黑龙江省大庆中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

2020-2021学年度下学期期中考试

高二（理科数学）试题

              考试时间：120分钟； 试卷总分：150分

注意事项：

1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. .请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分）

1．已知复数，则下列说法正确的是（    ）

A．复数的共轭复数为     B．复数的模为5

C．复数部虚部为    D．复数的实部为3

2．若复数z的共轭复数满足：，则复数z对应的点在（    ）

A．第二象限            B．第一象限          C．第三象           D．第四象限

3．展开式中第6项的二项式系数为（    ）

A．                 B．       C．              D．

4．利用定积分的的几何意义，可得=

A．                 B．      C．             D．

5．衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，则该数列第16项为

A．152   B．128     C．134      D．102

6．用反证法证明命题“设为实数，则方程至多有一个实根”时，要做的假设是

A．方程没有实根              B．方程至多有一个实根

C．方程至多有两个实根        D．方程恰好有两个实根

7．用数学归纳法证明：“”，                      由到时，等式左边需要添加的项是（    ）

A．       B．        C． D．

8．已知函数，则的单调减区间是（    ）

A．   B．             C．          D．

9．的二项式系数之和为（    ）．

A． B．27 C．16 D．

10．个男生，个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为（    ）

A． B．960 C．720 D．

11．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，      ，，三棱锥的体积为，则球的体积为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，则函数的零点个数是（    ）

A． B．               C．5                D．4

二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）

13．已知函数f(x)=x2lnx+x，则f(x)在点处的切线方程为___________.

14．定积分  =__________.

15．用长为24的钢条围成一个长方体框架，要求长方体的长与宽之比为31，则长方体的宽为____时，其体积最大.

16．观察下面数阵：

1

3  5

7 9 11 13

   15 17 19 21 23 25 27 29

   ……………………

则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是          

三、解答题（本题共6个小题，17题10分，18-22题，每题12分，共70分）

17． 选修4—4：坐标系与参数方程选讲

已知直线的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：．

（1）求曲线C的普通方程；

（2）求直线被曲线C截得的弦长．

18．三棱柱中，是直二面角，，，且，为的中点．

（Ⅰ）若是的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

19．我校对我们高二文科学生的记忆力和判断力进行统计分析，得如表数据．

（1）请画出如表数据的散点图；

（2）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

（3）试根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为16的学生的判断力．

参考公式：线性回归方程中，．

20．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了 105 个样本，统计结果为：服药的共有 55 个样本，服药但患病的仍有 10 个样本，没有服药且未患病的有 30个样本.

（1）根据所给样本数据完成 列联表中的数据；

（2）请问能有多大把握认为药物有效？

(参考公式：   独立性检验临界值表

21．已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过椭圆右焦点且不重合于轴的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得 为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．已知函数.

（1）若存在极值，求的取值范围；

（2）当时，证明：.

参考答案

1．A

【分析】

根据复数的除法运算法则化简式子，然后根据实部、虚部、模以及共轭复数的概念，可得结果.

【详解】

由题可知：

复数的实部为，虚部为，模为

复数的共轭复数为，所以D正确

故选：A

【点睛】

本题考查复数的除法运算法则以及相关概念，重在对概念的理解以及计算，属基础题.

2．B

【分析】

根据虚数单位的幂的运算化简后，根据共轭复数的概念写出z的结果，进而判定对应点所在的象限.

【详解】

，故z对应的点在第一象限.

故选:B

【点睛】

本题考查虚数单位的幂的运算，共轭复数的概念，复数的几何意义，属基础题.

3．C

【分析】

写出展开式的通项，然后将代入通项即可．

【详解】

由已知得通项为：，

，故第六项的二项式系数为：．

故选：．

【点睛】

本题考查二项式展开式的通项，二项式系数的求法．属于基础题．

4．C

【分析】

由函数在区间上的图象是圆在第一象限部分的四分之一圆，再利用圆面积以及定积分的性质得出的值.

【详解】

由，两边平方得，即，

所以，函数在区间上的图象是圆在第一象限部分的四分之一圆，

由定积分的几何意义可得，故选C.

【点睛】

本题考查利用定积分的几何意义求定积分的值，解题的关键在于确定函数图象的形状，结合图形的面积来进行计算，考查分析问题的能力与计算能力，属于中等题.

5．B

【分析】

根据数据找出规律,依次写出来即可.

【详解】

前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,

偶数项分别为2,8,18,32,50,…,可得偶数项的通项公式: .

所以该数列第16项为.

故选:B

【点睛】

本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

6．D

【分析】

反证法证明命题时，首先需要反设，即是假设原命题的否定成立.

【详解】

命题“设为实数，则方程至多有一个实根”的否定为“设为实数，则方程恰好有两个实根”；

因此，用反证法证明原命题时，只需假设方程恰好有两个实根.

故选D

【点睛】

本题主要考查反证法，熟记反设的思想，找原命题的否定即可，属于基础题型.

7．D

【分析】

写出时，左边最后一项，时，左边最后一项，由此即可得到结论

【详解】

解：∵时，左边最后一项为，

时，左边最后一项为，

∴从到，等式左边需要添加的项为一项为

故选D．

【点睛】

本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

8．C

【分析】

对函数求导得，由即可求单调减区间.

【详解】

由题意，得：，

∴：即，单调递减；

故选：C.

9．C

【详解】

由题意得二项式系数和为．选C

10．B

【详解】

试题分析：两个女生必须相邻，捆绑，女生不能排两端，则从5个男生中任选两人排两端，，剩余3个男生与捆绑在一起的2个女生看成4个元素，排在其余位置，，所以不同的排法种数为：．

考点：排列的应用．

11．D

【分析】

取的中点，连接，可证平面，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的体积．

【详解】

解：取的中点，连接，

因为，，所以，.

因为平面平面，所以平面.

设，

所以，

所以球的体积为.

故选：

【点睛】

本题考查球的内接体，三棱锥的体积以及球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．

12．C

【分析】

令，利用代数式法结合零点存在定理得出函数的零点，，，然后作出函数，直线、、的图象，观察三条直线、、与函数的图象的交点个数，由此可得出结论.

【详解】

令.

①当时，，则函数在上单调递增，

由于，，

由零点存在定理可知，存在，使得；

②当时，，由，解得，.

作出函数，直线、、的图象如下图所示：

由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；

直线与函数的图象有两个交点；

直线与函数的图象有且只有一个交点.

综上所述，函数的零点个数为.

故选：C

【点睛】

思路点睛：求解复合函数的零点个数，步骤如下：

（1）确定内层函数与外层函数；

（2）求出外层函数的零点；

（3）确定直线与内层函数的交点个数，由此可得到原函数的零点个数为.

13．

【分析】

根据导数的几何意义，结合导数的运算性质进行求解即可.

【详解】

，∴，又f（1）=1，

∴f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为，

故答案为：

14．

【解析】

分析：先化简，再求定积分得解.

详解：由题得=.

所以 .

故填.

点睛：本题必须要先化简再求定积分，因为不化简，无法找到原函数.

15．1

【分析】

设长方体的宽为，高为，则该长方体的长为，得出长方体的体积为，

【详解】

设长方体的宽为，高为，则该长方体的长为，

所以有，则，即，

因此该长方体的体积为，

所以，

当时，，即单调递增；

当时，，即单调递减；

所以，

即长方体的宽为时，其体积最大.

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：

利用导数的方法求解函数最值问题时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性，求出最值，即可求解.

16．549

本题主要考查归纳推理的问题，关键是根据数表，认真分析，找到规律，然后进行计算，即可解决问题．
根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、都是连续奇数，第一行1个数，第二行2个数，第三行4个数，第四行8个数，第9行有个数，分别求出左起第1个数的规律，按照此规律，求出答案即可．
【解答】
解：根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、都是连续奇数，
第一行1个数，
第二行个数，且第1个数是
第三行个数，且第1个数是
第四行个数，且第1个数是
   
第9行有个数，且第1个数是，
第2个数为513，第3个数为515，
第20个数是，
故答案为549．
 

17．（1）

（2）

【解析】

试题分析：解：（1）由曲线

得化成普通方程

① 5分

（2）方法一：把直线参数方程化为标准参数方程

（为参数） ②

把②代入①得：

整理，得

设其两根为，

则8分

从而弦长为10分

考点：参数方程，极坐标方程与直线与圆的位置关系

点评：解决该试题的关键是将参数方程和极坐标方程化为普通方程， 结合直线与圆的位置关系来求解，属于基础题．

18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）是的中点，就是和的交点，也为的中点，而是中点，因此由中位线定理有，这正是我们要证明线面平行所需的线线平行，由此得证；（Ⅱ）求二面角，一般用空间向量法，为此需要找到两两垂直的三条直线，从已知条件可证明两两垂直，以他们为轴可建立空间直角坐标系，由题设给出的线段长度写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，再求得两法向量的夹角的余弦，注意题中二面角是钝角，因此我们所求的余弦值就为负的．

试题解析：（Ⅰ）证明：连接和，则也是的中点.

∵为的中点，∴，

又平面，平面，

∴平面.

（Ⅱ）连接和.

∵，∴.

∵是直二面角，∴平面.

∵，为的中点，∴,

∴两两垂直，如图以为坐标原点，

以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.

则，

∴.

设平面的一个法向量为，由，得

，令，得，则.  

同理，平面的一个法向量为.

∴，

结合图形可知，二面角的平面角是钝角，

∴二面角的余弦值为.

考点：线面平行的判断，用向量法求二面角．

19．（1）散点图见解析；（2）；（3）8.9．

【分析】

（1）建立平面直角坐标系，描出各点即可；

（2）利用题目所给公式代值求解；

（3）将代入，求出的值.

【详解】

解：（1）散点图如图，

（2）因为，，

所以，

则 ，

所以关于的线性回归方程为；

（3）由（2）可知当，得．

所以预测记忆力为的学生的判断力为．

【点睛】

本题考查线性回归直线方程的求解及应用，较简单.解答时，利用公式准确求解回归系数和即可.

20．(1)

 (2)97.5%.

【解析】

分析：(1)由所给数据可得服药但没有病的人，没有服药且患病的，从而可得到联表；（2）利用公式求得 ，与邻界值比较，即可得到结论.

详解：(1)解依据题意得，服药但没有病的45人，没有服药且患病的20可列下列联表

（2）假设服药和患病没有关系，则的观测值应该很小，

而

由独立性检验临界值表可以得出，由97.5%的把握药物有效；

点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.

（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）

21．（1）；（2）存在；．

【分析】

（1）由椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切，列出方程组，求得的值，即可求解；

（2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，结合向量的数量积的运算求得，进而得到，确定定点，②当直线的斜率不存在时，验证成立，即可得到结论.

【详解】

（1）由题意，椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切，

可得，解得，所以椭圆的标准方程为．

（2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为，

联立方程组，整理得，

由，且，，

假设轴上存在定点，使得为定值，

则，

要使得为定值，则的值与无关，

所以，解得，

此时为定值，定点，

②当直线的斜率不存在时，，，，

则，，可得，

综上所述，在轴上存在定点，使得为定值．

【点睛】

解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

22．（1）；（2）证明见解析.

【分析】

（1）先求导函数，再按和分类讨论即可.

（2）先把要证明的不等式转化为，再构造函数

，用导数探究函数的最小值大于0即可.

【详解】

（1） ，，

当时，，

则在上单调递增，无极值；

当时，由，得.

当时，；

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

即在时取得极小值，

所以若存在极值，

则的取值范围为.

（2）要证明，

即证，

由于当时，，

只要证.

设，

则，设，

则，

所以在上是增函数.

又，，

所以存在，使得，

即，.

所以当时，；

当时，，

因此在上是减函数，在上是增函数，

所以有极小值，也是最小值，

且最小值为

，

因此，即.

综上，当时，.

【点睛】

思路点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.