沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试一课一练

沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为（    ）

A． B． C． D．

2、如图图案中，不是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）

A． B． C． D．

4、如图，AB是的直径，的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P，于点E，，，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

5、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°

6、如图，在△ABC中，∠CAB=64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′AB，则旋转角的度数为（    ）

A．64° B．52° C．42° D．36°

7、如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

8、如图，是的直径，、是上的两点，若，则（    ）

A．15° B．20° C．25° D．30°

9、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC=130°，则∠AOC的度数为（    ）

A．25° B．80° C．130° D．100°

10、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（    ）

A．50° B．60° C．40° D．30°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是______（写所有正确论的号）

①AM平分∠CAB；②；③若AB=4，∠APE=30°，则的长为；④若AC=3BD，则有tan∠MAP=．

2、已知60°的圆心角所对的弧长是3.14厘米，则它所在圆的周长是______厘米．

3、若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形．

4、如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，作的外接圆，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）

5、如图，在⊙O中，＝，AB＝10，BC＝12，D是上一点，CD＝5，则AD的长为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，点A是外一点，过点A作出的一条切线．（使用尺规作图，作出一条即可，不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）

2、如图，已知在中，，D、E是BC边上的点，将绕点A旋转，得到，连接．

（1）当时，时，求证：；

（2）当时，与有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．

（3）在（2）的结论下，当，BD与DE满足怎样的数量关系时，是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）

3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（与A、B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE、BE

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）若BE=5，DE=13，求AB的长

4、如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC，请画出将△ABC绕点C旋转180°得到的△A'B'C'．（需写出△A'B'C'各顶点的坐标）．

5、如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

阴影部分的面积=扇形扇形，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及的面积，最后即可求出阴影部分的面积．

【详解】

解：由图可知：阴影部分的面积=扇形扇形，

由旋转性质可知：，，

，，

在中，，，，

，，

有勾股定理可知：，

阴影部分的面积=扇形扇形

．

故选：B．

【点睛】

本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．

2、C

【分析】

根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心求解．

【详解】

解：A、是中心对称图形，故A选项不合题意；

B、是中心对称图形，故B选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故C选项符合题意；

D、是中心对称图形，故D选项不合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．

3、D

【详解】

解：．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4、B

【分析】

由垂径定理可知，AE=CE，则阴影部分的面积等于扇形AOD的面积，求出，然后利用扇形面积公式，即可求出答案．

【详解】

解：根据题意，如图：

∵AB是的直径，OD是半径，，

∴AE=CE，

∴阴影CED的面积等于AED的面积，

∴，

∵，，

∴，

∴；

故选：B

【点睛】

本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算．

5、A

【分析】

根据三角形旋转得出，，根据点A，D，E在同一条直线上利用邻补角关系求出，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC=50°，由此即可求解．

【详解】

证明：∵绕点C逆时针旋转得到，

∴，，

∴∠ADC=∠DAC，

∵点A，D，E在同一条直线上，

∴，

∴∠DAC=50°，

∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=80°

故选A．

【点睛】

本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．

6、B

【分析】

先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=64°，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′=∠AC′C=64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．

【详解】

解：∵CC′∥AB，

∴∠ACC′=∠CAB=64°

∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，

∴∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，

∴∠ACC′=∠AC′C=64°，

∴∠CAC′=180°-∠ACC′-∠AC′C=180°-2×64°=52°，

∴旋转角为52°．

故选：B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

7、D

【分析】

根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，然后证明△OCE≌△BDE，得到求出扇形COB面积，即可得出答案．

【详解】

解：设AB与CD交于点E，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，如图，

∴CE=CD=，∠CEO=∠DEB=90°，

∵∠CDB=30°，

∴∠COB=2∠CDB=60°，

∴∠OCE=30°，

∴，

∴，

又∵，即

∴，

在△OCE和△BDE中，

，

∴△OCE≌△BDE（AAS），

∴

∴阴影部分的面积S=S扇形COB=，

故选D．

【点睛】

本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．

8、C

【分析】

根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．

【详解】

解：∵∠BOC=130°，

∴∠BDC=∠BOC=65°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADC=90°-65°=25°，

故选：C．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

9、D

【分析】

根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理计算即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠B+∠ADC=180°，

∵∠ADC=130°，

∴∠B=50°，

由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=100°，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

10、A

【分析】

根据旋转的性质求解再利用三角形的内角和定理求解再利用角的和差关系可得答案.

【详解】

解： 将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，

∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，

故选A

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.

二、填空题

1、①②④

【分析】

连接OM，由切线的性质可得，继而得，再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得，由此可判断①；通过证明，根据相似三角形的对应边成比例可判断②；求出，利用弧长公式求得的长可判断③；由，，，可得，继而可得，，进而有，在中，利用勾股定理求出PD的长，可得，由此可判断④．

【详解】

解：连接OM，

∵PE为的切线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

即AM平分，故①正确；

∵AB为的直径，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，故②正确；

∵，

∴，

∵，

∴，

∴的长为，故③错误；

∵，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，，，

∴，

又∵，

∴，

设，则，

∴，

在中，，

∴，

∴，

由①可得，

，

故④正确，

故答案为：①②④．

【点睛】

本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．

2、18.84

【分析】

先根据弧长公式求得πr，然后再运用圆的周长公式解答即可．

【详解】

解：设圆弧所在圆的半径为厘米，

则，

解得，

则它所在圆的周长为（厘米），

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了弧长公式、圆的周长公式等知识点，牢记弧长公式是解答本题的关键．

3、六

【分析】

由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数．

【详解】

解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：

∵半径与边长相等，

∴这个三角形是等边三角形，

∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，

∴这个正多边形是正六边形

故答案为：六．

【点睛】

本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键．

4、

【分析】

先求出A、B、C坐标，再证明三角形BOC是等边三角形，最后根据扇形面积公式计算即可．

【详解】

过C作CD⊥OA于D

∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴当时，，B点坐标为（0,1）

当时，，A点坐标为

∴

∵作的外接圆，

∴线段AB中点C的坐标为,

∴三角形BOC是等边三角形

∴

∵C的坐标为

∴

∴

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了一次函数的综合运用，求扇形面积．用已知点的坐标表示相应的线段是解题的关键．

5、3

【分析】

过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，根据圆周角定理可得∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，再由等腰三角形的性质可知BE=CE=6，根据相似三角形的判定证明△ABE∽△CDF，由相似三角形的性质和勾股定理分别求得AE、DF、CF， AF即可求解．

【详解】

解：过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，

∵＝， AB＝10，

∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，

∵AE⊥BC，BC=12，

∴BE=CE=6， 

∴，

∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，

∴△ABE∽△CDF，

∴，

∵AB=10，CD=5，BE=6，AE=8，

∴，

解得：DF=3，CF=4，

在Rt△AFC中，∠AFC=90°，AC=10，CF=4，

则，

∴AD=DF+AF=3＋2，

故答案为：3＋2．

【点睛】

本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解答的关键．

三、解答题

1、见解析

【分析】

先作线段的垂直平分线．确定的中点，再以中点为圆心，一半为半径作圆交于点，然后作直线，则根据圆周角定理可得为所求．

【详解】

如图，直线AB就是所求作的，

（作法不唯一，作出一条即可，需要有作图痕迹）

【点睛】

本题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

2、（1）见解析；（2）∠DAE＝∠BAC，见解析；（3）DE＝BD，见解析

【分析】

（1）根据旋转的性质可得AD＝AD′，∠CAD′＝∠BAD，然后求出∠D′AE＝60°，从而得到∠DAE＝∠D′AE，再利用“边角边”证明△ADE和△AD′E全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）根据旋转的性质可得AD＝AD′，再利用“边边边”证明△ADE和△AD′E全等，然后根据全等三角形对应角相等求出∠DAE＝∠D′AE，然后求出∠BAD＋∠CAE＝∠DAE，从而得解；

（3）求出∠D′CE＝90°，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍可得D′E＝CD′，再根据旋转的性质解答即可．

【详解】

（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，

∴AD＝AD′，∠CAD′＝∠BAD，

∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，

∴∠D′AE＝∠CAD′＋∠CAE

＝∠BAD＋∠CAE

＝∠BAC−∠DAE

＝120°−60°

＝60°，

∴∠DAE＝∠D′AE，

在△ADE和△AD′E中，

，

∴△ADE≌△AD′E（SAS），

∴DE＝D′E；

（2）解：∠DAE＝ ∠BAC．

理由如下：在△ADE和△AD′E中，

，

∴△ADE≌△AD′E（SSS），

∴∠DAE＝∠D′AE，

∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE，

∴∠DAE＝∠BAC；

（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝∠ACD′＝45°，

∴∠D′CE＝45°＋45°＝90°，

∵△D′EC是等腰直角三角形，

∴D′E＝CD′，

由（2）DE＝D′E，

∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，

∴BD＝C′D，

∴DE＝BD．

【点睛】

本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键．

3、（1）见解析；（2）17

【分析】

（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，由“SAS”可证△ACD≌△BCE；

（2）由∠ACB＝90°，AC＝BC，可得∠CAB＝∠CBA＝45°，再由△ACD≌△BCE，得到BE＝AD=5，∠CBE＝∠CAD＝45°，则∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，然后利用勾股定理求出BD的长即可得到答案．

【详解】

解：（1）证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，

∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，

∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵△ACD≌△BCE，

∴BE＝AD=5，∠CBE＝∠CAD＝45°，

∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，

∴，

∴AB=AD+BD=17．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

4、A'（-1，-3），B'（1，-1），C'（-2,0），画图见解析．

【分析】

先画出点A，B关于点C中心对称的点A'，B'，再连接A'，B'，C即可解题．

【详解】

解： A关于点C中心对称的点A'（-1，-3），B关于点C中心对称的点B'（1，-1），C关于点C中心对称的点C'（-2,0），如图，△A'B'C'即为所求作图形．

【点睛】

本题考查中心对称图形，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

5、

（1）见解析

（2）

【分析】

（1）连接，由圆周角定理得出，得出，再由，得出，证出，即可得出结论；

（2）证明，得出对应边成比例，即可求出的长．

（1）

证明：连接，如图所示：

是的直径，

，

，

，

，

，

，

即，

是的切线；

（2）

解：的半径为，

，，

，

，

，

，

，

又，

，

，

即，

．

【点睛】

本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握圆周角定理、切线的判定．