沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步测试题

沪科版九年级数学下册第24章圆课时练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（    ）

A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm

2、从图形运动的角度研究抛物线, 有利于我们认识新的拋物线的特征. 如果将拋物线绕着原点旋转180°，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列法正确的是（   ）

A．它们的开口方向相同 B．它们的对称轴相同

C．它们的变化情況相同 D．它们的顶点坐标相同

3、如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数是（      ）．

A．90° B．100° C．120° D．150°

4、如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ）

A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断

5、下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

6、如图，点A、B、C在上，，则的度数是（    ）

A．100° B．50° C．40° D．25°

7、如图，在中，，，，将绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

8、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（   ）

A．  B． 

C．  D．

9、点P(3，﹣2)关于原点O的对称点的坐标是（　　）

A．(3，﹣2) B．(﹣3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(2，3)

10、已知⊙O的半径为4，点P 在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（     ）

A．OP>4 B．0≤OP<4 C．OP>2 D．0≤OP<2

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，正方形ABCD是边长为2，点E、F是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为_______．

2、如图，在⊙O中，A，B，C是⊙O上三点，如果∠AOB=70º，那么∠C的度数为_______．

3、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为________．

4、如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上异于A，B的一点，连接AC，BC．若∠P＝58°，则∠ACB的大小是___________．

5、如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE=110°，∠B=40°，则∠C的度数为________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，已知弓形的长，弓高，（，并经过圆心O）．

（1）请利用尺规作图的方法找到圆心O；

（2）求弓形所在的半径的长．

2、如图，在等边中，D为BC边上一点，连接AD，将沿AD翻折得到，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的大小；

（3）猜想CF，BF，AF之间的数量关系，并证明．

3、如图，，，点D是上一点，与相交于点F，且．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若点D是中点，连接，求证：平分．

4、如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，求正方形ABCD的边长和边心距．

5、如图1，BC是⊙O的直径，点A，P在⊙O上，且分别位于BC的两侧（点A、P均不与点B、C重合），过点A 作AQ⊥AP，交PC 的延长线于点Q，AQ交⊙O于点D，已知AB＝3，AC＝4．

（1）求证：△APQ∽△ABC．

（2）如图2，当点C为的中点时，求AP的长．

（3）连结AO，OD，当∠PAC与△AOD的一个内角相等时，求所有满足条件的AP的长．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．

【详解】

解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：

则，

的直径为，

，

在中，，

，

即水的最大深度为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

2、B

【分析】

根据旋转的性质及抛物线的性质即可确定答案．

【详解】

抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，2)，将此抛物线绕原点旋转180°后所得新抛物线的开口向下，对称轴仍为y轴，顶点坐标为(0，－2)，所以在四个选项中，只有B选项符合题意．

故选：B

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质等知识，掌握这两方面的知识是关键．

3、D

【分析】

将绕点逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，则为等边三角形，得到，，在中，，，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数．

【详解】

解：为等边三角形，

，

可将绕点逆时针旋转得，

如图，连接，

，，，

为等边三角形，

，，

在中，，，，

，

为直角三角形，且，

．

故选：D．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、等边三角形，解题的关键是掌握旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．

4、B

【分析】

根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．

【详解】

解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．

故选：B．

【点睛】

本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．

5、D

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

6、C

【分析】

先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．

【详解】

∵∠ACB=50°，

∴∠AOB=100°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA= 40°，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

7、C

【分析】

过点A作AC⊥x轴于点C，设 ，则 ，根据勾股定理，可得，从而得到 ，进而得到∴ ，可得到点 ，再根据旋转的性质，即可求解．

【详解】

解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，

设 ，则 ，

∵ ，，

∴，

∵， ，

∴ ，

解得： ，

∴ ，

∴ ，

∴点 ，

∴将绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是，

∴将绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是．

故选：C

【点睛】

本题考查坐标与图形变化一旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是求出点A的坐标，属于中考常考题型．

8、C

【分析】

利用中心对称图形的定义：旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故A错误．

B、不是中心对称图形，故B错误．

C、是中心对称图形，故C正确．

D、不是中心对称图形，故D错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．

9、B

【分析】

根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．

【详解】

解：点P（3，﹣2）关于原点O的对称点P'的坐标是（﹣3，2）．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．

10、A

【分析】

点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答．

【详解】

解：∵⊙O的半径为4，点P 在⊙O外部，

∴OP需要满足的条件是OP>4，

故选：A．

【点睛】

此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键．

二、填空题

1、##

【分析】

延长AG交CD于M，如图1，可证△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．

【详解】

解：延长AG交CD于M，如图1，

∵ABCD是正方形，

∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC，

∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG，

∴△ADG≌△DGC，

∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC，

∴△ADM≌△CDF，

∴FD=DM且AE=DF，

∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°，

∴△ABE≌△DAM，

∴∠DAM=∠ABE，

∵∠DAM+∠BAM=90°，

∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°，

∴点H是以AB为直径的圆上一点．

如图2，取AB中点O，连接OD，OH，

∵AB=AD=2，O是AB中点，

∴AO=1=OH，

在Rt△AOD中，OD=，

∵DH≥OD-OH，

∴DH≥-1，

∴DH的最小值为-1，

故答案为：-1．

【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以AB为直径的圆上一点．

2、35°

【分析】

利用圆周角定理求出所求角度数即可．

【详解】

解：与都对，且，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．

3、4

【分析】

由周长公式可得⊙O半径为4，再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF中心角为，即可知正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF边长．

【详解】

∵⊙O的周长为8π

∴⊙O半径为4

∵正六边形ABCDEF内接于⊙O

∴正六边形ABCDEF中心角为

∴正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的

∴正六边形ABCDEF边长为4.

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了正多边形的中心角公式，正n边形的每个中心角都等于，由中心角为得出正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键．

4、或

【分析】

如图，连接利用切线的性质结合四边形的内角和定理求解再分两种情况讨论，结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.

【详解】

解：如图，连接 （即）分别在优弧与劣弧上，

PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，

故答案为：或

【点睛】

本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，四边形的内角和定理的应用，求解是解本题的关键.

5、

【分析】

先根据旋转的性质求得，再运用三角形内角和定理求解即可．

【详解】

解：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∠DAE=110°

，

，

．

故答案是：30°．

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．

三、解答题

1、

（1）见解析

（2）10

【分析】

（1）作BC的垂直平分线，与直线CD的交点即为圆心；

（2）连接OA，根据勾股定理列出方程即可求解．

（1）

解：如图所示，点O即是圆心；

（2）

解：连接OA，

∵，并经过圆心O，，

∴，

∵，

∴

解得，，

答：半径为10．

【点睛】

本题考查了垂径定理和确定圆心，解题关键是熟练作图确定圆心，利用垂径定理和勾股定理求半径．

2、（1）20°；（2）；（3）AF= CF+BF，理由见解析

【分析】

（1）由△ABC是等边三角形，得到AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，则∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，，∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；

（2）同（1）求解即可；

（3）如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG，先证明△AEF≌△ACF得到∠AFE=∠AFC，然后证明∠AFE=∠AFC=60°，得到∠BFC=120°，即可证明F、C、G三点共线，得到△AFG是等边三角形，则AF=GF=CF+CG=CF+BF．

【详解】

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，

由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，

∴∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，

∴，

∴∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°，

由折叠的性质可知，，AC=AE，

∴ ，AB=AE，

∴，

∴；

（3）AF= CF+BF，理由如下：

如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG，

∴AF=AG，∠FAG=60°，∠ACG=∠ABF，BF=CG

在△AEF和△ACF中，

，

∴△AEF≌△ACF（SAS），

∴∠AFE=∠AFC，

∵∠CBF+∠BCF+∠BFD+∠CFD=180°，∠CAF+∠CFA+∠ACD+∠CFD=180°，

∴∠BFD=∠ACD=60°，

∴∠AFE=∠AFC=60°，

∴∠BFC=120°，

∴∠BAC+∠BFC=180°，

∴∠ABF+∠ACF=180°，

∴∠ACG+∠ACF=180°，

∴F、C、G三点共线，

∴△AFG是等边三角形，

∴AF=GF=CF+CG=CF+BF．

【点睛】

本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．

3、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【分析】

（1）在和中，，，故可证明三角形相似．

（2）由得出．

（3）法一：由题意知，由得，有，所以可得，又因为可得，；由于，，进而说明，得出平分．法二：通过得出F、D、C、E四点共圆，由得，从而得出平分．

【详解】

解：（1）证明在和中

．

（2）证明：在和中

．

（3）证明：

又D是中点

，

平分．

法二：

F、D、C、E四点共圆

又D是点，

平分．

【点睛】

本题考察了相似三角形的判定，全等三角形，角平分线，圆内接四边形等知识点．解题的关键与难点在于角度的转化．解题技巧：多个角度相等时可考虑将几何图形放入圆中利用同弧或等弧所对圆周角相等求解．

4、边长为，边心距为

【分析】

过点O作OE⊥BC，垂足为E，利用圆内接四边形的性质求出∠BOC=90°，∠OBC=45°，然后在Rt△OBE中，根据勾股定理求出OE、BE即可．

【详解】

解：过点O作OE⊥BC，垂足为E，

∵正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，

∴∠BOC==90°，∠OBC=45°，OB=OC=6，   

∴BE=OE．                                  

在Rt△OBE中，∠BEO=90°，由勾股定理可得

∵OE2+BE2=OB2,

∴OE2+BE2=36,

∴OE= BE=，          

 ∴BC=2BE=，

 即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形每个中心角都等于．

5、（1）见解析；（2）（3）当，时，；当时，．

【分析】

（1）通过证，，即可得；

（2）先证是等腰直角三角形，求，通过，得，求CQ长，即可求PQ得长，通过，即可得，即可求AP．

（3）分类讨论， ，，，三种情况讨论，再通过勾股定理和相似即可求解．

【详解】

证明：（1）∵AQ⊥AP

∴

∵BC是⊙O的直径

∴

∴

∵

∴

（2）如图，连接CD，PD

∵BC是⊙O的直径

∴

∵AB＝3，AC＝4

∴利用勾股定理得：,即直径为5

∵

∴

∴DP是⊙O的直径，且DP=BC=5

∵点C为的中点

∴CD=PC

∵

∴

∴是等腰直角三角形

∴利用勾股定理得：,则

∵，

∴

∵

∴

∴，即：

∴

∴

∵

∴，即：

∴

（3）连接AO,OD，OP，CD，OD交AC于点M

∵（已证）

∴OD,OP共线，为⊙O的直径

情况一：当时

∵，

∴

∴AP=PC

∵

∴

∴

∴即

∵AP=PC

∴

∴在中，

∴

∴在中，

情况二：当时，

∵

∴

∴

同情况一：

情况三：当时

∵，

∴

∴，

∵OA=OD

∴

∴

∴

综上所述，当，时，；当时，．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，是圆的综合题。解答此题的关键是，通过圆的性质，找到角与角、边与边之间的关系．