高考数学(理数)二轮复习专题强化训练22《不等式选讲》 (教师版)

1．设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；

(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，

f(x)＝

可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．

(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.

而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.

由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．

2．已知函数f(x)＝|x－m|，m<0.

(1)当m＝－1时，求解不等式f(x)＋f(－x)≥2－x；

(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围．

解：(1)设F(x)＝|x－1|＋|x＋1|

＝

由F(x)≥G(x)解得{x|x≤－2或x≥0}．

(2)f(x)＋f(2x)＝|x－m|＋|2x－m|，m<0.

设g(x)＝f(x)＋f(2x)，当x≤m时，g(x)＝m－x＋m－2x＝2m－3x，则g(x)≥－m；

当m<x<时，g(x)＝x－m＋m－2x＝－x，则－<g(x)<－m；

当x≥时，g(x)＝x－m＋2x－m＝3x－2m，则g(x)≥－.

则g(x)的值域为，

不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，即1>－，解得m>－2，

由于m<0，则m的取值范围是(－2，0)．

3．已知函数f(x)＝|ax－1|－(a－2)x.

(1)当a＝3时，求不等式f(x)>0的解集；

(2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝3时，不等式可化为|3x－1|－x>0，即|3x－1|>x，

所以3x－1<－x或3x－1>x，即x<或x>，

所以不等式f(x)>0的解集为.

(2)当a>0时，f(x)＝

要使函数f(x)的图象与x轴无交点，

只需即1≤a<2；

当a＝0时，f(x)＝2x＋1，函数f(x)的图象与x轴有交点，不合题意；

当a<0时，f(x)＝

要使函数f(x)的图象与x轴无交点，

只需此时无解．

综上可知，若函数f(x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为[1，2)．

4．设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.

(1)画出y＝f(x)的图象；

(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．

解：(1)f(x)＝

y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.

5．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|.

(1)当a＝1时，求f(x)≤2的解集；

(2)若g(x)＝4x2＋ax－3.当a>－1且x∈时，f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝.

当x<－时，f(x)≤2无解；

当－≤x≤时，f(x)≤2的解集为；

当x>时，f(x)≤2无解．

综上所述，f(x)≤2的解集为.

(2)当x∈时，f(x)＝(a－2x)＋(2x＋1)＝a＋1，所以f(x)≥g(x)可化为a＋1≥g(x)．

又g(x)＝4x2＋ax－3在上的最大值必为g、g之一，则，

即，即－≤a≤2.

又a>－1，所以－1<a≤2，所以a的取值范围为(－1，2]．

6．已知函数f(x)＝|2x＋3a2|.

(1)当a＝0时，求不等式f(x)＋|x－2|≥3的解集；

(2)若对于任意函数x，不等式|2x＋1|－f(x)<2a恒成立，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝0时，不等式可化为|2x|＋|x－2|≥3，

得或或，

解得x≤－或x≥1，

所以当a＝0时，不等式f(x)＋|x－2|≥3的解集为∪[1，＋∞)．

(2)对于任意实数x，不等式|2x＋1|－f(x)<2a恒成立，即|2x＋1|－|2x＋3a2|<2a恒成立．

因为|2x＋1|－|2x＋3a2|≤|2x＋1－2x－3a2|＝|3a2－1|，

所以要使原不等式恒成立，只需|3a2－1|<2a.

当a<0时，无解；当0≤a≤时，1－3a2<2a，解得<a≤；

当a>时，3a2－1<2a，解得<a<1.

所以实数a的取值范围是.

7．已知函数f(x)＝x2－|x|＋1.

(1)求不等式f(x)≥2x的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)≥在[0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

解：(1)不等式f(x)≥2x等价于x2－|x|－2x＋1≥0，①

当x≥0时，①式化为x2－3x＋1≥0，

解得x≥或0≤x≤；

当x<0时，①式化为x2－x＋1≥0，

解得x<0，综上所述，不等式f(x)≥2x的解集为.

(2)不等式f(x)≥在[0，＋∞)上恒成立，

等价于－f(x)≤＋a≤f(x)在[0，＋∞)上恒成立，

等价于－x2＋x－1≤＋a≤x2－x＋1在[0，＋∞)上恒成立，

等价于－x2＋x－1≤a≤x2－x＋1在[0，＋∞)上恒成立，

由－x2＋x－1＝－－≤－(当且仅当x＝时取等号)，

x2－x＋1＝＋≥(当且仅当x＝时取等号)，

所以－≤a≤，

综上所述，实数a的取值范围是.

8．已知函数f(x)＝x2＋2，g(x)＝|x－a|－|x－1|，a∈R.

(1)若a＝4，求不等式f(x)>g(x)的解集；

(2)若对任意x1，x2∈R，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝4时，不等式f(x)>g(x)为x2＋2>|x－4|－|x－1|，

g(x)＝|x－4|－|x－1|＝

①当x≥4时，x2＋2>－3恒成立，所以x≥4.

②当1<x<4时，x2＋2>－2x＋5，即x2＋2x－3>0，得x>1或x<－3，

所以1<x<4.

③当x≤1时，x2＋2>3，则x>1或x<－1，所以x<－1.

由①②③可知不等式f(x)>g(x)的解集为{x|x<－1或x>1}．

(2)当a≥1时，g(x)＝所以g(x)的最大值为a－1.

要使f(x1)≥g(x2)，只需2≥a－1，则a≤3，

所以1≤a≤3.

当a<1时，g(x)＝所以g(x)的最大值为1－a.

要使f(x1)≥g(x2)，只需2≥1－a，则a≥－1，所以－1≤a<1.

综上，实数a的取值范围是[－1，3].