黑龙江省哈尔滨第六中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

哈尔滨市第六中学2020-2021学年度下学期期中考试

理科数学试卷

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，

满分150分，考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；

（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的

1．已知复数满足，则（    ）

A． B． C．           D．

2． “瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，为探究下面“瓦当”图案的面积，向半径为10的圆内投入1000粒芝麻，落入阴影部分的有400粒.则估计“瓦当”图案的面积是（    ）

A．40         B．        C．4         D．

3．某种心脏手术成功率为，现釆用随机模拟方法估计“例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生之间取整数值的随机数，由于成功率是，故我们用、、、表示手术不成功，、、、、、表示手术成功，再以每个随机数为一组，作为例手术的结果．经随机模拟产生如下组随机数：、、、、、、、、、由此估计“例心脏手术全部成功”的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为16，则乙组数据的平均数为（    ）

A．12 B．10 C．11 D．13

5．为检测疫苗的有效程度，某权威部门对某种疫苗进行的三期临床效果比较明显的受试者，按照年龄进行分组，绘制了如图所示的样本频率分布直方图，其中年龄在内的有1400人，在内有800人，则频率分布直方图中的值为（    ）

A．0.008 B．0.08 

C．0.006 D．0.06

6．设为随机变量，，若随机变量的数学期望，则(  )

A．              B.                C.            D.

7．已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等，则展开式中二项式系数的和为（    ）

A．256 B．128 C．64 D．32

8．袋内红、白、黑球分别为3个、2个、1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（    ）

A．至少有一个白球；至少有一个红球 B．恰有一个白球；一个白球一个黑球

C．至少有一个白球；都是白球 D．至少有一个白球；红、黑球各1个

9．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算.算筹的摆放有纵式､横式两种(如图所示).当表示一个多位数时，个位､百位､万位数用纵式表示，十位､千位､十万位数用横式表示，以此

类推，遇零则置空.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹应表示为（    ）

A．    B．     C．   D．

10．随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，若，则的值是（    ）

A．2 B．3 C．6 D． 5

11．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数(即2，4，6，8为阴数，1，3，5，7，9为阳数).如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率（   ）

A．           B．          C．           D．

12．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、鲍、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、鲍、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、鲍、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“鲍”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，若安排学习“丝”，则“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（    ）

A．960 B．1024 C．1296 D．2021

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、              填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置

13．已知随机变量服从正态分布，且，则__   ____

14．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援. 若将5名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有_______种分配方案．（用数字作答）

15．伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则______.

16．投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得分.投入壶耳一次得分，现有甲､乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口､壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得分，乙投完支箭，目前只得分，乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为.四支箭投完，以得分多者赢，请问乙赢得这局比赛的概率为________

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知圆：，直线：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆的极坐标方程与直线的参数方程；

（2）设点，若直线与圆交于两点，且，求实数的值.

18. （本小题满分12分）甲､乙､丙三名同学高考结束之后，一起报名参加了驾照考试，在科目一考试中，甲通过的概率为，甲､乙､丙三人都通过的概率为，甲､乙､丙三人都没通过的概率为，且在平时的训练中可以看出乙通过考试的概率比丙大.

（1）求乙，丙两人各自通过考试的概率；

（2）令甲､乙､丙三人中通过科目一考试的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.

19．（本小题满分12分）哈尔滨市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对哈市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩，将数据分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300].并整理得到如图所示的频率分布直方图.

（1）估计这100名考生的理综成绩的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数；

（2）用频率估计概率，从哈市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个，记理综成绩位于区间[220，260）内的个数为，求的分布列及数学期望

E（）．

20．（本小题满分12分）2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日～2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目．下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：

说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛．

（1）①若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率；

②若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；

（2）若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记为赛区的个数，求的分布列及期望．

21. （本小题满分12分）

在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，M是AB的中点，且．

（1）求的长；

（2）已知点N在棱上，若平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值为，试确定点N的位置．

22．（本小题满分12分）

已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于两点， (点为坐标原点)的面积为2.

（1）求抛物线的方程；

（2）若过点的两直线，的倾斜角互补，直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，与的面积相等，求实数的取值范围.

理科数学答案

13. 0.4       14. 30      15.         16．

17．（1）圆极坐标方程为，直线：(为参数)；（2）或.

（1）圆：，则，则极坐标方程为，

直线为，直线的斜率为，倾斜角为，所以直线参数方程为(为参数)；

（2）将直线的参数方程代入圆的平面直角坐标方程得，

整理得，

由得，解得，

则，解得或，均符合.

18．（1）乙：，丙：；（2）分布列答案见解析，数学期望：.

（1）设甲､乙､丙三人分别通过科目二考试的概率为，，，

由题可知，，，

解得，或，

由于乙通过考试的概率比丙大，，.

（2）由题意，随机变量的可能取值为，，，

则，

，

的分布列为

19．（1）平均数为225.6  中位数为224

（2）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取1个，理综成绩位于[220，260）内的概率为（0.0125+0.0075）×20＝0.4，

所以随机变量y服从二项分布B～（3，0.4），

故P（y＝k）＝C3k0.4k0.63﹣k，k＝0，1，2，3，

故y的分布列为   

则E（y）＝3×0.4＝1.2；

20.（1）①；②；（2）分布列见解析；期望为．

解：（1）①记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰壶和冰球”为事件．

由表可知，在这两天每天随机观看一个项目，共有种不同情况，

其中恰好看到冰壶和冰球，共有种不同情况，所以．

②记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件．

由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有种不同情况，

其中两场决赛恰好在北京赛区共有种不同情况，在张家口赛区共有种不同情况，

所以．

（2）随机变量的所有可能取值为．

根据题意，，

，

．

随机变量的分布列是：

数学期望．

21. （1）；（2）N在棱的中点处．

（1）建立如图所示的空间直角坐标系．

设．由得，则，，，，

所以，．因为，所以，

解得，即的长为．

（2）由（1）知

设，所以，．

设平面的一个法向量为．

由，得，取．

易知平面的一个法向量为，

设平面与平面所成锐二面角的平面角为，

．

解得或（舍去）所以N在棱的中点处．

22. （1）；（2）.

（1）因为焦点，所以点的坐标分别为，.

所以，故.故抛物线的方程为.

（2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线.

点，.联立方程可得，消去，可得.

则.因为，

所以，

焦点到直线的距离，所以.

设直线，与抛物线方程联立可得，

将用替换，可得由可得，

即，两边平方并化简可得，所以，解得.

又由且得或，可知，所以，即，所以，

所以实数的取值范围是.