黑龙江省鹤岗市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

鹤岗一中2020—2021学年度高二下学期期中考试

数学（理）试题

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题5分共60分）

1、计算（    ）

A． B． C． D．

2、曲线y＝上两点P(1，1)和Q(1＋，1＋)，当＝时，直线PQ的斜率为（    ）

A．－             B．－            C．            D．

3、为了推进课堂改革，提高课堂效率，某高中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革.为了了解高一年级同学平板使用情况，从高一年级1210名同学中抽取50名同学进行调查.先用简单随机抽样从1210人中剔除10人，剩下的1200人再按系统抽样方法抽取50人，则在这1210人中，每个人被抽取的可能性（）

A．都相等，且为  B．不全相等     C．都相等，且为 D．都不相等

4、已知函数，则（    ）

A．是增函数且有零点 B．是增函数且没有零点

C．是减函数且有零点 D．是减函数且没有零点

5、设，若曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为，则（  ）

A． B． C． D．

6、上饶市婺源县被誉为“茶乡”，婺源茶业千年不衰，新时代更是方兴未艾，其中由农业部监制的婺源大山顶特供茶“擂鼓峰茶尤为出名，为了解每壶“擂鼓峰”茶中所放茶叶量克与食客的满意率的关系，抽样得一组数据如下表：

根据表中的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为（    ）

A．39.5 B．40 C．43.5 D．45

7、函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：

①-3是函数y=f(x)的极值点；②y=f(x)在区间(-3，1)上单调递增；

③-1是函数y=f(x)的最小值点；④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零.

以上正确命题的序号是（    ）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

8、如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若由直方图得到的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别为，则（   ）

A. B． 

C． D．

9、若函数在上取得极大值，在上取得极小值，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10、2020年，面对新冠肺炎疫情的严重冲击，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，我国能源领域深入贯彻“四个革命､一个合作”能源安全新战略，全面落实中央“六保”工作部署，战疫情促生产､增供应保安全，能源生产稳中有增，进口较快增长，能源供应能力和水平不断巩固提升，为统筹推进疫情防控和经济社会发展提供了有力保障.下图是2020年1~12月分品种能源生产当月同比增长率情况变化图.下列说法错误的是（    ）

A．4~7月，原煤及天然气当月同比增长率呈下降趋势

B．9~12月，原煤及天然气当月同比增长率总体呈上升趋势

C．7月份品种能源生产当月同比增长率最高的是原油加工量同比增长率

D．2020年分品种能源生产当月同比增长率波动最小的是发电量同比增长率

11、若某同学连续次考试的名次（次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第名，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（    ）

A．甲同学：平均数为，方差小于  B．乙同学：平均数为，众数为

C．丙同学：中位数为，众数为   D．丁同学：众数为，方差大于

12、对任意，若不等式恒成立(为自然对数的底数)，则正实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（每小题5分共20分）

13、总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为      

14、如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为       ．

15、定积分的值是      

16、设函数，若无最大值，则实数的取值范围为____.

三、解答题（6小题共70分）

17、（本小题10分）

为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竟赛活动.活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得分，投放错误得分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分.从所有参赛选手中随机抽取人，将他们的得分按照、、、、分组，绘成频率分布直方图如图：

（1）分别求出所抽取的人中得分落在组和内的人数；

（2）从所抽取的人中得分落在组的选手中随机选取名选手，以表示这名选手中得分不超过分的人数，求的分布列和数学期望.

18、（本小题12分）

已知函数的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是

（1）求a 、b的值；

（2）求函数的极值.

19、（本小题12分）

某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主）.

（1）根据以上数据完成下列列联表：

（2）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析.

参考公式和数据：，.

20、（本小题12分）

已知函数.其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当，求证:.

21、（本小题12分）

某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图).

表中.

（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型?(不必说明理由)

（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；

（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量成正比，那么为多少时，烧开一壶水最省煤气？

附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

22、（本小题12分）

已知函数

（1）求实数的值，使

（2）当，证明：当时，

高二数学理科参考答案

13、21；14，；15、；16、

17、（10分）

（1）由题意知，所抽取的人中得分落在组的人数有（人），得分落在组的人数有（人）.

因此，所抽取的人中得分落在组的人数有人，得分落在组的人数有人；

（2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，

，，，

所以，随机变量的分布列为：

所以，随机变量的期望为

18、（12分）

（1）因为函数的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是，

所以切线斜率是，且，

求得，即点

又函数，则

所以依题意得

解得

（2）由（1）知

所以

令，解得或

当，或；当，

所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是

所以当变化时，和变化情况如下表：

所以，

19、（12分）

（1）列联表如下：

（2）因为

所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．

20、（12分）

（1）函数 的定义域为，，

①当时，，所以在上单调递增，

②当时，令，解得．

当时，，所以，所以在上单调递减；

当时，，所以，所以在上单调递增．

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）当时，，要证明，

即证，即．即．

设则，令得，．

当时，，当时，．所以为极大值点，也为最大值点

所以（1），即．故

21、（12分）

（1）选更适宜

（2）由公式可得：，

，

所以所求回归方程为；

（3）设，

则煤气用量，

当且仅当时，等号成立，即当时，煤气用量最小．

22（12分）

（1）

     由题意可知是最小值，所以0是函数的一个极小值，

     所以得

当时，

令，则

当时，在是增函数

故

当时，所以，在上的增函数，故，所以在递减在递增

所以在区间上，

当时

综上满足条件的实数

（2）当时，

又时，所以，

所以，

故在递增

所以当时

令

则

所以是上的增函数

所以 

所以即当时