数学九年级下册第24章 圆综合与测试综合训练题

沪科版九年级数学下册第24章圆同步测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，是的直径，、是上的两点，若，则（    ）

A．15° B．20° C．25° D．30°

2、如图，是△ABC的外接圆，已知，则的大小为（      ）

A．55° B．60° C．65° D．75°

3、从图形运动的角度研究抛物线, 有利于我们认识新的拋物线的特征. 如果将拋物线绕着原点旋转180°，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列法正确的是（   ）

A．它们的开口方向相同 B．它们的对称轴相同

C．它们的变化情況相同 D．它们的顶点坐标相同

4、扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（    ）

A．不变 B．面积扩大为原来的3倍

C．面积扩大为原来的9倍 D．面积缩小为原来的

5、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

6、如图，在△ABC中，∠CAB=64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′AB，则旋转角的度数为（    ）

A．64° B．52° C．42° D．36°

7、如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（　　　　）

A．AM=BM B．CM=DM C． D．

8、在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽cm，则水的最大深度为（    ）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm

9、如图，在Rt△ABC中，，，点D、E分别是AB、AC的中点．将△ADE绕点A顺时针旋转60°，射线BD与射线CE交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值为；③BP存在最小值为；④点P运动的路径长为．其中，正确的（      ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

10、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（   ）

A．3 B．2 C．1 D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若一次函数y＝kx+8（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 ___．

2、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为________．

3、如果点与点B关于原点对称，那么点B的坐标是______．

4、如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是______．

5、如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示．

（1）阴影部分的周长；

（2）阴影部分的面积．（结果保留π）

2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（与A、B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE、BE

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）若BE=5，DE=13，求AB的长

3、如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CFBD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．

4、如图，已知等边内接于⊙O，D为的中点，连接DB，DC，过点C作AB的平行线，交BD的延长线于点E．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AB的长为6，求CE的长．

5、如图1，BC是⊙O的直径，点A，P在⊙O上，且分别位于BC的两侧（点A、P均不与点B、C重合），过点A 作AQ⊥AP，交PC 的延长线于点Q，AQ交⊙O于点D，已知AB＝3，AC＝4．

（1）求证：△APQ∽△ABC．

（2）如图2，当点C为的中点时，求AP的长．

（3）连结AO，OD，当∠PAC与△AOD的一个内角相等时，求所有满足条件的AP的长．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．

【详解】

解：∵∠BOC=130°，

∴∠BDC=∠BOC=65°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADC=90°-65°=25°，

故选：C．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

2、C

【分析】

由OA=OB，，求出∠AOB=130°，根据圆周角定理求出的度数．

【详解】

解：∵OA=OB，，

∴∠BAO=．

∴∠AOB=130°．

∴=∠AOB=65°．

故选：C．

【点睛】

此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．

3、B

【分析】

根据旋转的性质及抛物线的性质即可确定答案．

【详解】

抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，2)，将此抛物线绕原点旋转180°后所得新抛物线的开口向下，对称轴仍为y轴，顶点坐标为(0，－2)，所以在四个选项中，只有B选项符合题意．

故选：B

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质等知识，掌握这两方面的知识是关键．

4、A

【分析】

设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则变化后的扇形的半径为3r，圆心角为，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案．

【详解】

设原来扇形的半径为r，圆心角为n，

∴原来扇形的面积为，

∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，

∴变化后的扇形的半径为3r，圆心角为，

∴变化后的扇形的面积为，

∴扇形的面积不变．

故选：A．

【点睛】

本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键．

5、A

【分析】

根据直径所对的圆角为直角，可得 ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．

【详解】

解：∵AB是⊙O的直径，

∴ ，

∵∠BAC＝30°，BC＝2，

∴．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了直径所对的圆角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．

6、B

【分析】

先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=64°，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′=∠AC′C=64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．

【详解】

解：∵CC′∥AB，

∴∠ACC′=∠CAB=64°

∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，

∴∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，

∴∠ACC′=∠AC′C=64°，

∴∠CAC′=180°-∠ACC′-∠AC′C=180°-2×64°=52°，

∴旋转角为52°．

故选：B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

7、B

【分析】

根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．

【详解】

解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，

∴AM=BM，，，

即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，

当根据已知条件得CM和DM不一定相等，

故选B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．

8、B

【分析】

连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．

【详解】

解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：

∵AB=8cm，

∴BD=AB=4（cm），

由题意得：OB=OC==5cm，

在Rt△OBD中，OD=（cm），

∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），

即水的最大深度为2cm，

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

9、B

【分析】

根据，，点D、E分别是AB、AC的中点．得出∠DAE=90°，AD=AE=，可证∠DAB=∠EAC，再证△DAB≌△EAC（SAS），可判断①△AEC≌△ADB正确；作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，根据△AEC≌△ADB，得出∠DBA=∠ECA，可证∠P=∠BAC=90°，CP为⊙A的切线，证明四边形DAEP为正方形，得出PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE=，可判断②CP存在最大值为正确；△AEC≌△ADB，得出BD=CE=，在Rt△BPC中，BP最小=可判断③BP存在最小值为不正确；取BC中点为O，连结AO，OP，AB=AC=6，∠BAC=90°，BP=CO=AO=，当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ACE=，可求∠ACE=30°，根据圆周角定理得出∠AOP=2∠ACE=60°，当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=，可得∠ABD=30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD=60°，点P在以点O为圆心，OA长为半径，的圆上运动轨迹为，L可判断④点P运动的路径长为正确即可．

【详解】

解：∵，，点D、E分别是AB、AC的中点．

∴∠DAE=90°，AD=AE=，

∴∠DAB+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，

∴∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

故①△AEC≌△ADB正确；

作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，

∵△AEC≌△ADB，

∴∠DBA=∠ECA，

∴∠PBA+∠P=∠ECP+∠BAC，

∴∠P=∠BAC=90°，

∵CP为⊙A的切线，

∴AE⊥CP，

∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°，

∴四边形DAEP为矩形，

∵AD=AE，

∴四边形DAEP为正方形，

∴PE=AE=3，

在Rt△AEC中，CE=，

∴CP最大=PE+EC=3+，

故②CP存在最大值为正确；

∵△AEC≌△ADB，

∴BD=CE=，

在Rt△BPC中，BP最小=，

BP最短=BD-PD=-3，

故③BP存在最小值为不正确；

取BC中点为O，连结AO，OP，

∵AB=AC=6，∠BAC=90°，

∴BP=CO=AO=，

当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ACE=，

∴∠ACE=30°，

∴∠AOP=2∠ACE=60°，

当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=，

∴∠ABD=30°，

∴∠AOP′=2∠ABD=60°，

∴点P在以点O为圆心，OA长为半径，的圆上运动轨迹为，

∵∠POP=∠POA+∠AOP′=60°+60°=120°，

∴L．

故④点P运动的路径长为正确；

正确的是①②④．

故选B．

【点睛】

本题考查图形旋转性质，线段中点定义，三角形全等判定与性质，圆的切线，正方形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，本题难度大，利用辅助线最长准确图形是解题关键．

10、B

【分析】

连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．

【详解】

解：连接OC，如图

∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．

二、填空题

1、8

【分析】

根据一次函数解析式可得：，，过点B作轴，过点A作，过点Q作，由旋转的性质可得，，依据全等三角形的判定定理及性质可得：≅，，，即可确定点Q的坐标，然后利用勾股定理得出OQ的长度，最后考虑在什么情况下取得最小值即可．

【详解】

解：函数得：，，过点B作轴，过点A作，过点Q作，连接OQ，如图所示：

将线段BA绕点B逆时针旋转得到线段BQ，

∴，，

∴

∴，

在与中，

，

∴≅，

∴，，

点Q的坐标为，

∴

当或时，取得最小值为8，

故答案为：8．

【点睛】

题目主要考查一次函数与几何的综合问题，包括与坐标轴的交点，旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，作出相应图形是解题关键．

2、4

【分析】

由周长公式可得⊙O半径为4，再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF中心角为，即可知正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF边长．

【详解】

∵⊙O的周长为8π

∴⊙O半径为4

∵正六边形ABCDEF内接于⊙O

∴正六边形ABCDEF中心角为

∴正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的

∴正六边形ABCDEF边长为4.

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了正多边形的中心角公式，正n边形的每个中心角都等于，由中心角为得出正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键．

3、

【分析】

关于原点对称的点坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；进而求出点B坐标．

【详解】

解：由题意知点B横坐标为；纵坐标为；

故答案为：．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标知识．解题的关键在于熟练记忆关于原点对称的点坐标中相对应的坐标互为相反数．

4、2

【分析】

连接OC，利用半径相等以及三角形的外角性质求得∠COH=60°，∠OCH=30°，利用30度角的直角三角形的性质即可求解．

【详解】

解：连接OC，

∵OA=OC，∠A=30°，

∴∠COH=2∠A=60°，

∵弦CD⊥AB于H，

∴∠OHC=90°，

∴∠OCH=30°，

∵OH=1，

∴OC=2OH=2，

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了垂径定理和含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握垂径定理是解题的关键．

5、

【分析】

由与是等腰直角三角形，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得在以为直径的圆上，由的外心为，，得到，如图，当时，的值最小，解直角三角形即可得到结论．

【详解】

解：与是等腰直角三角形，

，

，

在与中，

，

≌，

，

，

，

在以为直径的圆上，

的外心为，，

，

如图，当时，的值最小，

，

，

，，

．

则的最小值是，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

三、解答题

1、

（1）16π

（2）24π

【分析】

（1）由阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+弧BC的长，利用弧长公式可求解；

（2）由面积的和差关系可求解．

（1）

解：阴影部分的周长＝2××2π×6+＝16π；

（2）

解：∵阴影部分的面积＝S半圆+S扇形BAC﹣S半圆＝S扇形BAC，

∴阴影部分的面积＝＝24π．

答：阴影部分的周长为16π，阴影部分的面积为24π．

【点睛】

本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是n°，扇形的半径为r，则扇形的弧长l的计算公式为：，扇形的面积公式：．

2、（1）见解析；（2）17

【分析】

（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，由“SAS”可证△ACD≌△BCE；

（2）由∠ACB＝90°，AC＝BC，可得∠CAB＝∠CBA＝45°，再由△ACD≌△BCE，得到BE＝AD=5，∠CBE＝∠CAD＝45°，则∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，然后利用勾股定理求出BD的长即可得到答案．

【详解】

解：（1）证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，

∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，

∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵△ACD≌△BCE，

∴BE＝AD=5，∠CBE＝∠CAD＝45°，

∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，

∴，

∴AB=AD+BD=17．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

3、见解析

【分析】

由题意易得AB⊥CD，，则有，由平行线的性质可得，然后可得，进而问题可求证．

【详解】

证明：∵AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点，

∴AB⊥CD，

∴，

∴，

∵CF∥BD，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查垂径定理、平行线的性质及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、平行线的性质及圆周角定理是解题的关键．

4、（1）见解析；（2）3

【分析】

（1）由题意连接OC，OB，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°，求出∠OCB=30°，则∠OCE=90°，结论得证；

（2）根据题意由条件可得∠DBC=30°，∠BEC=90°，进而即可求出CE=BC＝3．

【详解】

解：（1）证明：如图连接OC、OB．

∵是等边三角形

∴ 

∵

∴  

又 ∵

∴

∴

∴

∴与⊙O相切；

 （2）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴

∴

∵D为的中点，

∴

∴

∵

∴   

∴

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行求解．

5、（1）见解析；（2）（3）当，时，；当时，．

【分析】

（1）通过证，，即可得；

（2）先证是等腰直角三角形，求，通过，得，求CQ长，即可求PQ得长，通过，即可得，即可求AP．

（3）分类讨论， ，，，三种情况讨论，再通过勾股定理和相似即可求解．

【详解】

证明：（1）∵AQ⊥AP

∴

∵BC是⊙O的直径

∴

∴

∵

∴

（2）如图，连接CD，PD

∵BC是⊙O的直径

∴

∵AB＝3，AC＝4

∴利用勾股定理得：,即直径为5

∵

∴

∴DP是⊙O的直径，且DP=BC=5

∵点C为的中点

∴CD=PC

∵

∴

∴是等腰直角三角形

∴利用勾股定理得：,则

∵，

∴

∵

∴

∴，即：

∴

∴

∵

∴，即：

∴

（3）连接AO,OD，OP，CD，OD交AC于点M

∵（已证）

∴OD,OP共线，为⊙O的直径

情况一：当时

∵，

∴

∴AP=PC

∵

∴

∴

∴即

∵AP=PC

∴

∴在中，

∴

∴在中，

情况二：当时，

∵

∴

∴

同情况一：

情况三：当时

∵，

∴

∴，

∵OA=OD

∴

∴

∴

综上所述，当，时，；当时，．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，是圆的综合题。解答此题的关键是，通过圆的性质，找到角与角、边与边之间的关系．