高考数学(理数)二轮复习专题强化训练21《参数方程与极坐标》 (教师版)

1．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.直线l与曲线C交于A，B两点．

(1)求直线l的直角坐标方程；

(2)设点P(1，0)，求|PA|·|PB|的值．

解：(1)由ρcos＝得ρcos θcos －ρsin θsin ＝，

又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，

所以直线l的直角坐标方程为x－y－1＝0.

(2)由(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋4y2＝4，

因为P(1，0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为(t为参数)，

将其代入x2＋4y2＝4得7t2＋4t－12＝0，

所以t1·t2＝－，

故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝.

2．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(θ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ－2cos θ＝0.

(1)求曲线C2的直角坐标方程；

(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值．

解：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0.

因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，所以x2＋y2－2x＝0，

即曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)由(1)可知，圆C2的圆心为C2(1，0)，半径为1.

设曲线C1的动点M(3cos θ，2sin θ)，

由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.

因为|MC2|＝＝，

所以当cos θ＝时，|MC2|min＝，

所以|MN|min＝|MC2|min－1＝－1.

3．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．

解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.

当α＝时，l与⊙O交于两点．

当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，

解得k＜－1或k＞1，

即α∈或α∈.

综上，α的取值范围是.

(2)l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．

设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.

于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.

又点P的坐标(x，y)满足

所以点P的轨迹的参数方程是

(α为参数，＜α＜)．

4．在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2，1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．

(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.

解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)．

曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋(4cos α)t＋3＝0，

由Δ＝(4cos α)2－4×3>0，得cos2α>，

由根与系数的关系，

得t1＋t2＝－4cos α，t1·t2＝3，

由参数的几何意义知，|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，|PQ|＝|t1－t2|，

由题意知，(t1－t2)2＝t1·t2，

则(t1＋t2)2＝5t1·t2，

得(－4cos α)2＝5×3，

解得cos2α＝，满足cos2α>，

所以sin2α＝，tan2α＝，

所以直线l的斜率k＝tan α＝±.

5．(一题多解)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1，0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝.

(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若α＝，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．

解：(1)由题知直线l的参数方程为(t为参数)．

因为ρ＝，

所以ρsin2θ＝8cos θ，

所以ρ2sin2θ＝8ρcos θ，即y2＝8x.

(2)法一：当α＝时，直线l的参数方程为(t为参数)，

代入y2＝8x可得t2－8t－16＝0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，

t1·t2＝－16，

所以|AB|＝|t1－t2|＝＝8.

又点O到直线AB的距离d＝1×sin ＝，

所以S△AOB＝|AB|×d＝×8×＝2.

法二：当α＝时，直线l的方程为y＝x－1，

设M(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得y2＝8(y＋1)，即y2－8y－8＝0，

由根与系数的关系得

S△AOB＝|OM||y1－y2|＝×1×＝×＝×4＝2.

6．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(t>0，α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝3.

(1)当t＝1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；

(2)若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围．

解：(1)由ρsin＝3得ρsin θ＋ρcos θ＝3，

把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，

当t＝1时，曲线C的参数方程为(α为参数)，

消去参数得曲线C的普通方程为x2＋y2＝1，

所以曲线C为圆，且圆心为O，则点O到直线l的距离d＝＝，

所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1＋.

(2)因为曲线C上的所有点均在直线l的下方，

所以对任意的α∈R，tcos α＋sin α－3<0恒成立，

即cos(α－φ)<3恒成立，

所以<3，

又t>0，所以0<t<2.

所以实数t的取值范围为(0，2)．

7．在直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数，t>0)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcos＝.

(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；

(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为＋，求t的值．

解：(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos＝，即ρcos θ＋ρsin θ＝2，

所以直线l的直角坐标方程为x＋y＝2.

因为曲线C的参数方程为(α为参数，t>0)，

所以曲线C的普通方程为＋y2＝1(t>0)，

由消去x得，(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0，

所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)<0，

又t>0，所以0<t<，

故t的取值范围为(0，)．

(2)由(1)知直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0，

故曲线C上的点(tcos α，sin α)到l的距离d＝，

故d的最大值为，

由题设得＝＋.

解得t＝±.

又t>0，所以t＝.

8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ(ρ≥0，0≤θ<π)．

(1)写出曲线C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标；

(2)射线θ＝β与曲线C1，C2分别交于点A，B(A，B异于原点)，求的取值范围．

解：(1)由题意可得曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，

把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，

联立

得4sin θcos2θ＝sin θ，此时0≤θ<π，

①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0，0)；

②当sin θ≠0时，cos2θ＝，当cos θ＝时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，

当cos θ＝－时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，

所以C1与C2交点的极坐标为(0，0)，，.

(2)将θ＝β代入C1的极坐标方程中，得ρ1＝4sin β，

代入C2的极坐标方程中，得ρ2＝，

所以＝＝4cos2β，因为≤β≤，

所以1≤4cos2β≤3，所以的取值范围为[1，3]．