高考数学(理数)二轮复习专题强化训练11《等差数列与等比数列》 (教师版)

一、选择题

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1>0，则S20＝(　　)

A．420　　　　　　　　　　 B．340

C．－420   D．－340

解析：选D.设数列{an}的公差为d，则a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由a3·a5＝12得d＝±2，由a1>0，a2＝0，可知d<0，所以d＝－2，所以a1＝2，故S20＝20×2＋×(－2)＝－340，故选D.

2．已知等比数列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为(　　)

A．3   B．5

C．9   D．25

解析：选D.设等比数列{an}的公比为q，则a4a7＝·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，＝＝q2＝25.故选D.

3．(一题多解)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，则S8＝(　　)

A．72   B．88

C．92   D．98

解析：选C.法一：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，则数列{an}是公差为3的等差数列，又a4＋a5＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，所以a1＝1，S8＝8a1＋d＝92.

法二：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，则数列{an}是公差为3的等差数列，S8＝＝＝92.

4．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan 的值是　(　　)

A．－   B．－1

C．－   D.

解析：选A.依题意得，a＝(－)3，3b6＝7π，所以a6＝－，b6＝，所以＝＝－，故tan＝tan＝tan＝－tan＝－，故选A.

5．等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时n的值为(　　)

A．6   B．7

C．8   D．9

解析：选C.由d>0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－<0，a9＝>0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.

6．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝(　　)

A．2   B．2n

C．2n＋1－2   D．2n－1－2

解析：选C.因为an＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n，所以Sn＝＝2n＋1－2.

二、填空题

7．(一题多解)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．

解析：法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；

当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；

当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；

当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；

当n＝6时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32；

所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.

法二：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.

答案：－63

8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．

解析：an＋1－2an＝2n两边同除以2n＋1，可得－＝，又＝，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×＝，所以an＝n·2n－1.

答案：n·2n－1

9．设某数列的前n项和为Sn，若为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d(d≠0)的等差数列{an}为“和谐数列”，则该等差数列的公差d＝________．

解析：由＝k(k为常数)，且a1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0，因为对任意正整数n，上式恒成立，

所以得

所以数列{an}的公差为2.

答案：2

三、解答题

10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.

(1)求a2，a3；

(2)求{an}的通项公式．

解：(1)由题意可得a2＝，a3＝.

(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)，

因为{an}的各项都为正数，所以＝.

故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.

11．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.

(1)求b1，b2，b3；

(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

(3)求{an}的通项公式．

解：(1)由条件可得an＋1＝an.

将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.

将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.

从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.

(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.

12．已知数列{an}是等差数列，满足a2＝5，a4＝13，数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn＋bn＝3.

(1)求数列{an}及数列{bn}的通项公式；

(2)设cn＝an·bn，求数列{cn}中的最大项．

解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

由题意，得

解得

所以an＝4n－3.

又Tn＋bn＝3，

所以Tn＋1＋bn＋1＝3，

两式相减得，2bn＋1－bn＝0，

所以bn＋1＝bn.

当n＝1时，b1＋b1＝3，所以b1＝.

所以数列{bn}为等比数列，且首项是，公比是，

所以bn＝×＝.

(2)因为cn＝an·bn＝，

所以cn＋1＝，

所以cn＋1－cn＝－＝.

所以当n＝1时，c2－c1>0；

当n≥2时，cn＋1－cn<0，

所以c1<c2>c3>c4>…，

所以(cn)max＝c2＝.