的条数是解题的关键.
5、6
【分析】
依题意,直角三角形性质,结合题意能够容纳的最大为内切圆,结合内切圆半径,利用等积法求解即可;
【详解】
设直角三角形中能容纳最大圆的半径为:;
依据直角三角形的性质:可得斜边长为:
依据直角三角形面积公式:,即为;
内切圆半径面积公式:,即为;
所以,可得:,所以直径为:;
故填:6;
【点睛】
本题主要考查直角三角形及其内切圆的性质,重点在理解题意和利用内切圆半径求解面积;
三、解答题
1、(1);(2);(3)
【分析】
(1)如图,过作 垂足分别为 连接证明 四边形为正方形,可得 证明 可得答案;
(2)先求解 再结合(1)的结论可得答案;
(3)如图,连接 先求解 再证明 再求解 可得 再利用弧长公式计算即可.
【详解】
解:(1)如图,过作 垂足分别为 连接
四边形为矩形,
由勾股定理可得: 而
四边形为正方形,
而
(2)如图,过作 垂足分别为
由(1)得:四边形为正方形,
OA=2,∠OAB=15°,
(3)如图,连接
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用,等腰三角形的判定与性质,矩形,正方形的判定与性质,垂径定理的应用,弧长的计算,掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键.
2、(1)证明见解析;(2).
【分析】
(1)连接,只要证明即可.此题可运用三角形的中位线定理证,因为,所以.
(2)根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理可分别求出的长和、的长,即可根据中位线性质求出的长,即的半径长.
【详解】
(1)证明:连接.
因为是的中点,是的中点,
,
.
,
.
,是圆的半径,
是的切线.
(2)如图,,,
,,
,且,
,
,
且,
∴,
,
,
∴ ,
的半径长为.
【点睛】
本题考查了切线的判定、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证它们垂直即可解决问题.
3、
(1)证明见解析
(2)
【分析】
(1)连接OA,根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题;
(2)取CD中点F,连接OF,根据垂径定理可得OF⊥CD,所以四边形AEFO是矩形,利用勾股定理即可求出结果.
(1)
证明:如图,连接OA,
∵AE⊥CD,
∴∠DAE+∠ADE=90°.
∵DA平分∠BDE,
∴∠ADE=∠ADO,
又∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ADO,
∴∠DAE+∠OAD=90°,
∴OA⊥AE,
∴AE是⊙O切线;
(2)
解:如图,取CD中点F,连接OF,
∴OF⊥CD于点F.
∴四边形AEFO是矩形,
∵CD=6,
∴DF=FC=3.
在Rt△OFD中,OF=AE=4,
∴,
在Rt△AED中,AE=4,ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2,
∴,
∴AD的长是.
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质,垂径定理,圆周角定理,勾股定理,解决本题的关键是掌握切线的判定与性质.
4、(1),理由见解析;(2)①60°;②PM=,见解析
【分析】
(1)根据等边三角形的性质,可得AB=AC,∠BAC=60°,再由由旋转可知:从而得到,可证得,即可求解 ;
(2)①由∠BPC=120°,可得∠PBC+∠PCB=60°.根据等边三角形的性质,可得∠BAC=60°,从而得到∠ABC+∠ACB=120°,进而得到∠ABP+∠ACP=60°.再由,可得 ,即可求解;
②延长PM到N,使得NM=PM,连接BN.可先证得△PCM≌△NBM.从而得到CP=BN,∠PCM=∠NBM.进而得到 .根据①可得,可证得,从而得到 .再由 为等边三角形,可得 .从而得到 ,即可求解.
【详解】
解:(1) .理由如下:
在等边三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,
由旋转可知:
∴
即
在和△ACP中
∴ .
∴ .
(2)①∵∠BPC=120°,
∴∠PBC+∠PCB=60°.
∵在等边三角形ABC中,∠BAC=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠ABP+∠ACP=60°.
∵ .
∴ ,
∴∠ABP+∠ABP'=60°.
即 ;
②PM= .理由如下:
如图,延长PM到N,使得NM=PM,连接BN.
∵M为BC的中点,
∴BM=CM.
在△PCM和△NBM中
∴△PCM≌△NBM(SAS).
∴CP=BN,∠PCM=∠NBM.
∴ .
∵∠BPC=120°,
∴∠PBC+∠PCB=60°.
∴∠PBC+∠NBM=60°.
即∠NBP=60°.
∵∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠ABP+∠ACP=60°.
∴∠ABP+∠ABP'=60°.
即 .
∴ .
在△PNB和 中
∴ (SAS).
∴ .
∵
∴ 为等边三角形,
∴ .
∴ ,
∴PM= .
【点睛】
本题主要考查了等边三角形判定和性质,全等三角形的判定和性质,图形的旋转,熟练掌握等边三角形判定和性质定理,全等三角形的判定和性质定理,图形的旋转的性质是解题的关键.
5、(1)见解析;(2)3
【分析】
(1)由题意连接OC,OB,由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°,求出∠OCB=30°,则∠OCE=90°,结论得证;
(2)根据题意由条件可得∠DBC=30°,∠BEC=90°,进而即可求出CE=BC=3.
【详解】
解:(1)证明:如图连接OC、OB.
∵是等边三角形
∴
∵
∴
又 ∵
∴
∴
∴
∴与⊙O相切;
(2)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴
∴
∵D为的中点,
∴
∴
∵
∴
∴
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识.解题的关键是正确作出辅助线,利用圆的性质进行求解.
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