高考数学(文数)二轮专题突破训练14《空间中的平行与垂直》 (教师版)

专题能力训练14　空间中的平行与垂直

一、能力突破训练

1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)　　　　

2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O.则下列说法正确的是(　　)

A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的内心

C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心

3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列命题:①若α⊥β,m∥α,则m⊥β;②若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β;③若m⊥β,m∥α,则α⊥β;④若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β.

其中正确命题的序号是(　　)

A.①④ B.②③ C.②④ D.①③

4.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(　　)

A. B. C. D.

5.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为　　　　　. 

6.下列命题正确的是　　　　　.(填上你认为正确的所有命题的序号) 

①空间中三个平面α,β,γ,若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;

②若a,b,c为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与a,b,c都相交;

③若球O与棱长为a的正四面体各面都相切,则该球的表面积为a2;

④在三棱锥P-ABC中,若PA⊥BC,PB⊥AC,则PC⊥AB.

7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.

(1)证明MN∥平面PAB;

(2)求四面体N-BCM的体积.

8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.

(1)求证:DC⊥平面PAC;

(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;

(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.

9.如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2,∠BAD=90°.

(1)求证:AD⊥BC;

(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;

(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.

10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,

E,F分别为AD,PB的中点.

(1)求证:PE⊥BC;

(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;

(3)求证:EF∥平面PCD.

二、思维提升训练

11.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.

图①

图②

(1)证明:CD⊥平面A1OC;

(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.

12.如图,AB是圆O的直径,点C是的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.

(1)求证:OD∥平面VBC;

(2)求证:AC⊥平面VOD;

(3)求棱锥C-ABV的体积.

13.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,点D为AC的中点,点E在线段AA1上.

(1)当AE∶EA1=1∶2时,求证:DE⊥BC1.

(2)是否存在点E,使三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的?若存在,求AE的长,若不存在,请说明理由.

14.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分线段PC,且分别交AC,PC于D,E两点,PB=BC,PA=AB.

(1)求证:PC⊥平面BDE;

(2)若点Q是线段PA上任一点,判断BD,DQ的位置关系,并证明你的结论;

(3)若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.

专题能力训练14　空间中的平行与垂直

一、能力突破训练

1.A　解析 易知选项B中,AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项C中,AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项D中,AB∥NQ,且NQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ,故排除选项B,C,D.故选A.

2.A　解析 如图,易知PA,PE,PF两两垂直,∴PA⊥平面PEF,

从而PA⊥EF,

而PO⊥平面AEF,

则PO⊥EF,

∴EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO.

同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,

∴O为△AEF的垂心.

3.B　解析 当α⊥β,m∥α时,有m⊥β,m∥β,m⊂β等多种可能情况,所以①不正确;当m⊥α,n⊥β,且m⊥n时,由面面垂直的判定定理知α⊥β,所以②正确;因为m⊥β,m∥α,所以α⊥β,③正确;若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β或α,β相交,④不正确.故选B.

4.A　解析 (方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.

∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,

∴n∥CD1.

∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,

即∠B1D1C等于m,n所成的角.

∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,

∴m,n所成的角的正弦值为.

(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,

补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.

因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,

故m,n所成角的正弦值为.

5.　解析 如图,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG.

设EF交AC于点H,连接GH,易知AC⊥EF.

又GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD,

∴AC⊥GH.

又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG.

故点P的轨迹是△EFG,其周长为.

6.②③④　解析 ①中也可以α与γ相交;②作平面与a,b,c都相交;③中可得球的半径为r=a;④中由PA⊥BC,PB⊥AC得点P在底面△ABC的射影为△ABC的垂心,故PC⊥AB.

7.(1)证明 由已知得AM=AD=2.

取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.

又AD∥BC,故TN?AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.

因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,

所以MN∥平面PAB.

(2)解 因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,

所以N到平面ABCD的距离为PA.

取BC的中点E,连接AE.

由AB=AC=3得AE⊥BC,AE=.

由AM∥BC得M到BC的距离为,

故S△BCM=×4×=2.所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=×S△BCM×.

8.(1) 证明 因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.

又因为DC⊥AC,

所以DC⊥平面PAC.

(2)证明 因为AB∥DC,DC⊥AC,

所以AB⊥AC.

因为PC⊥平面ABCD,

所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.

所以平面PAB⊥平面PAC.

(3)解 棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:

取PB中点F,连接EF,CE,CF.

又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.

又因为PA⊄平面CEF,所以PA∥平面CEF.

9.(1)证明 由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.

(2)解 取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.

在Rt△DAM中,AM=1,故DM=.因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.在Rt△DAN中,AN=1,故DN=.

在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN=.

所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为.

(3)解 连接CM.因为△ABC为等边三角形, M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=.又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM⊂平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.

在Rt△CAD中,CD==4.

在Rt△CMD中,sin∠CDM=.

所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.

10.证明 (1)∵PA=PD,且E为AD的中点,

∴PE⊥AD.

∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC.

(2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.

∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.

∴AB⊥PD.

又PA⊥PD,PA∩AB=A,

∴PD⊥平面PAB.

∵PD⊂平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD.

(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.

∵F,G分别为PB和PC的中点,

∴FG∥BC,且FG=BC.

∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,

∴ED∥BC,ED=BC,

∴ED∥FG,且ED=FG,

∴四边形EFGD为平行四边形,

∴EF∥GD.

又EF⊄平面PCD,GD⊂平面PCD,

∴EF∥平面PCD.

二、思维提升训练

11.(1)证明 在题图①中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,所以BE⊥AC.

即在题图②中,BE⊥A1O,BE⊥OC,

从而BE⊥平面A1OC,

又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.

(2)解 由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,

且平面A1BE∩平面BCDE=BE,

又由(1),A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,

即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.

由题图①知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.

从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.

12.(1)证明 ∵O,D分别是AB和AC的中点,∴OD∥BC.

又OD⊄平面VBC,BC⊂平面VBC,

∴OD∥平面VBC.

(2)证明 ∵VA=VB,O为AB中点,∴VO⊥AB.

在△VOA和△VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,

∴△VOA≌△VOC,

∴∠VOA=∠VOC=90°,

∴VO⊥OC.

∵AB∩OC=O,AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,

∴VO⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC,

∴AC⊥VO.

∵VA=VC,D是AC的中点,∴AC⊥VD.

∵VO⊂平面VOD,VD⊂平面VOD,VO∩VD=V,

∴AC⊥平面VOD.

(3)解 由(2)知VO是棱锥V-ABC的高,且VO=.

∵点C是的中点,

∴CO⊥AB,且CO=1,AB=2,

∴△ABC的面积S△ABC=AB·CO=×2×1=1,

∴棱锥V-ABC的体积为VV-ABC=S△ABC·VO=×1×,故棱锥C-ABV的体积为.

13.(1)证明 因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以△ABC是正三角形.

因为D是AC的中点,所以BD⊥AC.

又平面ABC⊥平面CAA1C1,所以BD⊥DE.

因为AE∶EA1=1∶2,AB=2,AA1=,

所以AE=,AD=1,

所以在Rt△ADE中,∠ADE=30°.

在Rt△DCC1中,∠C1DC=60°,

所以∠EDC1=90°,即DE⊥DC1.

因为C1D∩BD=D,所以DE⊥平面BC1D,

所以DE⊥BC1.

(2)解 假设存在点E满足题意.

设AE=h,则A1E=-h,

所以-S△AED-=2h-(-h)-h.

因为BD⊥平面ACC1A1,

所以h,又V棱柱=×2×=3,

所以h=1,解得h=,

故存在点E,当AE=,即E与A1重合时,三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的.

14.(1)证明 ∵DE垂直平分线段PC,PB=BC,∴DE⊥PC,BE⊥PC.

又BE∩DE=E,∴PC⊥平面BDE.

(2)解 BD⊥DQ.证明如下:由(1)得,PC⊥BD.

∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BD.

又PC∩PA=P,∴BD⊥平面PAC,

当点Q是线段PA上任一点时都有DQ⊂平面PAC,∴BD⊥DQ.

(3)解 ∵PA=AB=2,

∴PB=BC=2.

∵AB⊥BC,∴AC=2,∴PC=4,CE=2,且BD=.

∵△CDE∽△CPA,

∴,

∴DE=.

由(2)可知:BD⊥DE,

∴VB-CED=VC-BDE=S△BDE·CE

=×2=.