数学第24章 圆综合与测试一课一练

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沪科版九年级数学下册第24章圆难点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ）A． B． C． D．2、在半径为6cm的圆中，的圆心角所对弧的弧长是（    ）A．cm B．cm C．cm D．cm3、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（　　）A．5厘米 B．4厘米 C．厘米 D．厘米4、如图，AB是的直径，的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P，于点E，，，则阴影部分的面积为（    ）A． B． C． D．5、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）A．  B．C． D．6、如图，，，，都是上的点，，垂足为，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．7、如图，ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将ABC绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是（    ）A．50° B．70° C．110° D．120°8、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（    ）A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上三种都不对9、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（    ）A．3 B．4 C．5 D．610、如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（    ）A．45° B．60° C．90° D．120°第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（2，0），∠OCB=30°，D为线段BC的中点，线段AD交线段OC于点E，则△AOE面积的最大值为___________2、如图，是由绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为100°，则的度数是______．3、已知60°的圆心角所对的弧长是3.14厘米，则它所在圆的周长是______厘米．4、如图，在平面直角坐标系中，点N是直线上动点，M是上动点，若点C的坐标为，且与y轴相切，则长度的最小值为____________．5、如图，在中，，，．绕点B顺时针方向旋转45°得到，点A经过的路径为弧，点C经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，，求的半径．2、如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．3、阅读下列材料，完成相应任务：如图①，是⊙O的内接三角形，是⊙O的直径，平分交⊙O于点，连接，过点作⊙O的切线，交的延长线于点．则．下面是证明的部分过程：证明：如图②，连接，是⊙O的直径，，①________．（1）为⊙O的切线，，，（2）由（1）（2）得，②________________．平分．，③________，．任务：（1）请按照上面的证明思路，补全证明过程：①________，②________，③________；（2）若，求的长．4、请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Binmi （973-1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi详本出版了俄文版《阿基米德全集》．第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），， 是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．证明：如图2，在上截取，连接和．是的中点，…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明部分；（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是_________．5、如图，在△ABC是⊙O的内接三角形，∠B＝45°，连接OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠OCB＝75°，求△ABC边AB的长． -参考答案-一、单选题1、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2、C【分析】直接根据题意及弧长公式可直接进行求解．【详解】解：由题意得：的圆心角所对弧的弧长是；故选C．【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．3、D【分析】根据题意先求出弦AC的长，再过点O作OB⊥AC于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可．【详解】解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，∴AC=8-2=6厘米，过点O作OB⊥AC于点B，则AB=AC=×6=3厘米，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中，OA2=OB2+AB2，即r2=（r-2）2+32，解得r=厘米．故选：D．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4、B【分析】由垂径定理可知，AE=CE，则阴影部分的面积等于扇形AOD的面积，求出，然后利用扇形面积公式，即可求出答案．【详解】解：根据题意，如图：∵AB是的直径，OD是半径，，∴AE=CE，∴阴影CED的面积等于AED的面积，∴，∵，，∴，∴；故选：B【点睛】本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算．5、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．6、B【分析】连接OC．根据确定，，进而计算出，根据圆心角的性质求出，最后根据圆周角的性质即可求出．【详解】解：如下图所示，连接OC．∵，∴，．∴．∵．∴．∴∵和分别是所对的圆周角和圆心角，∴．故选：B．【点睛】本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角的性质，综合应用这些知识点是解题关键．7、B【分析】根据旋转可得，，得．【详解】解：，，，将绕点逆时针旋转得到△，使点的对应点恰好落在边上，，，．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．8、C【详解】解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，故选：C．【点睛】本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．9、B【分析】由切线的性质可推出，．再根据直角三角形全等的判定条件“HL”，即可证明，即得出．【详解】∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∴，，∴在和中，，∴，∴．故选：B【点睛】本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．10、B【分析】设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得 ，求出β即可解决问题．【详解】解：设∠ADC=α，∠ABC=β； ∵四边形ABCO是菱形， ∴∠ABC=∠AOC； ∠ADC=β； 四边形为圆的内接四边形，α+β=180°， ∴ ， 解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°， 故选：B．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.二、填空题1、【分析】过点作轴，交于点，根据中位线定理可得，设点到轴的距离为G，则△AOE的边上的高，作的外接圆，则当点位于图中处时，最大，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：过点作轴，交于点，∵A（－1，0），B（2，0），∴，，∵D为线段BC的中点，轴，∴，∴，设点到轴的距离为，则△AOE的边上的高，作的外接圆，则当点位于图中处时，最大，因为，∴，∴为等边三角形，∴,∴,∴，∴，∴，故答案为：.【点睛】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角和圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，根据题意得出点的位置是解本题的关键．2、35°【分析】根据旋转的性质可得∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，再求出∠BOD，∠ADO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，∴∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，∵∠AOC＝100°，∴∠BOD＝100°−30°×2＝40°，∠ADO＝∠A＝（180°−∠AOD）＝（180°−30°）＝75°，由三角形的外角性质得，∠B＝∠ADO−∠BOD＝75°−40°＝35°．故答案为：35°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．3、18.84【分析】先根据弧长公式求得πr，然后再运用圆的周长公式解答即可．【详解】解：设圆弧所在圆的半径为厘米，则，解得，则它所在圆的周长为（厘米），故答案为：．【点睛】本题主要考查了弧长公式、圆的周长公式等知识点，牢记弧长公式是解答本题的关键．4、-2【分析】由图可知，当CN⊥AB且C、M、N三点共线时，长度最小，利用勾股定理求出CN的长，故可求解．【详解】由图可知，当CN⊥AB且C、M、N三点共线时，长度最小∵直线AB的解析式为当x=0时，y=5，当y=0时，x=5∴B（0，5），A（5，0）∴AO=BO，△AOB是等腰直角三角形∴∠BAO=90°当CN⊥AB时，则△ACN是等腰直角三角形∴CN=AN∵C∴AC=7∵AC2=CN2+AN2=2CN2∴CN=当 C、M、N三点共线时，长度最小即MN=CN-CM=-2故答案为：-2．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意找到符合题意的位置，利用等腰直角三角形的性质求解．5、##【分析】设与AC相交于点D，过点D作，垂足为点E，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，根据三边关系可得，根据题意及等角对等边得出，在中，利用正弦函数可得，结合图形，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可得．【详解】解：设与AC相交于点D，过点D作，垂足为点E，∵，，，∴，∴为直角三角形，∴，∵绕点B顺时针方向旋转45°得到，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，，，，，故答案为：．【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，旋转的性质，等角对等边的性质，正切函数，扇形面积等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．三、解答题1、（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接，只要证明即可．此题可运用三角形的中位线定理证，因为，所以．（2）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理可分别求出的长和、的长，即可根据中位线性质求出的长，即的半径长．【详解】（1）证明：连接．因为是的中点，是的中点，，．，．，是圆的半径，是的切线．（2）如图，，，，，，且，，，且，∴，，，∴ ，的半径长为．【点睛】本题考查了切线的判定、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．2、（1）见详解；（2）【分析】（1）连接OD，由圆周角定理可得∠AOD=∠ABC，从而得OD∥BC，进而即可得到结论；（2）连接AC，交OD于点F，利用勾股定理可得AC，，再证明四边形DFCE是矩形，进而即可求解．【详解】（1）证明：连接OD，∵是的中点，∴∠ABC=2∠ABD，∵∠AOD=2∠ABD，∴∠AOD=∠ABC，∴OD∥BC，∵，∴，∴是的切线；（2）连接AC，交OD于点F，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴AC=，∵是的中点，∴OD⊥AC，AF=CF=3，∴，∴DF=5-4=1，∵∠E=∠EDF=∠DFC=90°，∴四边形DFCE是矩形，∴DE=CF=3，CE=DF=1，∴，∴AD=CD=，∵∠ADB=90°，∴【点睛】本题主要考查切线的判定定理，圆周角定理以及勾股定理，添加辅助线构造直角三角形和矩形，是解题的关键．3、（1），，；（2）【分析】（1）由是⊙O的直径，得到∠ODB．再由为⊙O的切线，得到，即可推出∠ODA=∠BDE，由角平分线的定义可得，由，得到，即可证明；（2）在直角△ODE中利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图②，连接，是⊙O的直径，，∠ODB．（1）为⊙O的切线，，，（2）由（1）（2）得，∠ODA=∠BDE．平分，∴．，∠ODA，．故答案为：① ，② ，③ ；（2）为的切线，．，，，．在中，．【点睛】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握切线的性质．4、（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；（2）首先证明，进而得出，以及，进而求出的长即可得出答案．（1）证明：如图2，在上截取，连接，，和．是的中点，．在和中，，，又，，；（2）解：如图3，截取，连接，，，由题意可得：，∵∴，在和中，，，，，则，，，∵，∴则 故答案为：．【点睛】此题主要考查了圆与三角形综合，涉及了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．5、（1）见解析；（2）【分析】（1）如图所示，连接OA，由圆周角定理可得∠COA=90°，再由平行线的性质得到∠OAD+∠COA=180°，则∠OAD=90°，由此即可证明；（2）连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，先由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出∠COB =30°，则∠AOB=120°，可以得到∠OAB=∠OBA=30°，由勾股定理可得，求出，则AB=．【详解】解：（1）如图所示，连接OA，∵∠CBA=45°，∴∠COA=90°，      ∵AD∥OC，∴∠OAD+∠COA=180°，∴∠OAD=90°，又∵点A在圆O上，       ∴AD是⊙O的切线；     （2）连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，∵∠OCB=75°，OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=75°，∴∠COB=180°-∠OCB-∠OBC=30°，              由（1）证可得∠AOC=90°，∴∠AOB=120°，                   ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，又∵OE⊥AB，∴AE=BE，   在Rt△AOE中，AO=2，∠OAE=30°，∴OE=AO=1，                          由勾股定理可得，，∴AB=．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键．