初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试精练
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这是一份初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试精练,共31页。试卷主要包含了已知⊙O的半径为4,,则点A在,下列图形中,是中心对称图形的是等内容,欢迎下载使用。
沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、已知⊙O的半径为4,点P 在⊙O外部,则OP需要满足的条件是( )
A.OP>4 B.0≤OP2 D.0≤OP4,
故选:A.
【点睛】
此题考查了点与圆的位置关系,熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键.
2、C
【分析】
由题意根据函数解析式求得A(-4,0),B(0.-3),得到OA=4,OB=3,根据勾股定理得到AB=5,设⊙P与直线AB相切于D,连接PD,则PD⊥AB,PD=1,根据相似三角形的性质即可得到结论.
【详解】
解:∵直线交x轴于点A,交y轴于点B,
∴令x=0,得y=-3,令y=0,得x=-4,
∴A(-4,0),B(0,-3),
∴OA=4,OB=3,
∴AB=5,
设⊙P与直线AB相切于D,
连接PD,
则PD⊥AB,PD=1,
∵∠ADP=∠AOB=90°,∠PAD=∠BAO,
∴△APD∽△ABO,
∴,
∴,
∴AP= ,
∴OP= 或OP= ,
∴P或P,
故选:C.
【点睛】
本题考查切线的判定和性质,一次函数图形上点的坐标特征,相似三角形的判定和性质,正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键.
3、D
【分析】
将绕点逆时针旋转得,根据旋转的性质得,,,则为等边三角形,得到,,在中,,,,根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形,且,即可得到的度数.
【详解】
解:为等边三角形,
,
可将绕点逆时针旋转得,
如图,连接,
,,,
为等边三角形,
,,
在中,,,,
,
为直角三角形,且,
.
故选:D.
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形,解题的关键是掌握旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.
4、B
【详解】
解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形,故不符合题意;
B.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故符合题意;
C.不是轴对称图形,是中心对称图形,故不符合题意;
D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故不符合题意.
故选:B.
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形;如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
5、C
【分析】
根据⊙O的半径r=4,且点A到圆心O的距离d=5知d>r,据此可得答案.
【详解】
解:∵⊙O的半径r=4,且点A到圆心O的距离d=5,
∴d>r,
∴点A在⊙O外,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查点与圆的位置关系,点与圆的位置关系有3种.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:①点P在圆外⇔d>r;②点P在圆上⇔d=r;③点P在圆内⇔d<r.
6、C
【分析】
根据中心对称图形的概念:一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解.
【详解】
A、不是中心对称图形,不符合题意;
B、不是中心对称图形,不符合题意;
C、是中心对称图形,符合题意;
D、不是中心对称图形,不符合题意.
故选:C.
【点睛】
本题考查了中心对称图形,掌握好中心对称图形,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后能够与原来的图形重合.
7、D
【分析】
根据旋转的性质推出相等的边CE=CF,旋转角推出∠ECF=90°,即可得到△CEF为等腰直角三角形.
【详解】
解:∵△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合,
∴∠ECF=90°,CE=CF,
∴△CEF是等腰直角三角形,
故选:D.
【点睛】
本题主要考查旋转的性质,掌握图形旋转前后的大小和形状不变是解决问题的关键.
8、C
【分析】
过点A作AC⊥x轴于点C,设 ,则 ,根据勾股定理,可得,从而得到 ,进而得到∴ ,可得到点 ,再根据旋转的性质,即可求解.
【详解】
解:如图,过点A作AC⊥x轴于点C,
设 ,则 ,
∵ ,,
∴,
∵, ,
∴ ,
解得: ,
∴ ,
∴ ,
∴点 ,
∴将绕原点O顺时针旋转90°,则旋转后点A的对应点的坐标是,
∴将绕原点O逆时针旋转90°,则旋转后点A的对应点的坐标是.
故选:C
【点睛】
本题考查坐标与图形变化一旋转,解直角三角形等知识,解题的关键是求出点A的坐标,属于中考常考题型.
9、D
【分析】
首先运用勾股定理求出AC的长度,然后结合旋转的性质得到AB= AB',BC= B'C',从而求出B'C,即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解.
【详解】
解:∵在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,
∴,
由旋转性质可知,AB= AB'=6,BC= B'C'=8,
∴B'C=10-6=4,
在Rt△B'C'C中,,
故选:D.
【点睛】
本题考查勾股定理,以及旋转的性质,掌握旋转变化的基本性质,熟练运用勾股定理求解是解题关键.
10、B
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的定义解答即可.
【详解】
解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
B既是中心对称图形又是轴对称图形,符合题意;
C. 是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
D. 既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,不符合题意.
故选B.
【点睛】
本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的定义.一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形叫作轴对称图形;把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形与另一个图形重合叫作中心对称图形.
二、填空题
1、
【分析】
阴影部分的面积等于等边三角形的面积减去三个扇形面积,而这三个扇形拼起来正好是一个半径为半圆的面积,即阴影部分面积=等边三角形面积−半径为半圆的面积,因此求出半圆面积,连接AD,则可求得AD的长,从而可求得等边三角形的面积,即可求得阴影部分的面积.
【详解】
连接AD,如图所示
则AD⊥BC
∵D点是BC的中点
∴
由勾股定理得
∴
∵S半圆=
∴S阴影=S△ABC−S半圆
故答案为:
【点睛】
本题是求组合图形的面积,扇形面积及三角形面积的计算.关键是把不规则图形面积通过割补转化为规则图形的面积计算.
2、
【分析】
先求出A、B、C坐标,再证明三角形BOC是等边三角形,最后根据扇形面积公式计算即可.
【详解】
过C作CD⊥OA于D
∵一次函数的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴当时,,B点坐标为(0,1)
当时,,A点坐标为
∴
∵作的外接圆,
∴线段AB中点C的坐标为,
∴三角形BOC是等边三角形
∴
∵C的坐标为
∴
∴
故答案为:
【点睛】
本题主要考查了一次函数的综合运用,求扇形面积.用已知点的坐标表示相应的线段是解题的关键.
3、9cm
【分析】
由弧长公式即可求得弧的半径.
【详解】
∵
∴
故答案为:9cm
【点睛】
本题考查了扇形的弧长公式,善于对弧长公式变形是关键.
4、4
【分析】
由周长公式可得⊙O半径为4,再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF中心角为,即可知正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的,则可求得六边形ABCDEF边长.
【详解】
∵⊙O的周长为8π
∴⊙O半径为4
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O
∴正六边形ABCDEF中心角为
∴正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的
∴正六边形ABCDEF边长为4.
故答案为:4.
【点睛】
本题考查了正多边形的中心角公式,正n边形的每个中心角都等于,由中心角为得出正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键.
5、
【分析】
根据阴影部分面积等于以为直径的2 个半圆的面积加上减去为半径的半圆面积即.
【详解】
解:在中,,
,
.
故答案为:
【点睛】
本题考查了勾股定理,求扇形面积,直径所对的圆周角是直角,掌握圆周角定理是解题的关键.
三、解答题
1、(1)①;②;(2);证明见解析;(3)或.
【分析】
(1)①,根据CE=BC,四边形ABCD为正方形,可得BC=CD=CE,根据CF⊥DE,得出CF平分∠ECD即可;
②,过点C作CG⊥BE于G,根据BC=EC,得出∠ECG=∠BCG=,根据∠ECH=∠HCD=,可得CG=HG,根据勾股定理在Rt△GHC中,,根据GE=,得出即可;
(2),过点C作交BE于点M,得出,先证得出,可证是等腰直角三角形,可得即可;
(3)或,根据,分两种情况,当∠ABE=90°-15°=75°时,BC=CE,先证△CDE为等边三角形,可求∠FEH=∠DEC=∠CEB=60°-15°=45°,根据CF⊥DE,得出DF=EF=1,∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°,根据勾股定理HE=,当∠ABE=90°+15°=105°,可得BC=CE得出∠CBE=∠CEB=15°,可求∠FCE=,∠FEC=180°-∠CFE-∠FCE=30°,根据30°直角三角形先证得出CF=,根据勾股定理EF=,再证FH=FE,得出EH=即可.
【详解】
解:(1)①
∵CE=BC,四边形ABCD为正方形,
∴BC=CD=CE,
∵CF⊥DE,
∴CF平分∠ECD,
∴∠ECH=∠HCD,
故答案为:∠ECH=∠HCD;
②,过点C作CG⊥BE于G,
∵BC=EC,
∴∠ECG=∠BCG=,
∵∠ECH=∠HCD=,
∴∠GCH=∠ECG+∠ECF=+,
∴∠GHC=180°-∠HGC+∠GCH=180°-90°-45°=45°,
∴CG=HG,
在Rt△GHC中,
∴,
∵GE=,
∴GH=GE+EH=,
∴,
∴,
∴,
故答案是:;
(2),
证明:过点C作交BE于点M,
则,
∴⁰,
∴,
∵,,
∴,,
∴,
∴,
∴,,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴,
(3)或,
∵,分两种情况,
当∠ABE=90°-15°=75°时,
∵BC=CE,
∴∠CBE=∠CEB=15°,
∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB==180°-15°-15°=150°,
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°=90°=60°,
∵CE=CD,
∴△CDE为等边三角形,
∴DE=CD=AB=2,∠DEC=60°,
∴∠FEH=∠DEC=∠CEB=60°-15°=45°,
∵CF⊥DE,
∴DF=EF=1,∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°,
∴EF=HF=1,
∴HE=,
当∠ABE=90°+15°=105°,
∵BC=CE,∠CBE=∠CEB=15°,
∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB=150°,
∴∠DCE=360°-∠DCB-∠BCE=120°,
∵CE=BC=CD,CH⊥DE,
∴∠FCE=,
∴∠FEC=180°-∠CFE-∠FCE=30°,
∴CF=,
∴EF=,
∵∠HEF=∠CEB+∠CEF=15°+30°=45°,
∴∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°=∠FEH,
∴FH=FE,
∴EH=,
∴或.
【点睛】
本题考查正方形性质,图形旋转性质,勾股定理,等边三角形,等腰直角三角形性质,角平分线,线段和差,掌握正方形性质,图形旋转性质,勾股定理,等边三角形,等腰直角三角形性质,角平分线,线段和差是解题关键.
2、(1)作图见解析;(2)
【分析】
(1)由于D点为⊙O的切点,即可得到OC=OD,且OD⊥AB,则可确定O点在∠A的角平分线上,所以应先画出∠A的角平分线,与BC的交点即为O点,再以O为圆心,OC为半径画出圆即可;
(2)连接CD和OD,根据切线长定理,以及圆的基本性质,求出∠DCB的度数,然后进一步求出∠COD的度数,并结合三角函数求出OC的长度,再运用弧长公式求解即可.
【详解】
解:(1)如图所示,先作∠A的角平分线,交BC于O点,以O为圆心,OC为半径画出⊙O即为所求;
(2)如图所示,连接CD和OD,
由题意,AD为⊙O的切线,
∵OC⊥AC,且OC为半径,
∴AC为⊙O的切线,
∴AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC,
∵CD=BD,
∴∠B=∠DCB,
∵∠ADC=∠B+∠BCD,
∴∠ACD=∠ADC=2∠DCB,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠DCB=90°,
即:3∠DCB=90°,
∴∠DCB=30°,
∵OC=OD,
∴∠DCB=∠ODC=30°,
∴∠COD=180°-2×30°=120°,
∵∠DCB=∠B=30°,
∴在Rt△ABC中,∠BAC=60°,
∵AO平分∠BAC,
∴∠CAO=∠DAO=30°,
∴在Rt△ACO中,,
∴.
【点睛】
本题考查复杂作图-作圆,以及圆的基本性质和切线长定理等,掌握圆的基本性质,切线的性质以及灵活运用三角函数求解是解题关键.
3、(1)△ABC是等边三角形,证明见解析;(2)见解析
【分析】
(1)利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,而∠APC=∠CPB=60°,所以∠BAC=∠ABC=60°,从而可判断△ABC的形状;
(2)如图所示,在PC取一点E使得AE=AP,先证明△APE是等边三角形,得到AP=PE,∠AEP=60°,可以推出∠AEC=∠APB,然后证明△APB≌△AEC得到BP=CE,即可证明PC=PE+CE=AP+BP.
【详解】
解:(1)△ABC是等边三角形.证明如下:
由圆周角定理:∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC
∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠BAC=∠ABC=60°,
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°.
∴△ABC是等边三角形.
(2)如图所示,在PC取一点E使得AE=AP,
∵∠APE=60°,AP=AE,
∴△APE是等边三角形,
∴AP=PE,∠AEP=60°,
∴∠AEC=120°,
又∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠APB=120°,
∴∠AEC=∠APB,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,
又∵∠ABP=∠ACE,
∴△APB≌△AEC(AAS),
∴BP=CE,
∴PC=PE+CE=AP+BP.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,解题的关键是掌握圆周角定理,正确求出∠ABC=∠BAC=60°.
4、成立,证明见解析
【分析】
根据阅读材料将△ADF旋转120°再证全等即可求得EF= BE+DF .
【详解】
解:成立.
证明:将绕点顺时针旋转,得到,
,,,,,
,、、三点共线,
.
,,,
,
.
【点睛】
本题考查旋转中的三角形全等,读懂材料并运用所学的全等知识是本题关键.
5、
【分析】
连接OA,根据⊙O的半径为10,OM:MC=3:2可求出OM的长,由勾股定理求出AM的长,再由垂径定理求出AB的长即可.
【详解】
解:如图,连接OA.
∵OM:MC=3:2,OC=10,
∴OM==6.
∵OC⊥AB,
∴∠OMA=90°,AB=2AM.
在Rt△AOM中,AO=10,OM=6,
∴AM=8.
∴AB=2AM =16.
【点睛】
本题考查的是垂径定理、勾股定理,掌握垂径定理的推论是解题的关键.
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