初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试课后测评

沪科版九年级数学下册第24章圆综合测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

2、在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽cm，则水的最大深度为（    ）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm

3、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

4、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（   ）

A．70° B．50° C．20° D．40°

5、在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，则∠B的度数为（      ）

A．140° B．100° C．80° D．40°

6、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

7、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P． A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（   ）

A．20 m B．20m

C．（20 - 20）m D．（40 - 20）m

8、如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

9、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

10、如图，是的直径，弦，垂足为，若，则（    ）

A．5 B．8 C．9 D．10

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若一次函数y＝kx+8（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 ___．

2、 “化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：

已知：⊙O（纸片），其半径为．

求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．

作法：①如图1，取⊙O的直径，作射线，过点作的垂线；

②如图2，以点为圆心，为半径画弧交直线于点；

③将纸片⊙O沿着直线向右无滑动地滚动半周，使点，分别落在对应的，处；

④取的中点，以点为圆心，为半径画半圆，交射线于点；

⑤以为边作正方形．

正方形即为所求．

根据上述作图步骤，完成下列填空：

（1）由①可知，直线为⊙O的切线，其依据是________________________________．

（2）由②③可知，，，则_____________，____________（用含的代数式表示）．

（3）连接，在Rt中，根据，可计算得_________（用含的代数式表示）．由此可得．

3、如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是________

4、如图，PA是⊙O的切线，A是切点．若∠APO=25°，则∠AOP=___________°．

5、如果点与点B关于原点对称，那么点B的坐标是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．

（1）求a的值；

（2）点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；

（3）点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．

2、如图，已知AB是⊙O的直径，，连接OC，弦，直线CD交BA的延长线于点．

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）若，，求OC的长．

3、如图①，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = k·AC，△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转某个角度得到的，BC与DE交于点F，直线BD与EC交于点G

（1）求证：BD = k·EC；

（2）求∠CGD的度数；

（3）若k = 1（如图②），求证：A，F，G三点在同一直线上．

4、如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°．

（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；

（2）求证：PA＋PB＝PC．

5、在平面直角坐标系xOy中，的半径为2．点P，Q为外两点，给出如下定义：若上存在点M，N，使得P，Q，M，N为顶点的四边形为矩形，则称点P，Q是的“成对关联点”．

（1）如图，点A，B，C，D横、纵坐标都是整数．在点B，C，D中，与点A组成的“成对关联点”的点是______；

（2）点在第一象限，点F与点E关于x轴对称．若点E，F是的“成对关联点”，直接写出t的取值范围；

（3）点G在y轴上．若直线上存在点H，使得点G，H是的“成对关联点”，直接写出点G的纵坐标的取值范围．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．

【详解】

解：根据中心对称图形的定义，可知A选项的图形为中心对称图形，

故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．

2、B

【分析】

连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．

【详解】

解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：

∵AB=8cm，

∴BD=AB=4（cm），

由题意得：OB=OC==5cm，

在Rt△OBD中，OD=（cm），

∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），

即水的最大深度为2cm，

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

3、B

【分析】

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．

【详解】

A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．是中心对称图形，故本选项符合题意；

C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4、D

【分析】

首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．

【详解】

解：连接OA，OB，

∵PA，PB为⊙O的切线，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∵∠ACB=70°，

∴∠AOB=2∠P=140°，

∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．

故选：D．

【点睛】

此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．

5、C

【分析】

，，，进而求解的值．

【详解】

解：由题意知

∵

∴

∴

∵

∴

故选C．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解．

6、C

【详解】

解：选项A是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；

选项B不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；

选项C既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；

选项D是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；

故选C

【点睛】

本题考查的是轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键，轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：把一个图形绕某点旋转后能与自身重合.

7、D

【分析】

根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．

【详解】

∵人工湖面积尽量小，

∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，

过点B作BC ⊥，垂足为C，

∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，

∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，

∴OC=CB=CP=20，

∴OP=40，OB==，

∴最小的距离PE=PO-OE=40 - 20（m），

故选D．

【点睛】

本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．

8、A

【分析】

先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据线段的和差即可得．

【详解】

由旋转的性质得：，

，

是等边三角形，

，

，

．

故选：A．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．

9、B

【分析】

由切线的性质可推出，．再根据直角三角形全等的判定条件“HL”，即可证明，即得出．

【详解】

∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，

∴，，

∴在和中，，

∴，

∴．

故选：B

【点睛】

本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．

10、C

【分析】

连接，根据垂径定理可得，设的半径为，则,进而勾股定理列出方程求得半径，进而求得

【详解】

解：如图，连接，

∵是的直径，弦，

∴

设的半径为，则

在中，，

即

解得

即

故选C

【点睛】

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

二、填空题

1、8

【分析】

根据一次函数解析式可得：，，过点B作轴，过点A作，过点Q作，由旋转的性质可得，，依据全等三角形的判定定理及性质可得：≅，，，即可确定点Q的坐标，然后利用勾股定理得出OQ的长度，最后考虑在什么情况下取得最小值即可．

【详解】

解：函数得：，，过点B作轴，过点A作，过点Q作，连接OQ，如图所示：

将线段BA绕点B逆时针旋转得到线段BQ，

∴，，

∴

∴，

在与中，

，

∴≅，

∴，，

点Q的坐标为，

∴

当或时，取得最小值为8，

故答案为：8．

【点睛】

题目主要考查一次函数与几何的综合问题，包括与坐标轴的交点，旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，作出相应图形是解题关键．

2、（1）经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2），；（3）

【分析】

（1）根据切线的定义判断即可．

（2）由=AC+，计算即可；根据计算即可．

（3）根据勾股定理，得即为正方形的面积，比较与圆的面积的大小关机即可．

【详解】

解：（1）∵⊙O的直径，作射线，过点作的垂线，

∴经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

故答案为：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

 （2）根据题意，得AC=r，==πr，

∴=AC+=r+πr，

∴=；

∵，

∴MA=-r=，

故答案为：，；                               

（3）如图，连接ME，

根据勾股定理，得

=

=；

 故答案为：．

【点睛】

本题考查了圆的切线的定义，勾股定理，圆的周长，正方形的面积和性质，熟练掌握圆的切线的定义，勾股定理，正方形的性质是解题的关键．

3、

【分析】

由勾股定理求得圆锥母线长为，再由圆锥的侧面积公式即可得出圆锥侧面积为．

【详解】

∵是一个圆锥在某平面上的正投影

∴为等腰三角形

∵AD⊥BC

∴

在中有

即

由圆锥侧面积公式有．

故答案为：。

【点睛】

本题考查了计算圆锥的侧面积，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为，圆锥的侧面积为．

4、65

【分析】

根据切线的性质得到OA⊥AP，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．

【详解】

解：∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，

∴，

∵∠APO=25°，

∴，

故答案为：65．

【点睛】

本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

5、

【分析】

关于原点对称的点坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；进而求出点B坐标．

【详解】

解：由题意知点B横坐标为；纵坐标为；

故答案为：．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标知识．解题的关键在于熟练记忆关于原点对称的点坐标中相对应的坐标互为相反数．

三、解答题

1、

（1）

（2）

（3）

【分析】

（1）先求得,点的坐标，进而根据即可求得的值；

（2）过点作轴于点，证明是直角三角形，进而，根据相似的性质列出比例式进而代入点的坐标解方程即可；

（3）接，取的中点，连接,根据题意，点在以为圆心，2为半径的圆上，则在以为圆心，为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得的解析式为，根据,设直线的解析式为，将点代入求得，进而设，根据，进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可．

（1）

令，解得

令，

抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

抛物线与轴的交点为

解得

（2）

如图，过点作轴于点，

是直角三角形，且

又

在抛物线上，

整理得

解得（舍）

在第三象限，

（3）

如图，连接，取的中点，连接,

是的中位线

根据题意点在以为圆心，2为半径的圆上，

则在以为圆心，为半径的圆上运动，

当三点共线，且在的延长线上时，最大，如图，

即

设直线的解析式为，代入点，

即

解得

直线的解析式为

设直线的解析式为

解得

则的解析式为

设点，

，

解得（舍去）

【点睛】

本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键．

2、（1）见解析；（2）

【分析】

（1）连接OD，由AD∥OC及OD=OA，即可得到∠COB=∠DOC，从而可证得△OBC≌△ODC，即可证得CD是⊙O的切线；

（2）由AD∥OC可得△EAD∽△EOC，可得，再由△OBC≌△ODC得BC=CD，

从而可得，则可求得OC的长．

【详解】

（1）连接OD，

∵，

∴．

又∵，

∴，

∴．

在与中，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴是的切线．

（2）∵，

∴，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴OC=15

【点睛】

本题是圆的综合，它考查了切线的判定，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识；证明圆的切线时，往往作半径．

3、（1）见解析；（2）90°；（3）见解析

【分析】

（1）由旋转的性质可得对应边相等对应角相等，由相似三角形的判定得出△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质即可得出结论 ；

（2）由（1）证得△ABD∽△ACE，和等腰三角形的性质得出，进而推出，由四边形的内角和定理得出结论；

（3）连接CD，由旋转的性质和等腰三角形的性质得出，CG＝DG，FC＝FD，由垂直平分线的判断得出A，F，G都在CD的垂直平分线上，进而得出结论．

【详解】

证明：（1）∵△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转某个角度得到的，

∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，

∴，

∴△ABD∽△ACE，

∴，

∵AB = k·AC，

∴，

∴BD = k·EC；

（2）由（1）证得△ABD∽△ACE，

∴，

∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAC = 90°，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴∴在四边形ADGE中，，∠BAC = 90°，

∴∠CGD＝360°－180°－90°＝90°；

（3）连接CD，如图：

∵△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转某个角度得到的，∠BAC = 90°，AB = k·AC，

∴当k = 1时，△ABC和△ADE为等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，∴CG＝DG

∵，

∴，∴FC＝FD，

∴点A、点G和点F在CD的垂直平分线上，

∴A，F，G三点在同一直线上．

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质和判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和垂直平分线的判定是解题的关键．

4、（1）△ABC是等边三角形，证明见解析；（2）见解析

【分析】

（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；

（2）如图所示，在PC取一点E使得AE=AP，先证明△APE是等边三角形，得到AP=PE，∠AEP=60°，可以推出∠AEC=∠APB，然后证明△APB≌△AEC得到BP=CE，即可证明PC=PE+CE=AP+BP．

【详解】

解：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：

由圆周角定理：∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC

∵∠APC＝∠CPB＝60°，

∴∠BAC＝∠ABC＝60°，

∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°．

∴△ABC是等边三角形．

（2）如图所示，在PC取一点E使得AE=AP，

∵∠APE=60°，AP=AE，

∴△APE是等边三角形，

∴AP=PE，∠AEP=60°，

∴∠AEC=120°，

又∵∠APC＝∠CPB＝60°，

∴∠APB=120°，

∴∠AEC=∠APB，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，

又∵∠ABP=∠ACE，

∴△APB≌△AEC（AAS），

∴BP=CE，

∴PC=PE+CE=AP+BP．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是掌握圆周角定理，正确求出∠ABC=∠BAC=60°．

5、（1）B和C；（2）；（3）

【分析】

（1）根据图形可确定与点A组成的“成对关联点”的点；

（2）如图，点E在直线上，点F在直线上，当点E在线段上，点F在线段上时，有的“成对关联点”，求出即可得出的取值范围；

（3）分类讨论：点G在上，点G在的下方和点G在的上方，构造的“成对关联点”，即可求出的取值范围．

【详解】

（1）如图所示：

在点B，C，D中，与点A组成的“成对关联点”的点是B和C，

故答案为：B和C；

（2）∵

∴在直线上，

∵点F与点E关于x轴对称，

∴在直线，

如下图所示：

直线和与分别交于点，，与直线分别交于，，

由题可得：，

当点E在线段上时，有的“成对关联点”

∴；

（3）

如图，当点G在上时，轴，在上不存在这样的矩形；

如图，当点G在下方时，也不存在这样的矩形；

如图，当点G在上方时，存在这样的矩形GMNH，

当恰好只能构成一个矩形时，

设，直线与y轴相交于点K，

则，，，，，

∴，即，

∴，

解得：或（舍），

综上：当时，点G，H是的“成对关联点”．

【点睛】

本题考查几何图形综合问题，属于中考压轴题，掌握“成对关联点”的定义是解题的关键．