沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试课后作业题

沪科版九年级数学下册第24章圆专题训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列图形中，既是中心对称图形又是抽对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

2、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（　　）

A．10 B．2 C．2 D．4

3、如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（    ）

A． B． C． D．

4、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P． A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（   ）

A．20 m B．20m

C．（20 - 20）m D．（40 - 20）m

5、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A．  B．

C． D．

6、如图，是△ABC的外接圆，已知，则的大小为（      ）

A．55° B．60° C．65° D．75°

7、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（    ）

A．22.5° B．45° C．90° D．67.5°

8、如图，AB是的直径，的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P，于点E，，，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

9、下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

10、已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在平面直角坐标系中，点N是直线上动点，M是上动点，若点C的坐标为，且与y轴相切，则长度的最小值为____________．

2、如图，在中，，，．绕点B顺时针方向旋转45°得到，点A经过的路径为弧，点C经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）

3、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则的长为__．

4、圆锥的母线长为，底面圆半径为r，则全面积为______．

5、点（2，-3）关于原点的对称点的坐标为_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图1，点O为直线AB上一点，将两个含60°角的三角板MON和三角板OPQ如图摆放，使三角板的一条直角边OM、OP在直线AB上，其中．

（1）将图1中的三角板OPQ绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边OP在的内部且平分，此时三角板OPQ旋转的角度为______度；

（2）三角板OPQ在绕点O按逆时针方向旋转时，若OP在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）如图3，将图1中的三角板MON绕点O以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板OPQ绕点O以每秒3°的速度按逆时针方向旋转，将射线OB绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线OB记为OE，射线OC平分，射线OD平分，当射线OC、OD重合时，射线OE改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在OC与OD第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值．

2、如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，求正方形ABCD的边长和边心距．

3、定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．

已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．

（1）求弦AC的长．

（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．

（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．

4、阅读下列材料，完成相应任务：如图①，是⊙O的内接三角形，是⊙O的直径，平分交⊙O于点，连接，过点作⊙O的切线，交的延长线于点．则．下面是证明的部分过程：

证明：如图②，连接，

是⊙O的直径，，

①________．（1）

为⊙O的切线，，

，（2）

由（1）（2）得，②________________．

平分．

，

③________，

．

任务：

（1）请按照上面的证明思路，补全证明过程：①________，②________，③________；

（2）若，求的长．

5、如图，在中，，，D是边BC上一点，作射线AD，满足，在射线AD取一点E，且．将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到线段AF，连接BE，FE，连接FC并延长交BE于点G．

（1）依题意补全图形；

（2）求的度数；

（3）连接GA，用等式表示线段GA，GB，GC之间的数量关系，并证明．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【详解】

解：．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，解题的关键是判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2、D

【分析】

首先运用勾股定理求出AC的长度，然后结合旋转的性质得到AB= AB'，BC= B'C'，从而求出B'C，即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解．

【详解】

解：∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，

∴，

由旋转性质可知，AB= AB'=6，BC= B'C'=8，

∴B'C=10-6=4，

在Rt△B'C'C中，，

故选：D．

【点睛】

本题考查勾股定理，以及旋转的性质，掌握旋转变化的基本性质，熟练运用勾股定理求解是解题关键．

3、D

【分析】

连接CD，由直角三角形斜边中线定理可得CD=BD，然后可得△CDB是等边三角形，则有BD=BC=5cm，进而根据勾股定理可求解．

【详解】

解：连接CD，如图所示：

∵点D是AB的中点，，，

∴，

∵，

∴，

在Rt△ACB中，由勾股定理可得；

故选D．

【点睛】

本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．

4、D

【分析】

根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．

【详解】

∵人工湖面积尽量小，

∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，

过点B作BC ⊥，垂足为C，

∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，

∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，

∴OC=CB=CP=20，

∴OP=40，OB==，

∴最小的距离PE=PO-OE=40 - 20（m），

故选D．

【点睛】

本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．

5、B

【分析】

根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析

【详解】

解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；

C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

故选B

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．

6、C

【分析】

由OA=OB，，求出∠AOB=130°，根据圆周角定理求出的度数．

【详解】

解：∵OA=OB，，

∴∠BAO=．

∴∠AOB=130°．

∴=∠AOB=65°．

故选：C．

【点睛】

此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．

7、B

【分析】

根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．

8、B

【分析】

由垂径定理可知，AE=CE，则阴影部分的面积等于扇形AOD的面积，求出，然后利用扇形面积公式，即可求出答案．

【详解】

解：根据题意，如图：

∵AB是的直径，OD是半径，，

∴AE=CE，

∴阴影CED的面积等于AED的面积，

∴，

∵，，

∴，

∴；

故选：B

【点睛】

本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算．

9、C

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

10、B

【分析】

圆的半径为 圆心O到直线l的距离为 当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相交，根据原理直接作答即可.

【详解】

解： ⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，

  ⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离，

直线l与⊙O的位置关系为相切，

故选B

【点睛】

本题考查的是直线与圆的位置关系的判定，掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.

二、填空题

1、-2

【分析】

由图可知，当CN⊥AB且C、M、N三点共线时，长度最小，利用勾股定理求出CN的长，故可求解．

【详解】

由图可知，当CN⊥AB且C、M、N三点共线时，长度最小

∵直线AB的解析式为

当x=0时，y=5，当y=0时，x=5

∴B（0，5），A（5，0）

∴AO=BO，△AOB是等腰直角三角形

∴∠BAO=90°

当CN⊥AB时，则△ACN是等腰直角三角形

∴CN=AN

∵C

∴AC=7

∵AC2=CN2+AN2=2CN2

∴CN=

当 C、M、N三点共线时，长度最小

即MN=CN-CM=-2

故答案为：-2．

【点睛】

此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意找到符合题意的位置，利用等腰直角三角形的性质求解．

2、##

【分析】

设与AC相交于点D，过点D作，垂足为点E，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，根据三边关系可得，根据题意及等角对等边得出，在中，利用正弦函数可得，结合图形，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可得．

【详解】

解：设与AC相交于点D，过点D作，垂足为点E，

∵，，，

∴，

∴为直角三角形，

∴，

∵绕点B顺时针方向旋转45°得到，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

∴，

，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查勾股定理逆定理，旋转的性质，等角对等边的性质，正切函数，扇形面积等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．

3、##

【分析】

连接OA、OC，先求出∠ABC的度数，然后得到∠AOC，再由弧长公式即可求出答案．

【详解】

解：连接OA、OC，如图，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°，

∴，

∴，

∴；

故答案为：．

【点睛】

本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式．

4、

【分析】

根据圆锥的展开图为扇形，结合弧长公式、圆周长的求解公式、面积的求解公式，圆锥侧面积的求解公式可得出答案．

【详解】

解：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，

故可得，这个扇形的半径为，扇形的弧长为，

圆锥的侧面积为；

圆锥的全面积为圆锥的底面积侧面积：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．

5、 (-2，3)

【分析】

根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解．

【详解】

点(2，-3)关于原点的对称点的坐标是(-2，3)．

故答案为: （-2，3）．

【点睛】

本题主要考查点关于原点对称，解决本题的关键是要熟练掌握关于原点对称点的坐标的关系．

三、解答题

1、

（1）135°

（2）∠MOP-∠NOQ=30°，理由见解析

（3）s或s．

【分析】

（1）先根据OP平分得到∠PON，然后求出∠BOP即可；

（2）先根据题意可得∠MOP=90°-∠POQ, ∠NOQ=60°-∠POQ,然后作差即可；

（3）先求出旋转前OC、OD的夹角，然后再求出OC与OD第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在OC与OD第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分OE在OC的左侧和OE在OC的右侧两种情况解答即可．

（1）

解：∵OP平分∠MON

∴∠PON=∠MON=45°

∴三角板OPQ旋转的角：∠BOP=∠PON+∠NOB=135°．

故答案是135°

（2）

解：∠MOP-∠NOQ=30°，理由如下：

∵∠MON=90°，∠POQ=60°

∴∠MOP=90°-∠POQ, ∠NOQ=60°-∠POQ,

∴∠MOP-∠NOQ=90°-∠POQ -（60°-∠POQ）=30°．

（3）

解：∵射线OC平分，射线OD平分

∴∠NOC=45°，∠POD=30°

∴选择前OC与OD的夹角为∠COD=∠NOC+∠NOP+∠POD=165°

∴OC与OD第一次相遇的时间为165°÷（2°+3°）=33秒，此时OB旋转的角度为33×5°=165°

∴此时OC与OE的夹角165-（180-45-2×33）=96°

OC与OD第二次相遇需要时间360°÷（3°+2°）=72秒

设在OC与OD第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t

①当OE在OC的左侧时，有（5°-2°）t=96°-13°，解得：t=s

②当OE在OC的右侧时，有（5°-2°）t=96°+13°，解得：t=s

然后，①②都是每隔360÷（5°-2°）=120秒，出现一次这种现象

∵C、D第二次相遇需要时间72秒

∴在OC与OD第二次相遇前，当时，、旋转时间t的值为s或s．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．

2、边长为，边心距为

【分析】

过点O作OE⊥BC，垂足为E，利用圆内接四边形的性质求出∠BOC=90°，∠OBC=45°，然后在Rt△OBE中，根据勾股定理求出OE、BE即可．

【详解】

解：过点O作OE⊥BC，垂足为E，

∵正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，

∴∠BOC==90°，∠OBC=45°，OB=OC=6，   

∴BE=OE．                                  

在Rt△OBE中，∠BEO=90°，由勾股定理可得

∵OE2+BE2=OB2,

∴OE2+BE2=36,

∴OE= BE=，          

 ∴BC=2BE=，

 即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形每个中心角都等于．

3、

（1）8

（2）

（3）或．

【分析】

（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝CH＝AC，由锐角三角函数和勾股定理可求解；

（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；

（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．

（1）

如图2，过点O作OH⊥AC于点H，

由垂径定理得：AH＝CH＝AC，

在Rt△OAH中，，

∴设OH＝3x，AH＝4x，

∵OH2+AH2＝OA2，

∴（3x）2+（4x）2＝52，

解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），

∴OH＝3，AH＝4，

∴AC＝2AH＝8；

（2）

如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，

∵∠DEO＝∠AEC，

∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；

，

∴∠ACD≠∠DOE

∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，

∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，

∴OD∥AC，

∴，

∵OD＝OA＝5，AC＝8，

∴，

∴，

∵∠AGE＝∠AHO＝90°，

∴GE∥OH，

∴△AEG∽△AOH，

∴，

∴，

∴，

∴，，

在Rt△CEG中，；

（3）

当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，

由（1）可得 OH＝3，AH＝4，AC＝8，

∵OE＝1，

∴AE＝4，ME＝6，

∵EG∥OH，

∴△AEG∽△AOH，

∴，

∴AG＝，EG＝，

∴GC＝，

∴EC＝＝＝，

∵AM是直径，

∴∠ADM＝90°＝∠EGC，

又∵∠M＝∠C， 

∴△EGC∽△ADM，

∴，

∴，

∴AD＝2；

当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E作EG⊥AC于G，

同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，

∴EC＝＝＝，

∵AM是直径，

∴∠ADM＝90°＝∠EGC，

又∵∠M＝∠C，

∴△EGC∽△ADM， 

∴，

∴，

∴AD＝，

综上所述：AD的长是或

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正切的作出辅助线是解题的关键．

4、（1），，；（2）

【分析】

（1）由是⊙O的直径，得到∠ODB．再由为⊙O的切线，得到，即可推出∠ODA=∠BDE，由角平分线的定义可得，由，得到，即可证明；

（2）在直角△ODE中利用勾股定理求解即可．

【详解】

解：（1）如图②，连接，

是⊙O的直径，

，

∠ODB．（1）

为⊙O的切线，

，

，（2）

由（1）（2）得，∠ODA=∠BDE．

平分，

∴．

，

∠ODA，

．

故答案为：① ，② ，③ ；

（2）为的切线，

．

，

，

，

．

在中，

．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握切线的性质．

5、

（1）见解析；

（2）

（3）

【分析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）根据旋转的性质可得，，进而证明，可得，根据角度的转换可得，进而根据三角形的外角性质即可证明；

（3）过点作，证明，进而根据勾股定理以及线段的转换即可得到

（1）

如图，

（2）

将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到线段AF，

,

,

又

即

（3）

证明如下，如图，过点作，

又,

又

，

即

【点睛】

本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．