高考数学(文数)二轮专题突破训练16《椭圆、双曲线、抛物线》 (教师版)

专题能力训练16　椭圆、双曲线、抛物线

一、能力突破训练

1.已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(　　)

A. B. C. D.

2.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(　　)

A. B. C. D.

3.已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(　　)

A. B. C. D.

4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.-y2=1 D.x2-=1

5.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为(　　)

A.1- B.2- 

C. D.-1

6.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为(　　)

A. B. 

C. D.

7.已知双曲线E:=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是　　　　　. 

8.已知直线l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,抛物线C:y2=16x,P是C上一动点,则点P到l1与l2距离之和的最小值为　　　　　. 

9.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.

(1)求点A,B的坐标;

(2)求△PAB的面积.

注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.

10.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程;

(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.

11.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程;

(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.

二、思维提升训练

12.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)

A. B.2 C. D.2

13.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为(　　)

A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x

14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是　　　　　. 

15.在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为　　　　　. 

16.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.

(1)求动点P的轨迹C1的方程;

(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.

17.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是.

(1)求椭圆Ω的方程.

(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.

专题能力训练16　椭圆、双曲线、抛物线

一、能力突破训练

1.C　解析 因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2,所以椭圆C的离心率e=.

2.D　解析 由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=,故选D.

3.A　解析 由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,

不妨令P,

设l:x=my-a,

∴M,E.

∴直线BM:y=-(x-a).

又直线BM经过OE的中点,

∴,解得a=3c.

∴e=,故选A.

4.D　解析 ∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,

∴解得所以双曲线的方程为x2-=1.故选D.

5.D　解析 不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.

∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,

∴c+c=2a,即(+1)c=2a.

∴e=-1.

6.C　解析 在y=±x中令x=c,得A,B,在双曲线=1中令x=c得P.

当点P的坐标为时,由=m+n,

得

由(舍去),

∴,

∴,

∴e=.

同理,当点P的坐标为时,e=.

故该双曲线的离心率为.

7. 2　解析 由题意不妨设AB=3,则BC=2.

设AB,CD的中点分别为M,N,如图,

则在Rt△BMN中,MN=2,

故BN=.

由双曲线的定义可得2a=BN-BM==1,

而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e==2.

8.　解析 在同一坐标系中画出直线l1,l2和曲线C如图.

P是C上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=d2,

∴d1+d2=d1+|PF|,显然当PF⊥l1,

即d1+d2=|FM|时,距离之和取到最小值.

∵|FM|=,

∴所求最小值为.

9.解 (1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),

由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,

由于直线PA与抛物线相切,得k=t.

因此,点A的坐标为(2t,t2).

设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,

故解得

因此,点B的坐标为.

(2)由(1)知|AP|=t·和直线PA的方程tx-y-t2=0.

点B到直线PA的距离是d=.

设△PAB的面积为S(t),

所以S(t)=|AP|·d=.

10.解 (1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;

当x=1时,直线MB的斜率不存在.

于是x≠1,且x≠-1.

此时,MA的斜率为,MB的斜率为.

由题意,有=4.

整理,得4x2-y2-4=0.

故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).

(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. ①

对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,

而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.

结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.

设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),

则xQ,xR为方程①的两根,

因为|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|.

因为xQ=,xR=,且Q,R在同一条直线上,

所以=1+.此时>1,且≠2,

所以1<1+<3,

且1+,

所以1<<3,且.

综上所述,的取值范围是.

11.解 (1)设F(c,0).由,即,可得a2-c2=3c2,

又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.

所以,椭圆的方程为=1.

(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.

解得x=2,或x=,由题意得xB=,从而yB=.

由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有=(-1,yH),.

由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得yH=.因此直线MH的方程为y=-x+.

设M(xM,yM),由方程组消去y,解得xM=.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(xM-2)2+,化简得xM=1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直线l的斜率为-.

二、思维提升训练

12.D　解析 ∵双曲线C的离心率为,

∴e=,即c=a,a=b.

∴其渐近线方程为y=±x,则(4,0)到C的渐近线距离d==2.

13.C　解析 设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+=5,则x0=5-.

因为点F的坐标为,

所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)·+(y-y0)y=0.

将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,

即-4y0+8=0,解得y0=4.

由=2px0,得16=2p,

解得p=2或p=8.

所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.

14.2　解析 该双曲线的右准线方程为x=,两条渐近线方程为y=±x,得P,Q,又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四边形F1PF2Q的面积S=2=2.

15.y=±x　解析 抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.

所以y1+y2=p.

联立双曲线与抛物线方程得

消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.

所以y1+y2==p,

所以.

所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.

16.解 (1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,

所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.

动点P的轨迹C1的方程为=1.

(2)设N(t,t2),则PQ的方程为

y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.

联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,

有

而|PQ|=×|x1-x2|=,点M到PQ的高为h=,

由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得

S△MPQ=,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值.

17.解 (1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.

连接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),

可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].

因为a>1,所以当y=≤-1,即1<a≤3时,

取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;

当y=>-1,即a>3时,的最大值是,

由条件得,

即a2-7a+10=0,

解得a=5或a=2(舍去).

综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.

(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,

整理,得=-=-,

从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).

又右焦点F2的坐标是(2,0),

将点F2的坐标代入PQ的方程得

-y0=-(2-x0),

因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.

假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m∈.