2021学年第24章 圆综合与测试同步达标检测题

沪科版九年级数学下册第24章圆综合训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，AB是的直径，弦CD交AB于点P，，，，则CD的长为（    ）

A． B． C． D．8

2、如图，在Rt中，．以点为圆心，长为半径的圆交于点，则的长是（    ）

A．1 B． C． D．2

3、如图，为的直径，为外一点，过作的切线，切点为，连接交于，，点在右侧的半圆周上运动（不与，重合），则的大小是（    ）

A．19° B．38° C．52° D．76°

4、如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

5、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P． A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（   ）

A．20 m B．20m

C．（20 - 20）m D．（40 - 20）m

6、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

7、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（　　）

A．10 B．2 C．2 D．4

8、如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数是（      ）．

A．90° B．100° C．120° D．150°

9、下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

10、如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ）

A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是______．

2、如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．

3、如图，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点， 图中与∠ADE相等的角是 _________ ．

4、如图，在中，，是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为_______．

5、如图，与x轴交于、两点，，点P是y轴上的一个动点，PD切于点D，则△ABD的面积的最大值是________；线段PD的最小值是________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．

（1）求证：AC为⊙O的切线；

（2）若⊙O半径为2，OD＝4．求线段AD的长．

2、如图，和中，，，，连接，点M，N，P分别是的中点．

（1）请你判断的形状，并证明你的结论．

（2）将绕点A旋转，若，请直接写出周长的最大值与最小值．

3、在中，，，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为线段DC上一动点（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G．

（1）如图，当点E在线段CD上时，

①依题意补全图形，并直接写出BC与CF的位置关系；

②求证：点G为BF的中点．

（2）直接写出AE，BE，AG之间的数量关系．

4、正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分．

（1）请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；

（2）把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P．

5、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．

（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标：　     ；

（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；

（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

过点作于点，连接，根据已知条件即可求得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理即可求得的长．

【详解】

解：如图，过点作于点，连接，

AB是的直径，，，

，

在中，

故选A

【点睛】

本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．

2、B

【分析】

利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用，求出BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．

【详解】

解： 在Rt中，，

∴BC=3，，

连接CD，过点C作CE⊥AB于E，

∵，

∴，

解得，

∵CB=CD，CE⊥AB，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．

3、B

【分析】

连接 由为的直径，求解 结合为的切线，求解 再利用圆周角定理可得答案.

【详解】

解：连接 为的直径，

为的切线，

故选B

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.

4、C

【分析】

如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得结论．

【详解】

解：如图，过点C作 CT⊥AB 于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，

由题意可得AB垂直平分线段OK，

∴AO=AK，OH=HK=3，

∵OA=OK，

∴OA=OK=AK，

∴∠OAK=∠AOK=60°，

∴AH=OA×sin60°=6×=3，

∵OH⊥AB，

∴AH=BH，

∴AB=2AH=6，

∵OC+OH⩾CT，

∴CT⩽6+3=9，

∴CT的最大值为9，

∴△ABC的面积的最大值为=27，

故选：C.

【点睛】

本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT的最大值，属于中考常考题型．

5、D

【分析】

根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．

【详解】

∵人工湖面积尽量小，

∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，

过点B作BC ⊥，垂足为C，

∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，

∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，

∴OC=CB=CP=20，

∴OP=40，OB==，

∴最小的距离PE=PO-OE=40 - 20（m），

故选D．

【点睛】

本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．

6、B

【分析】

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．

【详解】

A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．是中心对称图形，故本选项符合题意；

C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

7、D

【分析】

首先运用勾股定理求出AC的长度，然后结合旋转的性质得到AB= AB'，BC= B'C'，从而求出B'C，即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解．

【详解】

解：∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，

∴，

由旋转性质可知，AB= AB'=6，BC= B'C'=8，

∴B'C=10-6=4，

在Rt△B'C'C中，，

故选：D．

【点睛】

本题考查勾股定理，以及旋转的性质，掌握旋转变化的基本性质，熟练运用勾股定理求解是解题关键．

8、D

【分析】

将绕点逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，则为等边三角形，得到，，在中，，，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数．

【详解】

解：为等边三角形，

，

可将绕点逆时针旋转得，

如图，连接，

，，，

为等边三角形，

，，

在中，，，，

，

为直角三角形，且，

．

故选：D．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、等边三角形，解题的关键是掌握旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．

9、C

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

10、B

【分析】

根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．

【详解】

解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．

故选：B．

【点睛】

本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．

二、填空题

1、在⊙A上

【分析】

先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．

【详解】

解：∵点A的坐标为（4，3），

∴OA==5，

∵半径为5，

∴OA=r，

∴点O在⊙A上．

故答案为：在⊙A上．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r．

2、       

【分析】

过O作OC垂直于弦AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，然后由OA=OB，且∠AOB为直角，得到三角形OAB为等腰直角三角形，由斜边AB的长，利用勾股定理求出直角边OA的长即可；再由C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，在直角三角形OAC中，由OA及AC的长，利用勾股定理即可求出OC的长，即为O点到AB的距离．

【详解】

解：过O作OC⊥AB，则有C为AB的中点，

∵OA=OB，∠AOB=90°，AB=a，

∴根据勾股定理得： OA2+OB2=AB，

∴OA=，

在Rt△AOC中，OA=，AC=AB=，

根据勾股定理得：OC==．

故答案为：；

【点睛】

此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，在圆中遇到弦，常常过圆心作弦的垂线，根据近垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．

3、∠ABC

【分析】

根据圆内接四边形的性质可得，再由题意可得，由等式的性质即可得出结果．

【详解】

解：∵四边形ABCD内接于圆，

∴，

∵E为CD延长线上一点，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键．

4、2

【分析】

取AC中点O，由勾股定理的逆定理可知∠ADC=90°，则点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为，由此求解即可．

【详解】

解：如图所示，取AC中点O，

∵，即，

∴∠ADC=90°，

∴点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，

作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为，

∵，，∠ACB=90°，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：2．

【点睛】

本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D的运动轨迹．

5、       

【分析】

根据题中点的坐标可得圆的直径，半径为1，分析以AB定长为底，点D在圆上，高最大为圆的半径，即可得出三角形最大的面积；连接AP，设点，根据切线的性质及勾股定理可得，由其非负性即可得．

【详解】

解：如图所示：当点P到如图位置时，的面积最大，

∵、，

∴圆的直径，半径为1，

∴以AB定长为底，点D在圆上，高最大为圆的半径，如图所示：

此时面积的最大值为：；

如图所示：连接AP，

∵PD切于点D，

∴，

∴，

设点，

在中，，，

∴，

在中，，

∴，

则，

当时，PD取得最小值，

最小值为，

故答案为：①；②．

【点睛】

题目主要考查切线的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形求出解析式是解题关键．

三、解答题

1、（1）见解析；（2）4

【分析】

（1）连接OB，证明△AOB≌△AOC（SSS），可得∠ACO＝∠ABO＝90°，即可证明AC为⊙O的切线；

（2）在Rt△BOD中，勾股定理求得BD，根据sinD＝＝，代入数值即可求得答案

【详解】

解：（1）连接OB，

∵AB是⊙O的切线，

∴OB⊥AB，

即∠ABO＝90°，

∵BC是弦，OA⊥BC，

∴CE＝BE，

∴AC＝AB，

在△AOB和△AOC中，

，

∴△AOB≌△AOC（SSS），

∴∠ACO＝∠ABO＝90°，

即AC⊥OC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）在Rt△BOD中，由勾股定理得，

BD＝＝2，

∵sinD＝＝，⊙O半径为2，OD＝4．

∴＝，

解得AC＝2，

∴AD＝BD+AB＝4．

【点睛】

本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．

2、

（1）是等腰直角三角形，证明见解析

（2）周长最小值为。最大值为

【分析】

（1）连接BD，CE，根据SAS证明得BD=CE，根据三角形中位线性质可证明PM=PN；，进而可得结论；

（2）当BD最小时即点D在AB上，此时周长最小，当点D在BA的延长线上时，BD最大，此时周长最大，均为，求出BD的长即可解决问题．

（1）

连接BD，CE，如图，

∵，，，

∴

∴

∴

∴BD=CE，

∵点M，N，P分别是的中点

∴//，，PN//BD，PN=BD

∴PM=PN，

∵PN//BD

∴∠PNC=∠DBC

∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECA+∠ACD+∠PCN+∠PNC=∠ACB+∠DBC+∠ABD=∠ACB+∠ABC=90°

∴

∴是等腰直角三角形；

（2）

由（1）知，是等腰直角三角形

∴

∴的周长为

∵

∴的周长为

当BD最小时即点D在AB上，此时周长最小，

∵AB=8，AD=3

∴BD的最小值为AB-AD=8-3=5

∴周长最小为

当点D在BA的延长线上时，BD最大，此时周长最大，

∴BD=AB+AD=8+3=11

∴周长最大为

【点睛】

此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理的应用等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．

3、（1）①BC⊥CF；证明见详解；②见详解;（2）2AE2=4AG2+BE2．证明见详解．

【分析】

（1）①如图所示，BC⊥CF．根据将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，得出AE=AF，∠EAF=90°，可证△BAE≌△CAF（SAS），得出∠ABE=∠ACF=45°，可得∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°即可；

②根据AD⊥BC，BC⊥CF．可得AD∥CF，可证△BDG∽△BCF，可得，得出即可；

（2）2AE2=4AG2+BE2，延长BA交CF延长线于H，根据等腰三角形性质可得AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠CAD=，可证△BAG∽△BHF，得出HF=2AG，再证△AEC≌△AFH（AAS），得出EC=FH=2AG，利用勾股定理得出，即即可．

【详解】

解：（1）①如图所示，BC⊥CF．

∵将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，

∴AE=AF，∠EAF=90°，

∴∠EAC+∠CAF=90°，

∵，，

∴∠BAE+∠EAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠BAE=∠CAF，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF（SAS），

∴∠ABE=∠ACF=45°，

∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，

∴BC⊥CF；

②∵AD⊥BC，BC⊥CF．

∴AD∥CF，

∴∠BDG=∠BCF=90°，∠BGD=∠BFC，

∴△BDG∽△BCF，

∴，

∵，AD⊥BC，

∴BD=DC=，

∴，

∴，

∴，

∴BG=GF;

（2）2AE2=4AG2+BE2．延长BA交CF延长线于H，

∵AD⊥BC，AB=AC，

∴AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD=，

∵BG=GF，AG∥HF，

∴∠BAG=∠H=45°，∠AGB=∠HFB，

∴△BAG∽△BHF，

∴，

∴HF=2AG，

∵∠ACE=45°，

∴∠ACE =∠H，

∵∠EAC+∠CAF=90°，∠CAF+∠FAH=90°，

∴∠EAC=∠FAH，

在△AEC和△AFH中，

，

∴△AEC≌△AFH（AAS），

∴EC=FH=2AG，

在Rt△AEF中，根据勾股定理，

在Rt△ECF中，即．

【点睛】

本题考查图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，掌握图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，勾股定理是解题关键．

4、

（1）见解析

（2）见解析

【分析】

（1）根据轴对称图形，中心对称图形的性质画出图形即可．

（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可．

（1）

解：图形如图①②所示．

（2）

解：图形如图③所示，点P即为所求作．

【点睛】

本题考查利用旋转变换设计图案，正方形的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

5、（1）（4，﹣1）；（2）见解析；（3）见解析．

【分析】

（1）根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；

（2）将三个点分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，继而首尾顺次连接即可；

（3）将三个点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可．

【详解】

（1）点B关于原点对称的点B′的坐标为（4，﹣1），

故答案为：（4，﹣1）；

（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．

【点睛】

本题主要考查作图—平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．