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湖南省长沙市雨花区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案）
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这是一份湖南省长沙市雨花区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省长沙市雨花区九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．以下事件中，必然发生的是（ ）
A．通常情况下，水加热到100℃沸腾
B．昨天考试小明得满分
C．打开电视机，正在播放体育节目
D．掷一次骰子，向上一面是5点
2．两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（ ）
A． B．3：2 C．9：4 D．不能确定
3．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
4．如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的，则下列结论不成立的是
（ ）
A．点A与点D是对应点 B．BO＝EO
C．∠ACB＝∠FED D．AB∥DE
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝144°，则∠C的度数是（ ）
A．14° B．36° C．72° D．108°
6．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子，则向上一面的数不大于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图象大致如图（ ）
A． B．
C． D．
8．A（﹣3，2）关于原点的对称点是B，B关于x轴的对称点是C，则点C的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣2，3）
9．下列命题不正确的是（ ）
A．两个位似图形一定相似
B．位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行
C．两个位似图形的位似比就是相似比
D．两个相似图形一定是位似图形
10．方程x2+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x2+2x﹣1＝0的实数根x0所在的范围是（ ）
A．﹣1＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜2 D．2＜x0＜3
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），则m的值为 ．
12．有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是 ．
13．如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为 m．
14．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为 ．
15．我们把一个自然数中右边数字比左边数字大的叫做“上升数”，如：34，568，2469等．任取一个两位数，是“上升数”的概率是 ．
16．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为 ．
三、解答题。（本大题共9小题，满分72分）
17．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．
18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象，写出三条关于a，b，c的信息．
19．已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，求⊙O的半径．
20．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（﹣2，）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若点B（m+2，m）在这个函数的图象上，求m的值．
21．平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝EF＝FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N．
（1）求证：AM＝BM；
（2）若AB＝28，求CN的长．
22．父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．
（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；
（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大？请说明理由．
23．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
24．某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
25．如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，交x轴于B、D两点，与y轴交于点C．
（1）求线段BD的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，求PC+PD的最小值．
参考答案
一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．以下事件中，必然发生的是（ ）
A．通常情况下，水加热到100℃沸腾
B．昨天考试小明得满分
C．打开电视机，正在播放体育节目
D．掷一次骰子，向上一面是5点
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．
解：A、通常情况下，水加热到100℃沸腾是必然发生的，正确；
B、昨天考试小明得满分是随机事件，错误；
C、打开电视机，正在播放体育节目是随机事件，错误；
D、掷一次骰子，向上一面是5点是随机事件，错误；
故选：A．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（ ）
A． B．3：2 C．9：4 D．不能确定
【分析】由两个相似三角形，其周长之比为3：2，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
解：∵两个相似三角形，其周长之比为3：2，
∴其相似比为3：2，
∴其面积比为9：4．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．
3．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
【分析】将二次函数的一般形式化为顶点式后即可直接说出其顶点坐标；
解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1
∴顶点坐标为（﹣2，1）；
故选：B．
【点评】主要考查了二次函数的性质和求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．除去用配方法外还可用公式法．
4．如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的，则下列结论不成立的是
（ ）
A．点A与点D是对应点 B．BO＝EO
C．∠ACB＝∠FED D．AB∥DE
【分析】旋转180°后，对应点与旋转中心共线，对应线段平行且相等，对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，其中∠ACB与∠FDE不是对应角，不能判断相等．
解：根据旋转的性质可知，
点A与点D是对应点，
BO＝EO，
AB∥DE，
∠ACB＝∠DFE≠∠FDE．
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．同时要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝144°，则∠C的度数是（ ）
A．14° B．36° C．72° D．108°
【分析】根据圆周角定理求出∠BAD，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
解：∵∠BOD＝144°，
∴∠BAD＝∠BOD＝72°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C＝180°﹣∠BAD＝180°﹣72°＝108°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子，则向上一面的数不大于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接根据概率公式求解．
解：向上一面的数不大于4的概率＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图象大致如图（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．
8．A（﹣3，2）关于原点的对称点是B，B关于x轴的对称点是C，则点C的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣2，3）
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），可得到B点坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到C点坐标．
解：∵A（﹣3，2）关于原点的对称点是B，
∴B（3，﹣2），
∵B关于x轴的对称点是C，
∴C（3，2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标规律，以及关于x轴对称点的坐标特点，关键是熟记坐标变化的规律．
9．下列命题不正确的是（ ）
A．两个位似图形一定相似
B．位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行
C．两个位似图形的位似比就是相似比
D．两个相似图形一定是位似图形
【分析】位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行；两个位似图形的位似比就是相似比；两个相似图形不一定是位似图形．
解：根据位似图形变换性质知：
位似是相似的特殊形式；
A、两个位似图形一定相似，故正确；
B、两个位似图形一定相似位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行，故正确；
C、两个位似图形的位似比就是相似比，故正确；
D、两个相似图形不一定是位似图形，故错误．
故选：D．
【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，两个位似图形一定相似．
10．方程x2+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x2+2x﹣1＝0的实数根x0所在的范围是（ ）
A．﹣1＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜2 D．2＜x0＜3
【分析】方程x2+2x﹣1＝0的实数根可以看作函数y＝x+2和y＝的交点，判断各个选项中的自变量的值对应的点是否在交点的同侧还是异侧即可判断．
解：方程x2+2x﹣1＝0的实数根可以看作函数y＝x+2和y＝的交点坐标．
函数大体图象如图所示：
A．由图可得，第三象限内图象交点的横坐标小于﹣2，故﹣1＜x0＜0错误；
B．当x＝1时，y1＝1+2＝3，y2＝＝1，而3＞1，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于1，故0＜x0＜1正确；
C．当x＝1时，y1＝1+2＝3，y2＝＝1，而3＞1，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于1，故1＜x0＜2错误；
D．当x＝2时，y1＝2+2＝4，y2＝，而4＞，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于2，故2＜x0＜3错误．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，运用数形结合思想是关键．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），则m的值为 ﹣7 ．
【分析】把点（3，﹣4）代入函数解析式，列出关于m的方程，通过解方程来求m的值．
解：∵反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），
∴﹣4＝，
解得 m＝﹣7．
故答案是：﹣7．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式．
12．有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是 180° ．
【分析】设圆心角为n°，根据弧长公式得出＝2π，再求出答案即可．
解：设圆心角为n°，
根据题意得：＝2π，
解得：n＝180，
即圆心角的度数是180°，
故答案为：180°．
【点评】本题考查了弧长公式，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：圆心角是n°，半径为r的弧的长度是．
13．如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为 9.6 m．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设旗杆的高度为x（m），则可列比例式为，解得x＝9.6（m），
故填9.6．
【点评】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查利用所学知识解决实际问题的能力．
14．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为 6 ．
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝3，OD＝2，
∴AB＝2，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×2＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
15．我们把一个自然数中右边数字比左边数字大的叫做“上升数”，如：34，568，2469等．任取一个两位数，是“上升数”的概率是 0.4 ．
【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．
解：两位数一共有99﹣10+1＝90（个），
上升数为：
12，13，14，15，16，17，18，19，
23，24，25，26，27，28，29，
34，35，36，37，38，39，
45，46，47，48，49，
56，57，58，59，
67，68，69，
78，79，
89，
共8+7+6+5+4+3+2+1＝36个．
概率为36÷90＝0.4．
故答案为：0.4．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝；易错点是得到上升两位数的个数．
16．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为 ﹣3 ．
【分析】由m≤x≤n且mn＜0，可得m＜0，n＞0，分类讨论0＜n≤1和n＞1求解．
解：∵m≤x≤n且mn＜0，
∴m＜0，n＞0，
①当0＜n≤1时，x＝n时y取最大值，
即﹣（n﹣1）2+5＝5n，
解得n＝1或n＝﹣4（舍），
x＝m时y取最小值，
即﹣（m﹣1）2+5＝5m，
解得m＝1（舍）或m＝﹣4，
∴m+n＝﹣3．
②当n＞1时，y＝5n＝5为最大值，
解得n＝1（舍）．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握求二次函数最值的方法，分类讨论求解．
三、解答题。（本大题共9小题，满分72分）
17．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．
【分析】根据比例分别设x＝3k、y＝5k、z＝7k，再代入比例式进行计算即可得解．
解：∵x：y：z＝3：5：7，
∴设x＝3k、y＝5k、z＝7k，
则＝＝．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z求解更简便．
18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象，写出三条关于a，b，c的信息．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系求解．
【解答】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，即b＞0，
∵抛物线与y轴交点为（0，2），
∴c＝2．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
19．已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，求⊙O的半径．
【分析】连接OB，OA，根据圆周角定理得出∠BOA＝90°，再由勾股定理得出⊙O的半径即可．
解：连接OB，OA，
∵∠BCA＝45°，
∴∠BOA＝90°，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵AB＝2，
∴OB＝OA＝．
【点评】本题考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半是解题的关键．
20．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（﹣2，）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若点B（m+2，m）在这个函数的图象上，求m的值．
【分析】（1）把A点坐标代入y＝求出k即可得到反比例函数解析式；
（2）把B点坐标代入（1）中的解析式得到关于m的一元二次方程，然后解方程即可．
解：（1）A（﹣2，）代入y＝得k＝﹣2×＝﹣1，
所以反比例函数解析式为y＝﹣，
（2）把B（m+2，m）代入y＝﹣得m（m+2）＝﹣1，
解得m1＝m2＝﹣1，
所以m的值为﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．
21．平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝EF＝FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N．
（1）求证：AM＝BM；
（2）若AB＝28，求CN的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△AEM∽△CED，进而可以解决问题；
（2）证明△AFM∽△CFN，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵∠AEM＝∠CED，
∴△AEM∽△CED，
∴＝，
∵AE＝EF＝FC，
∴＝＝，
∴AM＝CD；
∵AB＝CD，
∴AM＝BM；
（2）解：在△AFM和△CFN中，∠FAM＝∠FCN，∠AFM＝∠CFN，
∴△AFM∽△CFN，
∴＝＝2，
∴CN＝AM；
∵AB＝28，
∴CN＝7．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线四边形的性质，解决本题的关键是得到△AEM∽△CED．
22．父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．
（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；
（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大？请说明理由．
【分析】（1）首先分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆都是花生的情况，再利用概率公式即可求得给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率，比较大小，即可知爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大．
解：（1）分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况，
∴爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为：＝；
（2）会增大，
理由：分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆都是花生的有6种情况，
∴爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率为：＝＞；
∴给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性会增大．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OF，AO，由AB＝AF＝EF，得到＝＝，求得∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，得到AB∥OF，求得OF⊥FG，于是得到结论；
（2）由＝＝，得到∠AOF＝60°，得到△AOF是等边三角形，求得∠AFO＝60°，得到AO＝4，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴＝＝，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：∵＝＝，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝＝．
【点评】本题考查了正多边形与圆，切线的判定，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x的取值范围．
（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值．
解：（1）根据题意得y＝（70﹣x﹣50）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，
∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，
∴0≤x＜20；
（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣）2+6125，
∴当x＝时，y取得最大值，最大值为6125，
答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
25．如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，交x轴于B、D两点，与y轴交于点C．
（1）求线段BD的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，求PC+PD的最小值．
【分析】（1）分别求出D（﹣1，0），B（3，0），则可求BD；
（2）连接AO，求出顶点坐标为（1，﹣4），C（0，﹣3），再由S△CAB＝S△OAB+S△OCA﹣S△OCB即可求解；
（3）连接BC交对称轴与点P，由题意可知B点与D点关于对称轴x＝1对称，则当P、B、C三点共线时，PC+PD的值最小，求出BC＝3即为所求．
解：（1）当y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，则（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴D（﹣1，0），B（3，0），
∴BD＝4；故答案为：4．
（2）连接AO，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴S△CAB＝S△OAB+S△OCA﹣S△OCB＝×3×4+×3×1﹣×3×3＝3；故答案为：3．
（3）连接BC交对称轴与点P，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵B点与D点关于对称轴x＝1对称，
∴DP＝PB，
∴PC+PD＝PC+BP≥BC，
∴当P、B、C三点共线时，PC+PD的值最小，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴BC＝3，
∴PC+PD的最小值即BC＝．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，会利用轴对称求最短距离是解题的关键．
2021-2022学年湖南省长沙市雨花区九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．以下事件中，必然发生的是（ ）
A．通常情况下，水加热到100℃沸腾
B．昨天考试小明得满分
C．打开电视机，正在播放体育节目
D．掷一次骰子，向上一面是5点
2．两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（ ）
A． B．3：2 C．9：4 D．不能确定
3．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
4．如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的，则下列结论不成立的是
（ ）
A．点A与点D是对应点 B．BO＝EO
C．∠ACB＝∠FED D．AB∥DE
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝144°，则∠C的度数是（ ）
A．14° B．36° C．72° D．108°
6．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子，则向上一面的数不大于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图象大致如图（ ）
A． B．
C． D．
8．A（﹣3，2）关于原点的对称点是B，B关于x轴的对称点是C，则点C的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣2，3）
9．下列命题不正确的是（ ）
A．两个位似图形一定相似
B．位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行
C．两个位似图形的位似比就是相似比
D．两个相似图形一定是位似图形
10．方程x2+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x2+2x﹣1＝0的实数根x0所在的范围是（ ）
A．﹣1＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜2 D．2＜x0＜3
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），则m的值为 ．
12．有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是 ．
13．如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为 m．
14．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为 ．
15．我们把一个自然数中右边数字比左边数字大的叫做“上升数”，如：34，568，2469等．任取一个两位数，是“上升数”的概率是 ．
16．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为 ．
三、解答题。（本大题共9小题，满分72分）
17．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．
18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象，写出三条关于a，b，c的信息．
19．已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，求⊙O的半径．
20．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（﹣2，）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若点B（m+2，m）在这个函数的图象上，求m的值．
21．平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝EF＝FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N．
（1）求证：AM＝BM；
（2）若AB＝28，求CN的长．
22．父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．
（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；
（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大？请说明理由．
23．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
24．某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
25．如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，交x轴于B、D两点，与y轴交于点C．
（1）求线段BD的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，求PC+PD的最小值．
参考答案
一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．以下事件中，必然发生的是（ ）
A．通常情况下，水加热到100℃沸腾
B．昨天考试小明得满分
C．打开电视机，正在播放体育节目
D．掷一次骰子，向上一面是5点
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．
解：A、通常情况下，水加热到100℃沸腾是必然发生的，正确；
B、昨天考试小明得满分是随机事件，错误；
C、打开电视机，正在播放体育节目是随机事件，错误；
D、掷一次骰子，向上一面是5点是随机事件，错误；
故选：A．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（ ）
A． B．3：2 C．9：4 D．不能确定
【分析】由两个相似三角形，其周长之比为3：2，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
解：∵两个相似三角形，其周长之比为3：2，
∴其相似比为3：2，
∴其面积比为9：4．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．
3．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
【分析】将二次函数的一般形式化为顶点式后即可直接说出其顶点坐标；
解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1
∴顶点坐标为（﹣2，1）；
故选：B．
【点评】主要考查了二次函数的性质和求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．除去用配方法外还可用公式法．
4．如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的，则下列结论不成立的是
（ ）
A．点A与点D是对应点 B．BO＝EO
C．∠ACB＝∠FED D．AB∥DE
【分析】旋转180°后，对应点与旋转中心共线，对应线段平行且相等，对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，其中∠ACB与∠FDE不是对应角，不能判断相等．
解：根据旋转的性质可知，
点A与点D是对应点，
BO＝EO，
AB∥DE，
∠ACB＝∠DFE≠∠FDE．
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．同时要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝144°，则∠C的度数是（ ）
A．14° B．36° C．72° D．108°
【分析】根据圆周角定理求出∠BAD，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
解：∵∠BOD＝144°，
∴∠BAD＝∠BOD＝72°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C＝180°﹣∠BAD＝180°﹣72°＝108°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子，则向上一面的数不大于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接根据概率公式求解．
解：向上一面的数不大于4的概率＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图象大致如图（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．
8．A（﹣3，2）关于原点的对称点是B，B关于x轴的对称点是C，则点C的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣2，3）
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），可得到B点坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到C点坐标．
解：∵A（﹣3，2）关于原点的对称点是B，
∴B（3，﹣2），
∵B关于x轴的对称点是C，
∴C（3，2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标规律，以及关于x轴对称点的坐标特点，关键是熟记坐标变化的规律．
9．下列命题不正确的是（ ）
A．两个位似图形一定相似
B．位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行
C．两个位似图形的位似比就是相似比
D．两个相似图形一定是位似图形
【分析】位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行；两个位似图形的位似比就是相似比；两个相似图形不一定是位似图形．
解：根据位似图形变换性质知：
位似是相似的特殊形式；
A、两个位似图形一定相似，故正确；
B、两个位似图形一定相似位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行，故正确；
C、两个位似图形的位似比就是相似比，故正确；
D、两个相似图形不一定是位似图形，故错误．
故选：D．
【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，两个位似图形一定相似．
10．方程x2+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x2+2x﹣1＝0的实数根x0所在的范围是（ ）
A．﹣1＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜2 D．2＜x0＜3
【分析】方程x2+2x﹣1＝0的实数根可以看作函数y＝x+2和y＝的交点，判断各个选项中的自变量的值对应的点是否在交点的同侧还是异侧即可判断．
解：方程x2+2x﹣1＝0的实数根可以看作函数y＝x+2和y＝的交点坐标．
函数大体图象如图所示：
A．由图可得，第三象限内图象交点的横坐标小于﹣2，故﹣1＜x0＜0错误；
B．当x＝1时，y1＝1+2＝3，y2＝＝1，而3＞1，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于1，故0＜x0＜1正确；
C．当x＝1时，y1＝1+2＝3，y2＝＝1，而3＞1，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于1，故1＜x0＜2错误；
D．当x＝2时，y1＝2+2＝4，y2＝，而4＞，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于2，故2＜x0＜3错误．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，运用数形结合思想是关键．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），则m的值为 ﹣7 ．
【分析】把点（3，﹣4）代入函数解析式，列出关于m的方程，通过解方程来求m的值．
解：∵反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），
∴﹣4＝，
解得 m＝﹣7．
故答案是：﹣7．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式．
12．有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是 180° ．
【分析】设圆心角为n°，根据弧长公式得出＝2π，再求出答案即可．
解：设圆心角为n°，
根据题意得：＝2π，
解得：n＝180，
即圆心角的度数是180°，
故答案为：180°．
【点评】本题考查了弧长公式，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：圆心角是n°，半径为r的弧的长度是．
13．如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为 9.6 m．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设旗杆的高度为x（m），则可列比例式为，解得x＝9.6（m），
故填9.6．
【点评】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查利用所学知识解决实际问题的能力．
14．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为 6 ．
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝3，OD＝2，
∴AB＝2，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×2＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
15．我们把一个自然数中右边数字比左边数字大的叫做“上升数”，如：34，568，2469等．任取一个两位数，是“上升数”的概率是 0.4 ．
【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．
解：两位数一共有99﹣10+1＝90（个），
上升数为：
12，13，14，15，16，17，18，19，
23，24，25，26，27，28，29，
34，35，36，37，38，39，
45，46，47，48，49，
56，57，58，59，
67，68，69，
78，79，
89，
共8+7+6+5+4+3+2+1＝36个．
概率为36÷90＝0.4．
故答案为：0.4．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝；易错点是得到上升两位数的个数．
16．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为 ﹣3 ．
【分析】由m≤x≤n且mn＜0，可得m＜0，n＞0，分类讨论0＜n≤1和n＞1求解．
解：∵m≤x≤n且mn＜0，
∴m＜0，n＞0，
①当0＜n≤1时，x＝n时y取最大值，
即﹣（n﹣1）2+5＝5n，
解得n＝1或n＝﹣4（舍），
x＝m时y取最小值，
即﹣（m﹣1）2+5＝5m，
解得m＝1（舍）或m＝﹣4，
∴m+n＝﹣3．
②当n＞1时，y＝5n＝5为最大值，
解得n＝1（舍）．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握求二次函数最值的方法，分类讨论求解．
三、解答题。（本大题共9小题，满分72分）
17．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．
【分析】根据比例分别设x＝3k、y＝5k、z＝7k，再代入比例式进行计算即可得解．
解：∵x：y：z＝3：5：7，
∴设x＝3k、y＝5k、z＝7k，
则＝＝．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z求解更简便．
18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象，写出三条关于a，b，c的信息．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系求解．
【解答】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，即b＞0，
∵抛物线与y轴交点为（0，2），
∴c＝2．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
19．已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，求⊙O的半径．
【分析】连接OB，OA，根据圆周角定理得出∠BOA＝90°，再由勾股定理得出⊙O的半径即可．
解：连接OB，OA，
∵∠BCA＝45°，
∴∠BOA＝90°，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵AB＝2，
∴OB＝OA＝．
【点评】本题考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半是解题的关键．
20．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（﹣2，）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若点B（m+2，m）在这个函数的图象上，求m的值．
【分析】（1）把A点坐标代入y＝求出k即可得到反比例函数解析式；
（2）把B点坐标代入（1）中的解析式得到关于m的一元二次方程，然后解方程即可．
解：（1）A（﹣2，）代入y＝得k＝﹣2×＝﹣1，
所以反比例函数解析式为y＝﹣，
（2）把B（m+2，m）代入y＝﹣得m（m+2）＝﹣1，
解得m1＝m2＝﹣1，
所以m的值为﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．
21．平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝EF＝FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N．
（1）求证：AM＝BM；
（2）若AB＝28，求CN的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△AEM∽△CED，进而可以解决问题；
（2）证明△AFM∽△CFN，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵∠AEM＝∠CED，
∴△AEM∽△CED，
∴＝，
∵AE＝EF＝FC，
∴＝＝，
∴AM＝CD；
∵AB＝CD，
∴AM＝BM；
（2）解：在△AFM和△CFN中，∠FAM＝∠FCN，∠AFM＝∠CFN，
∴△AFM∽△CFN，
∴＝＝2，
∴CN＝AM；
∵AB＝28，
∴CN＝7．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线四边形的性质，解决本题的关键是得到△AEM∽△CED．
22．父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．
（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；
（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大？请说明理由．
【分析】（1）首先分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆都是花生的情况，再利用概率公式即可求得给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率，比较大小，即可知爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大．
解：（1）分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况，
∴爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为：＝；
（2）会增大，
理由：分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆都是花生的有6种情况，
∴爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率为：＝＞；
∴给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性会增大．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OF，AO，由AB＝AF＝EF，得到＝＝，求得∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，得到AB∥OF，求得OF⊥FG，于是得到结论；
（2）由＝＝，得到∠AOF＝60°，得到△AOF是等边三角形，求得∠AFO＝60°，得到AO＝4，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴＝＝，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：∵＝＝，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝＝．
【点评】本题考查了正多边形与圆，切线的判定，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x的取值范围．
（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值．
解：（1）根据题意得y＝（70﹣x﹣50）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，
∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，
∴0≤x＜20；
（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣）2+6125，
∴当x＝时，y取得最大值，最大值为6125，
答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
25．如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，交x轴于B、D两点，与y轴交于点C．
（1）求线段BD的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，求PC+PD的最小值．
【分析】（1）分别求出D（﹣1，0），B（3，0），则可求BD；
（2）连接AO，求出顶点坐标为（1，﹣4），C（0，﹣3），再由S△CAB＝S△OAB+S△OCA﹣S△OCB即可求解；
（3）连接BC交对称轴与点P，由题意可知B点与D点关于对称轴x＝1对称，则当P、B、C三点共线时，PC+PD的值最小，求出BC＝3即为所求．
解：（1）当y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，则（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴D（﹣1，0），B（3，0），
∴BD＝4；故答案为：4．
（2）连接AO，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴S△CAB＝S△OAB+S△OCA﹣S△OCB＝×3×4+×3×1﹣×3×3＝3；故答案为：3．
（3）连接BC交对称轴与点P，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵B点与D点关于对称轴x＝1对称，
∴DP＝PB，
∴PC+PD＝PC+BP≥BC，
∴当P、B、C三点共线时，PC+PD的值最小，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴BC＝3，
∴PC+PD的最小值即BC＝．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，会利用轴对称求最短距离是解题的关键．
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