数学九年级下册第24章 圆综合与测试课时训练

沪科版九年级数学下册第24章圆定向练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°

2、如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转60°得到，此时点B的对应点D恰好落在BC边上，则CD的长为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C．  D．

4、如图，在Rt中，．以点为圆心，长为半径的圆交于点，则的长是（    ）

A．1 B． C． D．2

5、如图，AB，CD是⊙O的弦，且，若，则的度数为（    ）

A．30° B．40° C．45° D．60°

6、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且ABCD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（　　）

A．5 B． C． D．

7、如图，点A、B、C在上，，则的度数是（    ）

A．100° B．50° C．40° D．25°

8、如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（    ）

A． B． C． D．

9、下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

10、的边经过圆心，与圆相切于点，若，则的大小等于（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则的长为__．

2、如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若弦BC的长度为，则∠BAC＝________度．

3、如图，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点， 图中与∠ADE相等的角是 _________ ．

4、如图，在平行四边形中，，，，以点为圆心，为半径的圆弧交于点，连接，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留）

5、已知圆O的圆心到直线l的距离为2，且圆的半径是方程x2﹣5x+6＝0的根，则直线l与圆O的的位置关系是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G为⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A的关联直线．如图1，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A的关联直线．

（1）已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：

①直线y＝2x+2；②直线y＝﹣x+3；③双曲线y＝，是⊙O的关联图形的是　   （请直接写出正确的序号）．

（2）如图2，⊙T的圆心为T（1，0），半径为1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．

（3）如图3，已知点B（0，2），C（2，0），D（0，﹣2），⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线x＝6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．

2、下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.

已知：⊙O.

求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.

作法：如图，

①作直径AB；

②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点；

③作直线MO交⊙O于点C，D；

④连接AC，BC．

所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.

根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接MA，MB．

∵MA=MB，OA=OB，

∴MO是AB的垂直平分线．

∴AC=                 ．

∵AB是直径,

∴∠ACB=        (                        ) (填写推理依据) ．

∴△ABC是等腰直角三角形．

3、在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．求证：AD=CD．

4、（教材呈现）下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容．

圆周角定理　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．

由圆周角定理，可以得到以下推论：推论1  90°的圆周角所对的弦是直径．（如图）

（推论证明）已知：△ABC的三个顶点都在⊙O上，且∠ACB＝90°．

求证：线段AB是⊙O的直径．

请你结合图①写出推论1的证明过程．

（深入探究）如图②，点A，B，C，D均在半径为1的⊙O上，若∠ACB＝90°，∠ACD＝60°．则线段AD的长为          ．

（拓展应用）如图③，已知△ABC是等边三角形，以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD，点E是BC的中点，连结DE． 若AB＝，则DE的长为           ．

5、元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，OA经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C两点，点B的坐标为，点D在上，且，求OA的半径和圆心A的坐标．

元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程：

解：如图2，连接BC．作AELOB于E、AF⊥OC于F．

∴、（依据是  ①  ）

∵，

∴（依据是  ②  ）．

∵，．

∴BC是的直径（依据是  ③  ）．

∴

∵，

∴A的坐标为（  ④  ）的半径为  ⑤ 

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

根据三角形旋转得出，，根据点A，D，E在同一条直线上利用邻补角关系求出，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC=50°，由此即可求解．

【详解】

证明：∵绕点C逆时针旋转得到，

∴，，

∴∠ADC=∠DAC，

∵点A，D，E在同一条直线上，

∴，

∴∠DAC=50°，

∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=80°

故选A．

【点睛】

本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．

2、B

【分析】

由题意以及旋转的性质可得为等边三角形，则BD=2，故CD=BC-BD=2．

【详解】

由题意以及旋转的性质知AD=AB，∠BAD=60°

∴∠ADB=∠ABD

∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°

∴∠ADB=∠ABD=60°

故为等边三角形，即AB= AD =BD=2

则CD=BC-BD=4-2=2

故选：B．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定及性质，等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于，等边三角形判定的方法有：三边相等的三角形是等边三角形（定义）；三个内角都相等的三角形是等边三角形；有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形；两个内角为60度的三角形是等边三角形．

3、B

【详解】

解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4、B

【分析】

利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用，求出BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．

【详解】

解： 在Rt中，，

∴BC=3，，

连接CD，过点C作CE⊥AB于E，

∵，

∴，

解得，

∵CB=CD，CE⊥AB，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．

5、B

【分析】

由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．

6、D

【分析】

连接OF，OE，OG，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB平分，OC平分，利用平行线的性质及角之间的关系得出，利用勾股定理得出，再由三角形的等面积法即可得．

【详解】

解：连接OF，OE，OG，

∵AB、BC、CD分别与相切，

∴，，，且，

∴OB平分，OC平分，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

7、C

【分析】

先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．

【详解】

∵∠ACB=50°，

∴∠AOB=100°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA= 40°，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

8、D

【分析】

由平角的性质得出∠BCD=116°，再由内接四边形对角互补得出∠A=64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD=2∠A=128°．

【详解】

∵

∴

∵四边形内接于

∴

又∵

∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

9、D

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

10、A

【分析】

连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．

【详解】

解：连接，

，

，

与圆相切于点，

，

，

故选：A．

【点睛】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

二、填空题

1、##

【分析】

连接OA、OC，先求出∠ABC的度数，然后得到∠AOC，再由弧长公式即可求出答案．

【详解】

解：连接OA、OC，如图，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°，

∴，

∴，

∴；

故答案为：．

【点睛】

本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式．

2、60

【分析】

在Rt△BOE中，利用勾股定理求得OE=1，知OB=2OE，得到∠BOE=60°，∠BOC=120°，再利用圆周角定理即可解决问题．

【详解】

解：如图作OE⊥BC于E．

∵OE⊥BC，

∴BE=EC=，∠BOE=∠COE，

∴OE=1，

∴OB=2OE，

∴∠OBE=30°，

∴∠BOE=∠COE=60°，

∴∠BOC=120°，

∴∠BAC=60°，

故答案为：60．

【点睛】

本题考查三角形的外心与外接圆、圆周角定理．垂径定理、勾股定理、直角三角形30度角性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．

3、∠ABC

【分析】

根据圆内接四边形的性质可得，再由题意可得，由等式的性质即可得出结果．

【详解】

解：∵四边形ABCD内接于圆，

∴，

∵E为CD延长线上一点，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键．

4、

【分析】

过点C作于点H，根据正弦定义解得CH的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．

【详解】

解：过点C作于点H，

在平行四边形中，

平行四边形的面积为：，

图中黑色阴影部分的面积为：

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

5、相切或相交

【详解】

首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．

【分析】

解：∵x2﹣5x+6＝0，

（x﹣2）（x﹣3）＝0，

解得：x1＝2，x2＝3，

∵圆的半径是方程x2﹣5x+6＝0的根，即圆的半径为2或3，

∴当半径为2时，直线l与圆O的的位置关系是相切，

当半径为3时，直线l与圆O的的位置关系是相交，

综上所述，直线l与圆O的的位置关系是相切或相交．

故答案为：相切或相交．

【点睛】

本题考查的是直线与圆的位置关系，因式分解法解一元二次方程，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆的半径大小关系完成判定．

三、解答题

1、（1）①③；（2）点N的横坐标；（3）或．

【分析】

（1）在坐标系中作出圆及三个函数图象，即可得；

（2）根据题意可得直线l的临界状态是与圆T相切的两条直线和，当临界状态为时；当临界状态为时，根据勾股定理及直角三角形的性质即可得；

（3）根据题意，只考虑横坐标的取值范围，所以将的圆心I平移到x轴上，分三种情况讨论：①当点Q在点P的上方时，连接BP、DQ，交于点H；②当点P在点Q的上方时，直线BP、DQ，交于点H，求出直线HB、直线HD的解析式，然后利用两点之间的距离解方程求解；③当时，两条直线与圆无公共点；综合三种情况即可得．

【详解】

解：（1）在坐标系中作出圆及三个函数图象，可得①③函数解析式与圆有公共点，

故答案为：①③；

（2）如图所示：

∵直线l是的关联直线，

∴直线l的临界状态是与相切的两条直线和，

当临界状态为时，连接TM，

∴，，

∵当时，，

当时，，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴，

，

∴点，

同理可得当临界状态为时，

点，

∴点N的横坐标；

（3）①如图所示：只考虑横坐标的取值范围，所以将的圆心I平移到x轴上，当点Q在点P的上方时，连接BP、DQ，交于点H；

设点，直线HB的解析式为，直线HD的解析式为，

当时，与互为相反数，可得

，

得，

由图可得：，则，

∴，

结合，

解得：，，

∴，

当时，，

∴，h的最大值为，

②如图所示：当点P在点Q的上方时，直线BP、DQ，交于点H，当圆心I在x轴上时，

设点，直线HB的解析式为，直线HD的解析式为，

当时，与互为相反数，可得

，

得，

由图可得：，则，

∴，

结合，

解得：，，

∴，

当时，，

∴，h的最小值为，

③当时，两条直线与圆无公共点，不符合题意，

∴，

综上可得：或．

【点睛】

题目主要考查直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应图形是解题关键．

2、（1）见解析；（2）BC，90°，直径所对的圆周角是直角

【分析】

（1）过点O任作直线交圆于AB两点，再作AB的垂直平分线OM，直线MO交⊙O于点C，D；连结AC、BC即可；

（2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC=BC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°即可．

【详解】

（1）①作直径AB；

②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点；

③作直线MO交⊙O于点C，D；

④连接AC，BC．

所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.

（2）证明：连接MA，MB．

∵MA=MB，OA=OB，

∴MO是AB的垂直平分线．

∴AC=BC．

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角) ．

∴△ABC是等腰直角三角形．

故答案为：BC，90°，直径所对的圆周角是直角．

【点睛】

本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键．

3、见解析

【分析】

由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．

【详解】

证明：根据题意作图如下：

∵BD是圆周角ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

∴，

∴AD=CD．

【点睛】

本题考查了角，弧，弦之间的关系，熟练掌握三者的关系定理是解题的关键．

4、【推论证明】见解析；【深入探究】；【拓展应用】．

【分析】

推论证明：根据圆周角定理求出，即可证明出线段AB是⊙O的直径；

深入探究：连接AB，首先根据∠ACB＝90°得出AB是⊙O的直径，然后求出，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据30°角直角三角形的性质求出BD的长度，最后根据勾股定理即可求出AD的长度；

拓展应用：连接AE，作CF⊥DE交DE于点F，首先根据等边三角形三线合一的性质求出，然后证明出A，E，C，D四点共圆，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出，，最后根据等腰直角三角形的性质和30°角直角三角形的性质，结合勾股定理求解即可．

【详解】

解：推论证明：∵

∴，

∴A，B，O三点共线，

又∵点O是圆心，

∴AB是⊙O的直径；

深入探究：如图所示，连接AB，

∵∠ACB＝90°

∴AB是⊙O的直径

∴

∵∠ACD＝60°

∴

∵

∴

∴在中，

∴；

拓展应用：如图所示，连接AE，作CF⊥DE交DE于点F，

∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点

∴，

又∵以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD

∴，

∴点A，E，C，D四点都在以AC为直径的圆上，

∵

∴

∵CF⊥DE

∴是等腰直角三角形

∴，

∴

∵

∴，解得：

∴

∵

∴

∴在中，

∴

∴．

【点睛】

此题考查了圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，相等的圆周角所对的弧相等，等边三角形和等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点和性质定理．

5、垂径定理，圆周角定理，圆周角定理，（1，），2

【分析】

根据垂径定理，圆周角定理依次分析解答．

【详解】

解：如图2，连接BC．作AE⊥OB于E、AF⊥OC于F．

∴、（依据是垂径定理）

∵，

∴（依据是圆周角定理）．

∵，．

∴BC是的直径（依据是圆周角定理）．

∴，

∵，

∴A的坐标为（1，），的半径为2，

故答案为：垂径定理，圆周角定理，圆周角定理，（1，），2．

【点睛】

此题考查了圆的知识，垂径定理、圆周角定理，熟记各定理知识并综合应用是解题的关键．