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辽宁省抚顺市东洲区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份辽宁省抚顺市东洲区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
辽宁省抚顺市东洲区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题。（每小题2分，共20分）
1．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的三条高都在三角形内部
C．有一个角等于60°的三角形是等边三角形
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2
C．（ab3）2＝a2b6 D．（x+y）²＝x²+y²
4．下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝EC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
8．点P（a，2a+b）与点Q（2，﹣3）关于x轴对称，则a+b＝（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．1
9．若正多边形的一个外角等于其一个内角的，则这个多边形的内角和是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
10．甲、乙两人同时分别从A、B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A、C两地间的距离为60km，B、C两地间的距离为50km，甲骑自行车的平均速度比乙快2km/h，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为xkm/h，由题意列出方程，其中正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C． D．
二、填空题。（每小题2分，共16分）
11．分解因式：x3﹣6x2+9x＝ ．
12．要使分式有意义，则x的取值范围为 ．
13．人的一根头发直径约为0.0000755m，用科学记数法表示为 m．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，BD＝1，则AD的长为 ．
15．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为 ．
16．△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE＝5，BF＝3，则EF＝ ．
17．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S阴影等于 cm2．
18．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：
①GA＝GP；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP＝FC，
其中正确的判断有（填序号） ．
三、解答题。（每小题7分，共21分）
19．（7分）计算：
（1）（﹣3bx2）3•b3÷9b2x；
（2）（1﹣2y）（1+2y）﹣4y（5﹣y）．
20．（7分）解分式方程：
（1）＝；
（2）＝1．
21．（7分）化简并求值：（）÷，其中m＝20﹣2﹣1．
四、解答题。（每小题7分，共14分）
22．（7分）如图，已知△ABC中，AB＝5cm，BC＝7cm．
（1）作图：作AC边的垂直平分线，分别交AC、BC边于点D、E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，求△ABE的周长．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（3，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）在y轴上画一点P，使PA+PB最短．
五、解答题。（9分）
24．（9分）如图，AB∥CD，∠ACD＝90°，CD＝CB，DE⊥BC于点E．求证：AB＝CE．
六、解答题。（10分）
25．（10分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款120000元，乙公司共捐款180000元，下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
请你算算甲、乙两公司各有多少人？
七、解答题。（10分）
26．（10分）如图①，△ABC和△ECD都是等边三角形．
（1）若B、C、E在同一条直线上，AC与BD相交于点N，AE与CD相交于点M，BD与AE相交于点O，试判断AE与BD的数量关系为 ；∠AOB度数为 ；
（2）将△ECD绕点C顺时针旋转，B、C、E不在一条直线上时，如图②，则（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题。（每小题2分，共20分）
1．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形中的对称轴．
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的三条高都在三角形内部
C．有一个角等于60°的三角形是等边三角形
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【分析】利用三角形的外角的性质、三角形的高线的定义、等边三角形的判定方法及直角三角形的全等的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，不符合题意；
B、钝角三角形的两条高在三角形的外部，故原命题错误，不符合题意；
C、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故原命题错误，不符合题意；
D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的外角的性质、三角形的高线的定义、等边三角形的判定方法及直角三角形的全等的判定等知识，难度不大．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2
C．（ab3）2＝a2b6 D．（x+y）²＝x²+y²
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则判断A，根据多项式乘多项式的运算法则判断B，根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断C，根据完全平方公式判断D．
【解答】解：A、原式＝a5，故此选项不符合题意；
B、原式＝a2﹣2ab+ab﹣2b2＝a2﹣ab﹣2b2，故此选项不符合题意；
C、原式＝a2b6，故此选项符合题意；
D、原式＝x2+2xy+y2，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn运算法则，完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题关键．
4．下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：A、≠，故A不符合题意．
B、≠，故B不符合题意．
C、＝，故C符合题意．
D、当c＝0时，此时不成立，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
5．下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
【分析】根据因式分解的意义求解即可．
【解答】解：A．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A不符合题意；
B．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意；
C．是整式的乘法，故C不符合题意；
D．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝EC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【解答】解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠B＝90°﹣40°＝50°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝×（180°﹣50°）＝65°，
∴∠ACD＝90°﹣65°＝25°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．
8．点P（a，2a+b）与点Q（2，﹣3）关于x轴对称，则a+b＝（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．1
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征求出a，b的值，然后代入式子进行计算即可．
【解答】解：∵点P（a，2a+b）与点Q（2，﹣3）关于x轴对称，
∴a＝2，2a+b＝3，
把a＝2代入2a+b＝3中得：
4+b＝3，
∴b＝﹣1，
∴a+b＝2+（﹣1）＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
9．若正多边形的一个外角等于其一个内角的，则这个多边形的内角和是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【分析】首先设外角为2x°，则内角为3x°，根据内角与外角是邻补角的关系可得2x+3x＝180，再解方程可得外角度数，然后再用外角和除以外角度数可得边数，再根据内角和公式可得内角和．
【解答】解：设外角为2x°，则内角为3x°，由题意得：
2x+3x＝180，
解得：x＝36，
2x＝72，
360°÷72°＝5，
180×（5﹣2）＝540°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形的内角与外角是邻补角的关系．
10．甲、乙两人同时分别从A、B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A、C两地间的距离为60km，B、C两地间的距离为50km，甲骑自行车的平均速度比乙快2km/h，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为xkm/h，由题意列出方程，其中正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C． D．
【分析】由甲、乙两人速度间的关系可得出甲骑自行车的平均速度为（x+2）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合两人同时到达C地，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵乙骑自行车的平均速度为xkm/h，且甲骑自行车的平均速度比乙快2km/h，
∴甲骑自行车的平均速度为（x+2）km/h．
依题意得：＝．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
二、填空题。（每小题2分，共16分）
11．分解因式：x3﹣6x2+9x＝ x（x﹣3）2 ．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x3﹣6x2+9x，
＝x（x2﹣6x+9），
＝x（x﹣3）2．
故答案为：x（x﹣3）2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．
12．要使分式有意义，则x的取值范围为 x≠﹣2 ．
【分析】根据根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x+2≠0，
∴x≠﹣2
故答案为：x≠﹣2
【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
13．人的一根头发直径约为0.0000755m，用科学记数法表示为 7.55×10﹣5 m．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000755＝7.55×10﹣5．
故答案为：7.55×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，BD＝1，则AD的长为 3 ．
【分析】求出∠BCD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC＝2，求出AB＝4，即可得出答案．
【解答】解∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵CD是高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∵BD＝1，
∴BC＝2BD＝2，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3，
故答案是：3．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，解此题的关键是得出BC＝2BD和AB＝2BC，难度适中．
15．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为 3cm ．
【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【解答】解：当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，底边长是：13﹣3﹣3＝7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系．
故底边长是：3cm．
故答案是：3cm
【点评】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．
16．△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE＝5，BF＝3，则EF＝ 8或2 ．
【分析】认真画出图形，找出一组全等三角形即可，利用全等三角形的对应边相等可得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠BCF＝∠EAC
∴△BFC≌△CEA，
∴CF＝AE＝5
CE＝BF＝3
①∴EF＝CF+CE＝5+3＝8．
②EF＝CF﹣CE＝5﹣3＝2
综上所述，满足条件的EF的值为2或8．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
本题要注意思考全面，两种情况，不能遗漏．
17．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S阴影等于 2 cm2．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×8＝4，
∴S△BCE＝S△ABC＝×8＝4，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
18．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：
①GA＝GP；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP＝FC，
其中正确的判断有（填序号） ①②③④ ．
【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．
【解答】解：①∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠APG＝∠CAP，
∴∠APG＝∠BAP，
∴GA＝GP；
②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC：S△PAB＝AC：AB，
③∵BE＝BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），
④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP＝∠BCP，
又∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP，
∴FP＝FC，
故①②③④都正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
三、解答题。（每小题7分，共21分）
19．（7分）计算：
（1）（﹣3bx2）3•b3÷9b2x；
（2）（1﹣2y）（1+2y）﹣4y（5﹣y）．
【分析】（1）先算利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算乘方，然后根据单项式乘单项式，单项式除以单项式的运算法则计算乘除法；
（2）利用平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后合并同类项进行化简．
【解答】解：（1）原式＝﹣27b3x6•b3÷9b2x
＝﹣27b6x6÷9b2x
＝﹣3b4x5；
（2）原式＝1﹣4y2﹣20y+4y2
＝1﹣20y．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn运算法则，平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．
20．（7分）解分式方程：
（1）＝；
（2）＝1．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）两边同时乘（x+3）（ x﹣1），
得3（x﹣1）＝x+3，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入（x+3）（ x﹣1）≠0，
∴x＝3是原方程的解；
（2）两边同时乘（x+2）（ x﹣2），
得2+x（x+2）＝（x+2）（ x﹣2），
解得：x＝﹣3，
检验：把x＝﹣3代入（x+2）（ x﹣2）≠0，
∴x＝﹣3 是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．（7分）化简并求值：（）÷，其中m＝20﹣2﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出m的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝•
＝，
∵m＝20﹣2﹣1＝1﹣＝，
∴原式＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，零指数幂，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题。（每小题7分，共14分）
22．（7分）如图，已知△ABC中，AB＝5cm，BC＝7cm．
（1）作图：作AC边的垂直平分线，分别交AC、BC边于点D、E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，求△ABE的周长．
【分析】（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线即可；
（2）先求出AD＝CD，得出∠DAC＝∠C＝30°，求出AD＝CD＝2DE＝10，再证∠BAD＝90°，得出BD＝2AD＝20，即可求出BC的长．
【解答】解：（1）线段AC的垂直平分线如图所示：
（2）∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴BE+AE＝BE+CE＝BC＝7（cm），
∴△ABE的周长＝BE+AE+AB＝7+5＝12（cm）．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线得出线段相等是解题的关键．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（3，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）在y轴上画一点P，使PA+PB最短．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）先作B点关于y轴的对称点B′，然后连接AB′交y轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C 1 为所求作；B1（5，﹣2）；
（2）如图，点P所作．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
五、解答题。（9分）
24．（9分）如图，AB∥CD，∠ACD＝90°，CD＝CB，DE⊥BC于点E．求证：AB＝CE．
【分析】由“AAS”可证△ABC≌△ECD，可得AB＝CE．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD，∠BAC+∠ACD＝180°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠BAC，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（AAS），
∴AB＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
六、解答题。（10分）
25．（10分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款120000元，乙公司共捐款180000元，下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
请你算算甲、乙两公司各有多少人？
【分析】设乙公司共有员工x人，则甲公司共有员工（x﹣60）人，由甲公司共捐款120000元，乙公司共捐款180000元和甲、乙两公司员工的一段对话列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设乙公司共有员工x人，则甲公司共有员工（x﹣60）人，
由题意得：1.2×＝，
解这个方程得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的，，且符合题意，
则x﹣60＝240，
答：甲公司共有员工240人，乙公司共有员工300人．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．
七、解答题。（10分）
26．（10分）如图①，△ABC和△ECD都是等边三角形．
（1）若B、C、E在同一条直线上，AC与BD相交于点N，AE与CD相交于点M，BD与AE相交于点O，试判断AE与BD的数量关系为 AE＝BD ；∠AOB度数为 60° ；
（2）将△ECD绕点C顺时针旋转，B、C、E不在一条直线上时，如图②，则（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）先判断出∠ACE＝∠BCD，进而判断出△ACE≌△BCD，得出AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，再用三角形的内角和求出∠AOB的度数；
（2）同（1）的方法，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵△ECD是等边三角形，
∴CE＝CD，∠DCE＝60°，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO）
＝180°﹣（∠BAO+∠CBO+∠ABC）
＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）
＝180°﹣（60°+60°）＝60°，
∴∠AOB＝60°，
故答案为：AE＝BD，60°；
（2）成立．
证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS ），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
又∵∠ANO＝∠BNC，
∴180°﹣∠CAE﹣∠ANO＝180°﹣∠CBD﹣∠BNC，
∴∠AOB＝∠ACB＝60°．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，判断出△ACE≌△BCD是解本题的关键．
辽宁省抚顺市东洲区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题。（每小题2分，共20分）
1．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的三条高都在三角形内部
C．有一个角等于60°的三角形是等边三角形
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2
C．（ab3）2＝a2b6 D．（x+y）²＝x²+y²
4．下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝EC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
8．点P（a，2a+b）与点Q（2，﹣3）关于x轴对称，则a+b＝（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．1
9．若正多边形的一个外角等于其一个内角的，则这个多边形的内角和是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
10．甲、乙两人同时分别从A、B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A、C两地间的距离为60km，B、C两地间的距离为50km，甲骑自行车的平均速度比乙快2km/h，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为xkm/h，由题意列出方程，其中正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C． D．
二、填空题。（每小题2分，共16分）
11．分解因式：x3﹣6x2+9x＝ ．
12．要使分式有意义，则x的取值范围为 ．
13．人的一根头发直径约为0.0000755m，用科学记数法表示为 m．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，BD＝1，则AD的长为 ．
15．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为 ．
16．△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE＝5，BF＝3，则EF＝ ．
17．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S阴影等于 cm2．
18．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：
①GA＝GP；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP＝FC，
其中正确的判断有（填序号） ．
三、解答题。（每小题7分，共21分）
19．（7分）计算：
（1）（﹣3bx2）3•b3÷9b2x；
（2）（1﹣2y）（1+2y）﹣4y（5﹣y）．
20．（7分）解分式方程：
（1）＝；
（2）＝1．
21．（7分）化简并求值：（）÷，其中m＝20﹣2﹣1．
四、解答题。（每小题7分，共14分）
22．（7分）如图，已知△ABC中，AB＝5cm，BC＝7cm．
（1）作图：作AC边的垂直平分线，分别交AC、BC边于点D、E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，求△ABE的周长．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（3，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）在y轴上画一点P，使PA+PB最短．
五、解答题。（9分）
24．（9分）如图，AB∥CD，∠ACD＝90°，CD＝CB，DE⊥BC于点E．求证：AB＝CE．
六、解答题。（10分）
25．（10分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款120000元，乙公司共捐款180000元，下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
请你算算甲、乙两公司各有多少人？
七、解答题。（10分）
26．（10分）如图①，△ABC和△ECD都是等边三角形．
（1）若B、C、E在同一条直线上，AC与BD相交于点N，AE与CD相交于点M，BD与AE相交于点O，试判断AE与BD的数量关系为 ；∠AOB度数为 ；
（2）将△ECD绕点C顺时针旋转，B、C、E不在一条直线上时，如图②，则（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题。（每小题2分，共20分）
1．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形中的对称轴．
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的三条高都在三角形内部
C．有一个角等于60°的三角形是等边三角形
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【分析】利用三角形的外角的性质、三角形的高线的定义、等边三角形的判定方法及直角三角形的全等的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，不符合题意；
B、钝角三角形的两条高在三角形的外部，故原命题错误，不符合题意；
C、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故原命题错误，不符合题意；
D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的外角的性质、三角形的高线的定义、等边三角形的判定方法及直角三角形的全等的判定等知识，难度不大．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2
C．（ab3）2＝a2b6 D．（x+y）²＝x²+y²
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则判断A，根据多项式乘多项式的运算法则判断B，根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断C，根据完全平方公式判断D．
【解答】解：A、原式＝a5，故此选项不符合题意；
B、原式＝a2﹣2ab+ab﹣2b2＝a2﹣ab﹣2b2，故此选项不符合题意；
C、原式＝a2b6，故此选项符合题意；
D、原式＝x2+2xy+y2，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn运算法则，完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题关键．
4．下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：A、≠，故A不符合题意．
B、≠，故B不符合题意．
C、＝，故C符合题意．
D、当c＝0时，此时不成立，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
5．下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
【分析】根据因式分解的意义求解即可．
【解答】解：A．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A不符合题意；
B．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意；
C．是整式的乘法，故C不符合题意；
D．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝EC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【解答】解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠B＝90°﹣40°＝50°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝×（180°﹣50°）＝65°，
∴∠ACD＝90°﹣65°＝25°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．
8．点P（a，2a+b）与点Q（2，﹣3）关于x轴对称，则a+b＝（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．1
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征求出a，b的值，然后代入式子进行计算即可．
【解答】解：∵点P（a，2a+b）与点Q（2，﹣3）关于x轴对称，
∴a＝2，2a+b＝3，
把a＝2代入2a+b＝3中得：
4+b＝3，
∴b＝﹣1，
∴a+b＝2+（﹣1）＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
9．若正多边形的一个外角等于其一个内角的，则这个多边形的内角和是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【分析】首先设外角为2x°，则内角为3x°，根据内角与外角是邻补角的关系可得2x+3x＝180，再解方程可得外角度数，然后再用外角和除以外角度数可得边数，再根据内角和公式可得内角和．
【解答】解：设外角为2x°，则内角为3x°，由题意得：
2x+3x＝180，
解得：x＝36，
2x＝72，
360°÷72°＝5，
180×（5﹣2）＝540°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形的内角与外角是邻补角的关系．
10．甲、乙两人同时分别从A、B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A、C两地间的距离为60km，B、C两地间的距离为50km，甲骑自行车的平均速度比乙快2km/h，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为xkm/h，由题意列出方程，其中正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C． D．
【分析】由甲、乙两人速度间的关系可得出甲骑自行车的平均速度为（x+2）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合两人同时到达C地，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵乙骑自行车的平均速度为xkm/h，且甲骑自行车的平均速度比乙快2km/h，
∴甲骑自行车的平均速度为（x+2）km/h．
依题意得：＝．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
二、填空题。（每小题2分，共16分）
11．分解因式：x3﹣6x2+9x＝ x（x﹣3）2 ．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x3﹣6x2+9x，
＝x（x2﹣6x+9），
＝x（x﹣3）2．
故答案为：x（x﹣3）2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．
12．要使分式有意义，则x的取值范围为 x≠﹣2 ．
【分析】根据根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x+2≠0，
∴x≠﹣2
故答案为：x≠﹣2
【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
13．人的一根头发直径约为0.0000755m，用科学记数法表示为 7.55×10﹣5 m．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000755＝7.55×10﹣5．
故答案为：7.55×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，BD＝1，则AD的长为 3 ．
【分析】求出∠BCD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC＝2，求出AB＝4，即可得出答案．
【解答】解∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵CD是高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∵BD＝1，
∴BC＝2BD＝2，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3，
故答案是：3．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，解此题的关键是得出BC＝2BD和AB＝2BC，难度适中．
15．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为 3cm ．
【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【解答】解：当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，底边长是：13﹣3﹣3＝7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系．
故底边长是：3cm．
故答案是：3cm
【点评】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．
16．△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE＝5，BF＝3，则EF＝ 8或2 ．
【分析】认真画出图形，找出一组全等三角形即可，利用全等三角形的对应边相等可得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠BCF＝∠EAC
∴△BFC≌△CEA，
∴CF＝AE＝5
CE＝BF＝3
①∴EF＝CF+CE＝5+3＝8．
②EF＝CF﹣CE＝5﹣3＝2
综上所述，满足条件的EF的值为2或8．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
本题要注意思考全面，两种情况，不能遗漏．
17．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S阴影等于 2 cm2．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×8＝4，
∴S△BCE＝S△ABC＝×8＝4，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
18．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：
①GA＝GP；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP＝FC，
其中正确的判断有（填序号） ①②③④ ．
【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．
【解答】解：①∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠APG＝∠CAP，
∴∠APG＝∠BAP，
∴GA＝GP；
②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC：S△PAB＝AC：AB，
③∵BE＝BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），
④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP＝∠BCP，
又∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP，
∴FP＝FC，
故①②③④都正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
三、解答题。（每小题7分，共21分）
19．（7分）计算：
（1）（﹣3bx2）3•b3÷9b2x；
（2）（1﹣2y）（1+2y）﹣4y（5﹣y）．
【分析】（1）先算利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算乘方，然后根据单项式乘单项式，单项式除以单项式的运算法则计算乘除法；
（2）利用平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后合并同类项进行化简．
【解答】解：（1）原式＝﹣27b3x6•b3÷9b2x
＝﹣27b6x6÷9b2x
＝﹣3b4x5；
（2）原式＝1﹣4y2﹣20y+4y2
＝1﹣20y．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn运算法则，平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．
20．（7分）解分式方程：
（1）＝；
（2）＝1．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）两边同时乘（x+3）（ x﹣1），
得3（x﹣1）＝x+3，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入（x+3）（ x﹣1）≠0，
∴x＝3是原方程的解；
（2）两边同时乘（x+2）（ x﹣2），
得2+x（x+2）＝（x+2）（ x﹣2），
解得：x＝﹣3，
检验：把x＝﹣3代入（x+2）（ x﹣2）≠0，
∴x＝﹣3 是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．（7分）化简并求值：（）÷，其中m＝20﹣2﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出m的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝•
＝，
∵m＝20﹣2﹣1＝1﹣＝，
∴原式＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，零指数幂，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题。（每小题7分，共14分）
22．（7分）如图，已知△ABC中，AB＝5cm，BC＝7cm．
（1）作图：作AC边的垂直平分线，分别交AC、BC边于点D、E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，求△ABE的周长．
【分析】（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线即可；
（2）先求出AD＝CD，得出∠DAC＝∠C＝30°，求出AD＝CD＝2DE＝10，再证∠BAD＝90°，得出BD＝2AD＝20，即可求出BC的长．
【解答】解：（1）线段AC的垂直平分线如图所示：
（2）∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴BE+AE＝BE+CE＝BC＝7（cm），
∴△ABE的周长＝BE+AE+AB＝7+5＝12（cm）．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线得出线段相等是解题的关键．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（3，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）在y轴上画一点P，使PA+PB最短．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）先作B点关于y轴的对称点B′，然后连接AB′交y轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C 1 为所求作；B1（5，﹣2）；
（2）如图，点P所作．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
五、解答题。（9分）
24．（9分）如图，AB∥CD，∠ACD＝90°，CD＝CB，DE⊥BC于点E．求证：AB＝CE．
【分析】由“AAS”可证△ABC≌△ECD，可得AB＝CE．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD，∠BAC+∠ACD＝180°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠BAC，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（AAS），
∴AB＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
六、解答题。（10分）
25．（10分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款120000元，乙公司共捐款180000元，下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
请你算算甲、乙两公司各有多少人？
【分析】设乙公司共有员工x人，则甲公司共有员工（x﹣60）人，由甲公司共捐款120000元，乙公司共捐款180000元和甲、乙两公司员工的一段对话列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设乙公司共有员工x人，则甲公司共有员工（x﹣60）人，
由题意得：1.2×＝，
解这个方程得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的，，且符合题意，
则x﹣60＝240，
答：甲公司共有员工240人，乙公司共有员工300人．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．
七、解答题。（10分）
26．（10分）如图①，△ABC和△ECD都是等边三角形．
（1）若B、C、E在同一条直线上，AC与BD相交于点N，AE与CD相交于点M，BD与AE相交于点O，试判断AE与BD的数量关系为 AE＝BD ；∠AOB度数为 60° ；
（2）将△ECD绕点C顺时针旋转，B、C、E不在一条直线上时，如图②，则（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）先判断出∠ACE＝∠BCD，进而判断出△ACE≌△BCD，得出AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，再用三角形的内角和求出∠AOB的度数；
（2）同（1）的方法，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵△ECD是等边三角形，
∴CE＝CD，∠DCE＝60°，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO）
＝180°﹣（∠BAO+∠CBO+∠ABC）
＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）
＝180°﹣（60°+60°）＝60°，
∴∠AOB＝60°，
故答案为：AE＝BD，60°；
（2）成立．
证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS ），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
又∵∠ANO＝∠BNC，
∴180°﹣∠CAE﹣∠ANO＝180°﹣∠CBD﹣∠BNC，
∴∠AOB＝∠ACB＝60°．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，判断出△ACE≌△BCD是解本题的关键．
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