2020-2021学年第24章 圆综合与测试课时作业

沪科版九年级数学下册第24章圆达标测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，CD是的高，按以下步骤作图：

（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点．

（2）作直线GH交AB于点E．

（3）在直线GH上截取．

（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．

则下列说法错误的是（    ）

A． B． C． D．

2、已知⊙O的半径为4，，则点A在（      ）

A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定

3、下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

4、如图，是△ABC的外接圆，已知，则的大小为（      ）

A．55° B．60° C．65° D．75°

5、如图，AB是的直径，弦CD交AB于点P，，，，则CD的长为（    ）

A． B． C． D．8

6、下列图形中，是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

7、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

8、如图，是的直径，弦，垂足为，若，则（    ）

A．5 B．8 C．9 D．10

9、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

10、如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为24cm2，则圆形螺帽的半径是（　　）

A．1cm B．2cm C．2cm D．4cm

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，以面积为20cm2的Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若，则AC＋BC＝_____．

2、已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的面积是___________．

3、在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的圆O交BC边于点D．要使得圆O与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是 _________ ．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC > 60°；②45° < ∠ABC < 60°；③BD > AB；④AB < DE < AB．

4、如图，在Rt△ABC，∠B=90°，AB=BC=1，将△ABC绕着点C逆时针旋转60°，得到△MNC，那么BM=______________．

5、已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图1，点O为直线AB上一点，将两个含60°角的三角板MON和三角板OPQ如图摆放，使三角板的一条直角边OM、OP在直线AB上，其中．

（1）将图1中的三角板OPQ绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边OP在的内部且平分，此时三角板OPQ旋转的角度为______度；

（2）三角板OPQ在绕点O按逆时针方向旋转时，若OP在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）如图3，将图1中的三角板MON绕点O以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板OPQ绕点O以每秒3°的速度按逆时针方向旋转，将射线OB绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线OB记为OE，射线OC平分，射线OD平分，当射线OC、OD重合时，射线OE改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在OC与OD第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值．

2、如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作ECOA于点C，过点B作O的切线交CE的延长线于点D ．

（1）求证：DBDE；

（2）若AB12，BD5，求AC长．

3、如图1，在中，，，点D为AB边上一点．

（1）若，则______；

（2）如图2，将线段CD绕着点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE，求证：；

（3）如图3，过点A作直线CD的垂线AF，垂足为F，连接BF．直接写出BF的最小值．

4、如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．

5、如图1，在⊙O中，AC＝BD，且AC⊥BD，垂足为点E．

（1）求∠ABD的度数；

（2）图2，连接OA，当OA＝2，∠OAB＝15°，求BE的长度；

（3）在（2）的条件下，求的长．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，再根据可得∠AFE=45°，进而得出∠AFB＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．

【详解】

解：连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，

∴，故A正确；

∵CD是的高，

∴，故B正确；

∵，，

∴，故C错误；

∵，

∴∠AFE=45°，

同理可得∠BFE=45°，

∴∠AFB＝90°，

，故D正确；

故选：C．

【点睛】

本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．

2、C

【分析】

根据⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5知d>r，据此可得答案．

【详解】

解：∵⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5，

∴d>r，

∴点A在⊙O外，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．

3、C

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4、C

【分析】

由OA=OB，，求出∠AOB=130°，根据圆周角定理求出的度数．

【详解】

解：∵OA=OB，，

∴∠BAO=．

∴∠AOB=130°．

∴=∠AOB=65°．

故选：C．

【点睛】

此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．

5、A

【分析】

过点作于点，连接，根据已知条件即可求得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理即可求得的长．

【详解】

解：如图，过点作于点，连接，

AB是的直径，，，

，

在中，

故选A

【点睛】

本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．

6、C

【分析】

根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解．

【详解】

A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、不是中心对称图形，不符合题意；

C、是中心对称图形，符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．

7、C

【分析】

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

8、C

【分析】

连接，根据垂径定理可得，设的半径为，则,进而勾股定理列出方程求得半径，进而求得

【详解】

解：如图，连接，

∵是的直径，弦，

∴

设的半径为，则

在中，，

即

解得

即

故选C

【点睛】

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

9、B

【分析】

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．

【详解】

A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．是中心对称图形，故本选项符合题意；

C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

10、D

【分析】

根据圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，由面积公式可求出半径．

【详解】

解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，过作于

设半径为r，即OA=OB=AB=r，

OM=OA•sin∠OAB=，

∵圆O的内接正六边形的面积为（cm2），

∴△AOB的面积为（cm2），

即，

，

解得r=4，

故选：D．

【点睛】

本题考查正多边形和圆，作边心距转化为直角三角形的问题是解决问题的关键．

二、填空题

1、##

【分析】

连接，延长交于点，连接，先根据圆周角定理和圆的性质可得，再根据特殊角的三角函数值可得，从而可得，作，交于点，从而可得，然后在中，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，设，从而可得，利用直角三角形的面积公式可求出的值，由此即可得．

【详解】

解：如图，连接，延长交于点，连接，

都是的直径，

，

，

，

在中，，

，

平分，且，

，

，

，

，

如图，作，交于点，

，

在中，，

，

设，则，

，

，

解得或（不符题意，舍去），

则，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值、圆周角定理、含角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和等腰三角形是解题关键．

2、

【分析】

根据圆心角为的扇形面积是进行解答即可得．

【详解】

解：这个扇形的面积．

故答案是：．

【点睛】

本题考查了扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式．

3、②④

【分析】

将所给四个条件逐一判断即可得出结论．

【详解】

解：在中，

①当∠BAC > 60°时，若时，点E与点A重合，不符合题意，故①不满足；

②当∠ABC时，点E与点A重合，不符合题意，当∠ABC时，点E与点O不关于AD对称，当时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，

所以，当45° < ∠ABC < 60°时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故②满足条件；

③当时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故③不满足条件；

④当AB < DE < AB时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故④满足条件；

所以，要使得与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是45° < ∠ABC < 60°或AB < DE < AB

故答案为②④

【点睛】

本题考查了圆周角定理，正确判断出每种情况是解答本题的关键．

4、

【分析】

设BN与AC交于D，过M作MF⊥BA于F，过M作ME⊥BC于E，连接AM，先证明△EMC≌△FMA得ME=MF，从而可得∠CBD=45°，∠CDB=180°-∠BCA-∠CBD=90°，再在Rt△BCD、Rt△CDM中，分别求出BD和DM，即可得到答案．

【详解】

解：设BN与AC交于D，过M作MF⊥BA于F，过M作ME⊥BC于E，连接AM，如图：

∵△ABC绕着点C逆时针旋转60°，

∴∠ACM=60°，CA=CM，

∴△ACM是等边三角形，

∴CM=AM①，∠ACM=∠MAC=60°，

∵∠B=90°，AB=BC=1，

∴∠BCA=∠CAB=45°，AC==CM，

∴∠BCM=∠BCA+∠ACM=105°，∠BAM=∠CAB+∠MAC=105°，

∴∠ECM=∠MAF=75°②，

∵MF⊥BA，ME⊥BC，

∴∠E=∠F=90°③，

由①②③得△EMC≌△FMA，

∴ME=MF，

而MF⊥BA，ME⊥BC，

∴BM平分∠EBF，

∴∠CBD=45°，

∴∠CDB=180°-∠BCA-∠CBD=90°，

Rt△BCD中，BD=BC=，

Rt△CDM中，DM=CM =，

∴BM=BD+DM=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查等腰三角形性质、等边三角形的性质及判定，解题的关键是证明∠CDB=90°．

5、在⊙A上

【分析】

先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．

【详解】

解：∵点A的坐标为（4，3），

∴OA==5，

∵半径为5，

∴OA=r，

∴点O在⊙A上．

故答案为：在⊙A上．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r．

三、解答题

1、

（1）135°

（2）∠MOP-∠NOQ=30°，理由见解析

（3）s或s．

【分析】

（1）先根据OP平分得到∠PON，然后求出∠BOP即可；

（2）先根据题意可得∠MOP=90°-∠POQ, ∠NOQ=60°-∠POQ,然后作差即可；

（3）先求出旋转前OC、OD的夹角，然后再求出OC与OD第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在OC与OD第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分OE在OC的左侧和OE在OC的右侧两种情况解答即可．

（1）

解：∵OP平分∠MON

∴∠PON=∠MON=45°

∴三角板OPQ旋转的角：∠BOP=∠PON+∠NOB=135°．

故答案是135°

（2）

解：∠MOP-∠NOQ=30°，理由如下：

∵∠MON=90°，∠POQ=60°

∴∠MOP=90°-∠POQ, ∠NOQ=60°-∠POQ,

∴∠MOP-∠NOQ=90°-∠POQ -（60°-∠POQ）=30°．

（3）

解：∵射线OC平分，射线OD平分

∴∠NOC=45°，∠POD=30°

∴选择前OC与OD的夹角为∠COD=∠NOC+∠NOP+∠POD=165°

∴OC与OD第一次相遇的时间为165°÷（2°+3°）=33秒，此时OB旋转的角度为33×5°=165°

∴此时OC与OE的夹角165-（180-45-2×33）=96°

OC与OD第二次相遇需要时间360°÷（3°+2°）=72秒

设在OC与OD第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t

①当OE在OC的左侧时，有（5°-2°）t=96°-13°，解得：t=s

②当OE在OC的右侧时，有（5°-2°）t=96°+13°，解得：t=s

然后，①②都是每隔360÷（5°-2°）=120秒，出现一次这种现象

∵C、D第二次相遇需要时间72秒

∴在OC与OD第二次相遇前，当时，、旋转时间t的值为s或s．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．

2、（1）见解析；（2）

【分析】

（1）由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；

（2）由已知条件得出sin∠DEF和sin∠AOE的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.

【详解】

（1）如图，

∵DC⊥OA，

∴∠1+∠3=90°，

∵BD为切线，

∴OB⊥BD，

∴∠2+∠5=90°，

∵OA=OB，

∴∠1=∠2，

∵∠3=∠4，

∴∠4=∠5，

在△DEB中，∠4=∠5，

∴DE=DB.

(2)如图，作DF⊥AB于F，

连接OE，∵DB=DE，

∴EF=BE=3，

在Rt△DEF中，EF=3，DE=BD=5，

∴DF=

∴sin∠DEF== ，

∵∠AOE,，

∴∠AOE=∠DEF，

∴在Rt△AOE中，sin∠AOE= ，

∵AE=6，

∴AO=.

【点睛】

本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.

3、

（1）5

（2）证明见解析

（3）

【分析】

(1)过C作CM⊥AB于M，根据等腰三角形的性质求出CM和DM，再根据勾股定理计算即可；

(2)连BE，先证明,即可得到直角三角形ABE，利用勾股定理证明即可；

（3）取AC中点N，连接FN、BN，根据三角形BFN中三边关系判断即可．

（1）

过C作CM⊥AB于M，

∵，

∴

∵

∴

∴在Rt中

（2）

连接BE，

∵，，，

∴,

∴

∴，

∴

在Rt中

∴

∴

（3）

取AC中点N，连接FN、BN，

∵，，

∴

∵AF垂直CD

∴

∵AC中点N，

∴

∴

∵三角形BFN中

∴

∴当B、F、N三点共线时BF最小，最小值为．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的常用辅助线以及直角三角形斜边上的中线，解题的关键是根据等腰直角三角形作斜边垂线或者构造“手拉手模型”．

4、

（1）见解析

（2）

【分析】

（1）连接，由圆周角定理得出，得出，再由，得出，证出，即可得出结论；

（2）证明，得出对应边成比例，即可求出的长．

（1）

证明：连接，如图所示：

是的直径，

，

，

，

，

，

，

即，

是的切线；

（2）

解：的半径为，

，，

，

，

，

，

，

又，

，

，

即，

．

【点睛】

本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握圆周角定理、切线的判定．

5、（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）如图，过作 垂足分别为 连接证明 四边形为正方形，可得 证明 可得答案；

（2）先求解 再结合（1）的结论可得答案；

（3）如图，连接 先求解 再证明 再求解 可得 再利用弧长公式计算即可.

【详解】

解：（1）如图，过作 垂足分别为 连接

四边形为矩形，

由勾股定理可得： 而

四边形为正方形，

而

（2）如图，过作 垂足分别为

由（1）得：四边形为正方形，

OA＝2，∠OAB＝15°，

（3）如图，连接

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弧长的计算，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键.