沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步训练题

沪科版九年级数学下册第24章圆重点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（    ）

A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm

3、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°

4、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC=130°，则∠AOC的度数为（    ）

A．25° B．80° C．130° D．100°

5、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（    ）

A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上三种都不对

6、下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

7、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A．  B． 

C．  D．

8、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（   ）

A．  B． 

C．  D．

9、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）

A． B． C． D．

10、在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽cm，则水的最大深度为（    ）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形．

2、如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．

3、圆锥的母线长为，底面圆半径为r，则全面积为______．

4、如图，点D为边长是的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 ____．

5、一条弧所对的圆心角为，弧长等于，则这条弧的半径为________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在等边中，是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转120°，得到，连接．

（1）如图1，当、、三点共线时，连接，若，求的长；

（2）如图2，取的中点，连接，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接、交于点．若，请直接写出的值．

2、如图，在直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转90°．

（1）画出旋转后的△AB1C1，并写出B1、C1的坐标；

（2）求线段AB在旋转过程中扫过的面积．

3、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC

求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC

作法：①以点A为圆心， AB长为半径画圆；

②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；

③连接DA并延长交⊙A于点P

点P即为所求

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明

证明：连接PC，BD

∵AB＝AC，

∴点C在⊙A上

∵BC＝BD，

∴∠_________＝∠_________

∴∠BAC＝∠CAD

∵点D，P在⊙A上，

∴∠CPD＝∠CAD（______________________） （填推理的依据）

∴∠APC＝∠BAC

4、解题与遐想．

如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积．

王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉…

赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n!确实非常神奇了…

数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？

霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？

计算验证

（1）通过计算求出Rt△ABC的面积．

拼图演绎

（2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．

尺规作图

（3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）

5、已知：如图，A为上的一点．

求作：过点A且与相切的一条直线．

作法：①连接OA；

②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为B，作射线OB；

③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；

④作直线PA．

直线PA即为所求．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接BA．

由作法可知．

∴点A在以OP为直径的圆上．

∴（    ）（填推理的依据）．

∵OA是的半径，

∴直线PA与相切（    ）（填推理的依据）．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【详解】

解：选项A是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；

选项B不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；

选项C既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；

选项D是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；

故选C

【点睛】

本题考查的是轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键，轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：把一个图形绕某点旋转后能与自身重合.

2、C

【分析】

连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．

【详解】

解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：

则，

的直径为，

，

在中，，

，

即水的最大深度为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

3、A

【分析】

根据三角形旋转得出，，根据点A，D，E在同一条直线上利用邻补角关系求出，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC=50°，由此即可求解．

【详解】

证明：∵绕点C逆时针旋转得到，

∴，，

∴∠ADC=∠DAC，

∵点A，D，E在同一条直线上，

∴，

∴∠DAC=50°，

∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=80°

故选A．

【点睛】

本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．

4、D

【分析】

根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理计算即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠B+∠ADC=180°，

∵∠ADC=130°，

∴∠B=50°，

由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=100°，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

5、C

【详解】

解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，

故选：C．

【点睛】

本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．

6、A

【分析】

中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．

【详解】

解：根据中心对称图形的定义，可知A选项的图形为中心对称图形，

故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．

7、C

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；

D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

8、C

【分析】

利用中心对称图形的定义：旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故A错误．

B、不是中心对称图形，故B错误．

C、是中心对称图形，故C正确．

D、不是中心对称图形，故D错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．

9、D

【详解】

解：．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

10、B

【分析】

连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．

【详解】

解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：

∵AB=8cm，

∴BD=AB=4（cm），

由题意得：OB=OC==5cm，

在Rt△OBD中，OD=（cm），

∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），

即水的最大深度为2cm，

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

二、填空题

1、六

【分析】

由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数．

【详解】

解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：

∵半径与边长相等，

∴这个三角形是等边三角形，

∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，

∴这个正多边形是正六边形

故答案为：六．

【点睛】

本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键．

2、       

【分析】

过O作OC垂直于弦AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，然后由OA=OB，且∠AOB为直角，得到三角形OAB为等腰直角三角形，由斜边AB的长，利用勾股定理求出直角边OA的长即可；再由C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，在直角三角形OAC中，由OA及AC的长，利用勾股定理即可求出OC的长，即为O点到AB的距离．

【详解】

解：过O作OC⊥AB，则有C为AB的中点，

∵OA=OB，∠AOB=90°，AB=a，

∴根据勾股定理得： OA2+OB2=AB，

∴OA=，

在Rt△AOC中，OA=，AC=AB=，

根据勾股定理得：OC==．

故答案为：；

【点睛】

此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，在圆中遇到弦，常常过圆心作弦的垂线，根据近垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．

3、

【分析】

根据圆锥的展开图为扇形，结合弧长公式、圆周长的求解公式、面积的求解公式，圆锥侧面积的求解公式可得出答案．

【详解】

解：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，

故可得，这个扇形的半径为，扇形的弧长为，

圆锥的侧面积为；

圆锥的全面积为圆锥的底面积侧面积：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．

4、

【分析】

根据题意作等边三角形的外接圆，当点运动到的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，分别求出两个三角形的面积，相加即可．

【详解】

解：根据题意作等边三角形的外接圆，

D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，

在圆上运动，

当点运动到的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，

过点作的垂线交于点，如图：

，

，

，

在中，

，

解得：，

，

过点作的垂线交于，

，

，

，

，

故答案是：．

【点睛】

本题考查了等边三角形，外接圆、勾股定理、动点问题，解题的关键是，作出图象及掌握圆的相关性质．

5、9cm

【分析】

由弧长公式即可求得弧的半径．

【详解】

∵

∴

故答案为：9cm

【点睛】

本题考查了扇形的弧长公式，善于对弧长公式变形是关键．

三、解答题

1、（1）；（2）；证明见解析；（3）

【分析】

（1）过点作于点，根据等边三角形的性质与等腰的性质以及勾股定理求得，进而求得，在中，，，勾股定理即可求解；

（2）延长至，使得，连接，过点作，交于点，根据平行四边形的性质可得，，证明是等边三角形，进而证明，即可证明是等边三角形，进而根据三线合一以及含30度角的直角三角形的性质，可得；

（3）过点作于点，过点作，连接，交于点，过点作，交于点，过点作于点，先证明，结合中位线定理可得，进而可得，设，分别勾股定理求得，进而根据求得，即可求得的值

【详解】

（1）过点作于点，如图

将绕点顺时针旋转120°，得到，

是等边三角形

，

，

在中，，

（2）如图，延长至，使得，连接，过点作，交于点，

点是的中点

又

四边形是平行四边形

，

将绕点顺时针旋转120°，得到，

是等边三角形

，，

是等边三角形

设，则,

，

,

是等边三角形

，

即

（3） 如图，过点作于点，过点作，连接，交于点，过点作，交于点，过点作于点，

四点共圆

由（2）可知，

将绕点顺时针旋转120°，得到，

是的中点，

是的中位线

是等腰直角三角形

四边形是矩形

，

设

在中，

,

在中,

在中

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，四点共圆，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；掌握旋转的性质，等边三角形的性质与判定是解题的关键．

2、（1）作图见解析，、；（2）

【分析】

（1）将绕点A顺时针旋转90°得，根据点A、B、C坐标，即可确定出点、的坐标；

（2）根据勾股定理求出AB的长，由扇形面积公式即可得出答案．

【详解】

（1）将绕点A顺时针旋转90°得如图所示：

∴、；

（2）由图可知：，

∴线段AB在旋转过程中扫过的面积为．

【点睛】

本题考查作旋转图形以及扇形的面积公式，掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键．

3、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半

【分析】

（1）根据按步骤作图即可；

（2）根据圆周角定理进行证明即可

【详解】

解：（1）如图所示，

（2）证明：连接PC，BD

∵AB＝AC，

∴点C在⊙A上

∵BC＝BD，

∴∠BAC=∠BAD

∴∠BAC＝∠CAD

∵点D，P在⊙A上，

∴∠CPD＝∠CAD（圆周角定理） （填推理的依据）

∴∠APC＝∠BAC

故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半

【点睛】

本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．

4、（1）S△ABC＝20；（2）见解析；（3）见解析．

【分析】

（1）设⊙O的半径为r，由切线长定理得，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，CE＝CF＝r，由勾股定理得，（r+4）2+（r+5）2＝92，进而求得结果；

（2）根据切线长定理可证明甲和乙两个三角形全等，丙丁两个三角形全等，故将甲乙图形放在OE为边的上方，将丙丁以OP为边放在右侧，围成矩形的边长是4和5；

（3）可先计算∠AFB＝135°，根据“定弦对定角”作F点的轨迹，根据切线性质，过点F作AB的垂线，再根据直径所对的圆周角是90°，确定点C．

【详解】

解：（1）如图1，

设⊙O的半径为r，

连接OE，OF，

∵⊙O内切于△ABC，

∴OE⊥AC，OF⊥BC，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，

∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，

∴四边形ECFO是矩形，

∴CF＝OE＝r，CE＝OF＝r，

∴AC＝4+r，BC＝5+r，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

（r+4）2+（r+5）2＝92，

∴r2+9r＝20，

∴S△ABC＝

＝

＝

＝

＝20；

（2）

如图2，

（3）设△ABC的内切圆记作⊙F，

∴AF和BF平分∠BAC和∠ABC，FD⊥AB，

∴∠BAF＝∠CAB，∠ABF＝，

∴∠BAF+∠ABF＝（∠BAC+∠ABC）＝＝45°，

∴∠AFB＝135°，

可以按以下步骤作图（如图3）：

①以BA为直径作圆，作AB的垂直平分线交圆于点E，

②以E为圆心，AE为半径作圆，

③过点D作AB的垂线，交圆于F，

④连接EF并延长交圆于C，连接AC，BC，

则△ABC就是求作的三角形．

【点睛】

本题考查三角形的内切圆性质、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质、尺规作图-作垂线，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

5、（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理

【分析】

（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可；

（2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．

【详解】

解：（1）补全图形如图所示，直线AP即为所求作；

（2）证明：连接BA，

由作法可知，

∴点A在以OP为直径的圆上，

∴（直径所对的圆周角是直角），

∵OA是的半径，

∴直线PA与相切（切线的判定定理），

故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．

【点睛】

本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．