高考数学(文数)二轮专题突破训练14《空间中的平行与垂直》 (学生版)

专题能力训练14　空间中的平行与垂直

一、能力突破训练

1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)　　　　

2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O.则下列说法正确的是(　　)

A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的内心

C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心

3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列命题:①若α⊥β,m∥α,则m⊥β;②若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β;③若m⊥β,m∥α,则α⊥β;④若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β.

其中正确命题的序号是(　　)

A.①④ B.②③ C.②④ D.①③

4.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(　　)

A. B. C. D.

5.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为　　　　　. 

6.下列命题正确的是　　　　　.(填上你认为正确的所有命题的序号) 

①空间中三个平面α,β,γ,若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;

②若a,b,c为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与a,b,c都相交;

③若球O与棱长为a的正四面体各面都相切,则该球的表面积为a2;

④在三棱锥P-ABC中,若PA⊥BC,PB⊥AC,则PC⊥AB.

7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.

(1)证明MN∥平面PAB;

(2)求四面体N-BCM的体积.

8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.

(1)求证:DC⊥平面PAC;

(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;

(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.

9.如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2,∠BAD=90°.

(1)求证:AD⊥BC;

(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;

(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.

10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,

E,F分别为AD,PB的中点.

(1)求证:PE⊥BC;

(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;

(3)求证:EF∥平面PCD.

二、思维提升训练

11.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.

图①

图②

(1)证明:CD⊥平面A1OC;

(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.

12.如图,AB是圆O的直径,点C是的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.

(1)求证:OD∥平面VBC;

(2)求证:AC⊥平面VOD;

(3)求棱锥C-ABV的体积.

13.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,点D为AC的中点,点E在线段AA1上.

(1)当AE∶EA1=1∶2时,求证:DE⊥BC1.

(2)是否存在点E,使三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的?若存在,求AE的长,若不存在,请说明理由.

14.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分线段PC,且分别交AC,PC于D,E两点,PB=BC,PA=AB.

(1)求证:PC⊥平面BDE;

(2)若点Q是线段PA上任一点,判断BD,DQ的位置关系,并证明你的结论;

(3)若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.