数学九年级下册第24章 圆综合与测试测试题

沪科版九年级数学下册第24章圆定向测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为（    ）

A． B． C． D．

2、下列叙述正确的有(    )个.

（1）随着的增大而增大；

（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是和；

（3）斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；

（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；

（5）以为三边长度的三角形，不是直角三角形．

A．0 B．1 C．2 D．3

3、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

4、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（   ）

A．3 B．2 C．1 D．

5、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C．  D．

6、下列各点中，关于原点对称的两个点是（　　）

A．（﹣5，0）与（0，5） B．（0，2）与（2，0）

C．（﹣2，﹣1）与（﹣2，1） D．（2，﹣1）与（﹣2，1）

7、将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B，与直角三角板相切于点C，且，则光盘的直径是（    ）

A．6 B． C．3 D．

8、下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

9、如图，，，，都是上的点，，垂足为，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

10、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（    ）cm．

A．3π B．6π C．12π D．18π

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、一个正多边形的中心角是，则这个正多边形的边数为________．

2、把一个正六边形绕其中心旋转，至少旋转________度，可以与自身重合．

3、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．

4、如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆．

（1）点M的纵坐标为______；

（2）当最大时，点P的坐标为______．

5、一个五边形共有__________条对角线．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．

（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标：　     ；

（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；

（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．

2、在平面直角坐标系xOy中，的半径为2．点P，Q为外两点，给出如下定义：若上存在点M，N，使得P，Q，M，N为顶点的四边形为矩形，则称点P，Q是的“成对关联点”．

（1）如图，点A，B，C，D横、纵坐标都是整数．在点B，C，D中，与点A组成的“成对关联点”的点是______；

（2）点在第一象限，点F与点E关于x轴对称．若点E，F是的“成对关联点”，直接写出t的取值范围；

（3）点G在y轴上．若直线上存在点H，使得点G，H是的“成对关联点”，直接写出点G的纵坐标的取值范围．

3、如图，四边形ABCD是正方形．△ABE是等边三角形，M为对角线 BD(不含B，D点)上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接 EN，AM、CM．请判断线段 AM 和线段 EN 的数量关系，并说明理由．

4、请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Binmi （973-1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi详本出版了俄文版《阿基米德全集》．第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），， 是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．

下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．

证明：如图2，在上截取，连接和．

是的中点，

…

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明部分；

（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是_________．

5、如图1，点O为直线AB上一点，将两个含60°角的三角板MON和三角板OPQ如图摆放，使三角板的一条直角边OM、OP在直线AB上，其中．

（1）将图1中的三角板OPQ绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边OP在的内部且平分，此时三角板OPQ旋转的角度为______度；

（2）三角板OPQ在绕点O按逆时针方向旋转时，若OP在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）如图3，将图1中的三角板MON绕点O以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板OPQ绕点O以每秒3°的速度按逆时针方向旋转，将射线OB绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线OB记为OE，射线OC平分，射线OD平分，当射线OC、OD重合时，射线OE改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在OC与OD第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

阴影部分的面积=扇形扇形，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及的面积，最后即可求出阴影部分的面积．

【详解】

解：由图可知：阴影部分的面积=扇形扇形，

由旋转性质可知：，，

，，

在中，，，，

，，

有勾股定理可知：，

阴影部分的面积=扇形扇形

．

故选：B．

【点睛】

本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．

2、D

【分析】

根据反比例函数的性质，得当或者时，随着的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．

【详解】

当或者时，随着的增大而增大，故（1）不正确；

如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是和；，故（2）正确；

∵圆的直径所对的圆周角为直角

∴斜边为的直角三角形顶点A的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆，故（3）正确；

三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确；

∵

∴

∴以为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误；

故选：D．

【点睛】

本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．

3、B

【分析】

由切线的性质可推出，．再根据直角三角形全等的判定条件“HL”，即可证明，即得出．

【详解】

∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，

∴，，

∴在和中，，

∴，

∴．

故选：B

【点睛】

本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．

4、B

【分析】

连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．

【详解】

解：连接OC，如图

∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．

5、B

【详解】

解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

6、D

【分析】

根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．

【详解】

解：A、（﹣5，0）与（0，5）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故A错误；

B、（0，2）与（2，0）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故B错误；

C、（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）关于x轴对称，故C错误；

D、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故D正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

7、D

【分析】

如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，由切线的性质可知∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，即可证明Rt△OCA≌Rt△OBA得到∠OAC=∠OAB，则，∠AOB=30°，推出OA=2AB=6，利用勾股定理求出，即可得到圆O的直径为．

【详解】

解：如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，

∵AC，AB都是圆O的切线，

∴∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，

又∵OA=OA，

∴Rt△OCA≌Rt△OBA（HL），

∴∠OAC=∠OAB，

∵∠DAC=60°，

∴，

∴∠AOB=30°，

∴OA=2AB=6，

∴，

∴圆O的直径为，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟知切线的性质是解题的关键．

8、A

【分析】

中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．

【详解】

解：根据中心对称图形的定义，可知A选项的图形为中心对称图形，

故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．

9、B

【分析】

连接OC．根据确定，，进而计算出，根据圆心角的性质求出，最后根据圆周角的性质即可求出．

【详解】

解：如下图所示，连接OC．

∵，

∴，．

∴．

∵．

∴．

∴

∵和分别是所对的圆周角和圆心角，

∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角的性质，综合应用这些知识点是解题关键．

10、B

【分析】

利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．

【详解】

解：它的侧面展开图的面积＝×2×2×3＝6（cm2）．

故选：B．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

二、填空题

1、九9

【分析】

根据正多边形的每个中心角相等，且所有中心角的度数和为360°进行求解即可．

【详解】

解：设这个正多边形的边数为n，

∵这个正多边形的中心角是40°，

∴，

∴，

∴这个正多边形是九边形，

故答案为：九．

【点睛】

本题主要考查了正多边形的性质，熟知正多边形中心角的度数和为360度是解题的关键．

2、60

【分析】

正六边形连接各个顶点和中心，这些连线会将360°分成6分，每份60°因此至少旋转60°，正六边形就能与自身重合．

【详解】

360°÷6=60°

故答案为：60

【点睛】

本题考查中心对称图形的性质，根据图形特征找到最少旋转度数是本题关键．

3、六

【分析】

设这个正多边形的边数为n，根据题意可知OA=OB=AB，则△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，则，由此即可得到答案．

【详解】

解：设这个正多边形的边数为n，

∵正多边形的半径与边长相等，

∴OA=OB=AB，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴，

∴，

∴正多边形的边数是六，

故答案为：六．

【点睛】

本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．

4、5    (4，0)   

【分析】

（1）根据点M在线段AB的垂直平分线上求解即可；

（2）点P在⊙M切点处时，最大，而四边形OPMD是矩形，由勾股定理求解即可．

【详解】

解：（1）∵⊙M为△ABP的外接圆，

∴点M在线段AB的垂直平分线上，

∵A(0，2)，B(0，8)，

∴点M的纵坐标为：，

故答案为：5；

（2）过点，，作⊙M与x轴相切，则点M在切点处时，最大，

理由：

若点是x轴正半轴上异于切点P的任意一点，

设交⊙M于点E，连接AE，则∠AEB=∠APB，

∵∠AEB是ΔAE的外角，

∴∠AEB>∠AB，

∵∠APB>∠AB，即点P在切点处时，∠APB最大，

∵⊙M经过点A(0，2)、B(0，8)，

∴点M在线段AB的垂直平分线上，即点M在直线y=5上，

∵⊙M与x轴相切于点P，ＭP⊥x轴，从而MP=5，即⊙M的半径为5，

设AB的中点为D，连接MD、AM，如上图，则MD⊥AB，AD=BD=AB=3，BM=MP=5，

而∠POD=90°，

∴四边形OPMD是矩形，从而OP=MD，

由勾股定理，得

MD=，

∴OP=MD=4，

∴点P的坐标为(4，0)，

故答案为：(4，0)．

【点睛】

本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键．

5、5

【分析】

由n边形的对角线有： 条，再把代入计算即可得．

【详解】

解：边形共有条对角线，

五边形共有条对角线．

故答案为：5

【点睛】

本题考查的是多边形的对角线的条数，掌握n边形的对角线的条数是解题的关键．

三、解答题

1、（1）（4，﹣1）；（2）见解析；（3）见解析．

【分析】

（1）根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；

（2）将三个点分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，继而首尾顺次连接即可；

（3）将三个点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可．

【详解】

（1）点B关于原点对称的点B′的坐标为（4，﹣1），

故答案为：（4，﹣1）；

（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．

【点睛】

本题主要考查作图—平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．

2、（1）B和C；（2）；（3）

【分析】

（1）根据图形可确定与点A组成的“成对关联点”的点；

（2）如图，点E在直线上，点F在直线上，当点E在线段上，点F在线段上时，有的“成对关联点”，求出即可得出的取值范围；

（3）分类讨论：点G在上，点G在的下方和点G在的上方，构造的“成对关联点”，即可求出的取值范围．

【详解】

（1）如图所示：

在点B，C，D中，与点A组成的“成对关联点”的点是B和C，

故答案为：B和C；

（2）∵

∴在直线上，

∵点F与点E关于x轴对称，

∴在直线，

如下图所示：

直线和与分别交于点，，与直线分别交于，，

由题可得：，

当点E在线段上时，有的“成对关联点”

∴；

（3）

如图，当点G在上时，轴，在上不存在这样的矩形；

如图，当点G在下方时，也不存在这样的矩形；

如图，当点G在上方时，存在这样的矩形GMNH，

当恰好只能构成一个矩形时，

设，直线与y轴相交于点K，

则，，，，，

∴，即，

∴，

解得：或（舍），

综上：当时，点G，H是的“成对关联点”．

【点睛】

本题考查几何图形综合问题，属于中考压轴题，掌握“成对关联点”的定义是解题的关键．

3、AM=EN，理由见解析

【分析】

根据旋转性质和等边三角形的性质可证得∠ABM=∠EBN，BM=BN，AB=BE，根据全等三角形的判定证明△ABM≌△EBN即可得出结论．

【详解】

解：AM=EN，理由为：

∵△ABE是等边三角形，

∴AB=BE，∠ABE=60°，即∠EBN=∠ABN=60°，

∵线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，

∴BM=BN，∠MBN=60°，即∠ABM+∠ABN=60°，

∴∠ABM=∠EBN，

在△ABM和△EBN中，

，

∴△ABM≌△EBN（SAS），

∴AM=EN．

【点睛】

本题考查等边三角形的性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握用全等三角形证明线段相等是解答的关键．

4、

（1）证明见解析；

（2）．

【分析】

（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；

（2）首先证明，进而得出，以及，进而求出的长即可得出答案．

（1）

证明：如图2，在上截取，连接，，和．

是的中点，

．

在和中

，

，

，

又，

，

；

（2）

解：如图3，截取，连接，，，

由题意可得：，

∵

∴，

在和中

，

，

，

，

，则，

，

，

∵，

∴

则

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了圆与三角形综合，涉及了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．

5、

（1）135°

（2）∠MOP-∠NOQ=30°，理由见解析

（3）s或s．

【分析】

（1）先根据OP平分得到∠PON，然后求出∠BOP即可；

（2）先根据题意可得∠MOP=90°-∠POQ, ∠NOQ=60°-∠POQ,然后作差即可；

（3）先求出旋转前OC、OD的夹角，然后再求出OC与OD第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在OC与OD第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分OE在OC的左侧和OE在OC的右侧两种情况解答即可．

（1）

解：∵OP平分∠MON

∴∠PON=∠MON=45°

∴三角板OPQ旋转的角：∠BOP=∠PON+∠NOB=135°．

故答案是135°

（2）

解：∠MOP-∠NOQ=30°，理由如下：

∵∠MON=90°，∠POQ=60°

∴∠MOP=90°-∠POQ, ∠NOQ=60°-∠POQ,

∴∠MOP-∠NOQ=90°-∠POQ -（60°-∠POQ）=30°．

（3）

解：∵射线OC平分，射线OD平分

∴∠NOC=45°，∠POD=30°

∴选择前OC与OD的夹角为∠COD=∠NOC+∠NOP+∠POD=165°

∴OC与OD第一次相遇的时间为165°÷（2°+3°）=33秒，此时OB旋转的角度为33×5°=165°

∴此时OC与OE的夹角165-（180-45-2×33）=96°

OC与OD第二次相遇需要时间360°÷（3°+2°）=72秒

设在OC与OD第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t

①当OE在OC的左侧时，有（5°-2°）t=96°-13°，解得：t=s

②当OE在OC的右侧时，有（5°-2°）t=96°+13°，解得：t=s

然后，①②都是每隔360÷（5°-2°）=120秒，出现一次这种现象

∵C、D第二次相遇需要时间72秒

∴在OC与OD第二次相遇前，当时，、旋转时间t的值为s或s．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．