沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试当堂检测题

沪科版九年级数学下册第24章圆专项攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（    ）

A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm

2、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A．  B． 

C．  D．

4、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（    ）

A．50° B．60° C．40° D．30°

5、如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

6、下列判断正确的个数有（    ）

①直径是圆中最大的弦；

②长度相等的两条弧一定是等弧；

③半径相等的两个圆是等圆；

④弧分优弧和劣弧；

⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（    ）

A．直径所对圆周角为 B．如果点在圆上，那么点到圆心的距离等于半径

C．直径是最长的弦 D．垂直于弦的直径平分这条弦

8、下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

9、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（　　）

A．10 B．2 C．2 D．4

10、已知⊙O的半径为4，点P 在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（     ）

A．OP>4 B．0≤OP<4 C．OP>2 D．0≤OP<2

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在ABC中，∠C＝90°，AB=10，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于________．

2、数学兴趣活动课上，小方将等腰的底边BC与直线l重合，问：

（1）如图（1）已知，，点P在BC边所在的直线l上移动，小方发现AP的最小值是______；

（2）如图（2）在直角中，，，，点D是CB边上的动点，连接AD，将线段AD顺时针旋转60°，得到线段AP，连接CP，线段CP的最小值是______．

3、已知圆O的圆心到直线l的距离为2，且圆的半径是方程x2﹣5x+6＝0的根，则直线l与圆O的的位置关系是______．

4、一个五边形共有__________条对角线．

5、如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE=110°，∠B=40°，则∠C的度数为________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在BA的延长线上，连接BC，PC．若AB = 6，的长为π，BC = PC．求证：直线PC与⊙O相切．

2、已知：如图，A为上的一点．

求作：过点A且与相切的一条直线．

作法：①连接OA；

②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为B，作射线OB；

③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；

④作直线PA．

直线PA即为所求．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接BA．

由作法可知．

∴点A在以OP为直径的圆上．

∴（    ）（填推理的依据）．

∵OA是的半径，

∴直线PA与相切（    ）（填推理的依据）．

3、在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．（每个方格的边长均为1个单位长度）

（1）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标；

（2）画出绕点O逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标；

（3）写出经过怎样的旋转可直接得到．（请将20题（1）（2）小问的图都作在所给图中）

4、如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，．点在线段上，连接交于点．

（1）①比较与的大小，并证明；

②若，求证：；

（2）将图1中的绕点逆时针旋转，如图2．若是的中点，判断是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.

5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点．

（1）求证：．

（2）若，，求BD．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．

【详解】

解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：

则，

的直径为，

，

在中，，

，

即水的最大深度为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

2、A

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．

故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

3、C

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；

D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4、A

【分析】

根据旋转的性质求解再利用三角形的内角和定理求解再利用角的和差关系可得答案.

【详解】

解： 将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，

∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，

故选A

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.

5、D

【分析】

根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，然后证明△OCE≌△BDE，得到求出扇形COB面积，即可得出答案．

【详解】

解：设AB与CD交于点E，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，如图，

∴CE=CD=，∠CEO=∠DEB=90°，

∵∠CDB=30°，

∴∠COB=2∠CDB=60°，

∴∠OCE=30°，

∴，

∴，

又∵，即

∴，

在△OCE和△BDE中，

，

∴△OCE≌△BDE（AAS），

∴

∴阴影部分的面积S=S扇形COB=，

故选D．

【点睛】

本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．

6、B

【详解】

①直径是圆中最大的弦；故①正确，

②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确

③半径相等的两个圆是等圆；故③正确

④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确

⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．

综上所述，正确的有①③

故选B

【点睛】

本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．

7、A

【分析】

定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.

【详解】

A选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为，A选项符合要求；

B、C选项，根据圆的定义可以得到；

D选项，是垂径定理；

故选：A

【点睛】

本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.

8、C

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

9、D

【分析】

首先运用勾股定理求出AC的长度，然后结合旋转的性质得到AB= AB'，BC= B'C'，从而求出B'C，即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解．

【详解】

解：∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，

∴，

由旋转性质可知，AB= AB'=6，BC= B'C'=8，

∴B'C=10-6=4，

在Rt△B'C'C中，，

故选：D．

【点睛】

本题考查勾股定理，以及旋转的性质，掌握旋转变化的基本性质，熟练运用勾股定理求解是解题关键．

10、A

【分析】

点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答．

【详解】

解：∵⊙O的半径为4，点P 在⊙O外部，

∴OP需要满足的条件是OP>4，

故选：A．

【点睛】

此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键．

二、填空题

1、5

【分析】

直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．

【详解】

解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

即可知道点到点A，B，C的距离相等，

如下图：

，

，

故答案是：5．

【点睛】

本题考查了直角三角形的外接圆的外心，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．

2、10    5   

【分析】

（1）如图，作AH⊥BC于H．根据垂线段最短，求出AH即可解决问题．

（2）如图，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK，DK．由△PAC≌△DAK（SAS），推出PC＝DK，易知KD⊥BC时，KD的值最小，求出KD的最小值即可解决问题．

【详解】

解：如图作AH⊥BC于H，

∵AB＝AC＝20，，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

根据垂线段最短可知，当AP与AH重合时，PA的值最小，最小值为10．

∴AP的最小值是10；

（2）如图，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK，DK．

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴∠CAK＝60°，

∴∠PAD＝∠CAK，

∴∠PAC＝∠DAK，

∵PA＝DA，CA＝KA，

∴△PAC≌△DAK（SAS），

∴PC＝DK，

∵KD⊥BC时，KD的值最小，

∵ ，

是等边三角形，

∴ ，

∴PC的最小值为5．

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．

3、相切或相交

【详解】

首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．

【分析】

解：∵x2﹣5x+6＝0，

（x﹣2）（x﹣3）＝0，

解得：x1＝2，x2＝3，

∵圆的半径是方程x2﹣5x+6＝0的根，即圆的半径为2或3，

∴当半径为2时，直线l与圆O的的位置关系是相切，

当半径为3时，直线l与圆O的的位置关系是相交，

综上所述，直线l与圆O的的位置关系是相切或相交．

故答案为：相切或相交．

【点睛】

本题考查的是直线与圆的位置关系，因式分解法解一元二次方程，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆的半径大小关系完成判定．

4、5

【分析】

由n边形的对角线有： 条，再把代入计算即可得．

【详解】

解：边形共有条对角线，

五边形共有条对角线．

故答案为：5

【点睛】

本题考查的是多边形的对角线的条数，掌握n边形的对角线的条数是解题的关键．

5、

【分析】

先根据旋转的性质求得，再运用三角形内角和定理求解即可．

【详解】

解：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∠DAE=110°

，

，

．

故答案是：30°．

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．

三、解答题

1、见详解

【分析】

连接OC，由题意易得∠AOC=60°，则有∠B=∠OCB=30°，然后可得∠P=∠B=30°，进而可得∠OCP=90°，最后问题可求证．

【详解】

证明：连接OC，如图所示：

∵的长为π，AB=6，

∴OC=OA=3，，

∴，

∵OB=OC，

∴∠B=∠OCB=30°，

∵BC=PC，

∴∠P=∠B=30°，

∴∠POC+∠P=90°，即∠OCP=90°，

∵OC是圆O的半径，

∴直线PC与⊙O相切．

【点睛】

本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．

2、（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理

【分析】

（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可；

（2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．

【详解】

解：（1）补全图形如图所示，直线AP即为所求作；

（2）证明：连接BA，

由作法可知，

∴点A在以OP为直径的圆上，

∴（直径所对的圆周角是直角），

∵OA是的半径，

∴直线PA与相切（切线的判定定理），

故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．

【点睛】

本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．

3、

（1）见解析，；

（2）见解析，

（3）绕点O顺时针时针旋转

【分析】

（1）根据题意得：关于原点的对称点为 ，再顺次连接，即可求解；

（2）根据题意得：绕点O逆时针旋转后的对称点为 ，再顺次连接；

（3）根据题意得：绕点O顺时针时针旋转后可直接得到，即可求解．

（1）

解：根据题意得：关于原点的对应点为 ，画出图形如下图所示：

（2）

解：根据题意得：绕点O逆时针旋转后的对应点为 ，画出图形如下图所示：

（3）

解：根据题意得：绕点O顺时针时针旋转后可直接得到．

【点睛】

本题主要考查了图形的变换——画关于原点对称，绕原点旋转后图形，得到图形关于原点对称，绕原点旋转后对应点的坐标是解题的关键．

4、（1）①∠CAE=∠CBD，理由见解析；②证明见解析；（2）AE=2CF仍然成立，理由见解析

【分析】

（1）①只需要证明△CAE≌△CBD即可得到∠CAE=∠CBD；

②先证明∠CAH=∠BCF，然后推出∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，得到CF=DF，CF=BF，则BD=2CF，再由△CAE≌△CBD，即可得到AE=2BD=2CF；

（2）如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，只需要证明△ACE≌△BCG得到AE=BG，再由CF是△BDG的中位线，得到BG=2CF，即可证明AE=2CF．

【详解】

解：（1）①∠CAE=∠CBD，理由如下：

在△CAE和△    CBD中，

，

∴△CAE≌△CBD（SAS），

∴∠CAE=∠CBD；

②∵CF⊥AE，

∴∠AHC=∠ACB=90°，

∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠BCF=90°，

∴∠CAH=∠BCF，

∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD，

∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，

∴CF=DF，CF=BF，

∴BD=2CF，

又∵△CAE≌△CBD，

∴AE=2BD=2CF；

（2）AE=2CF仍然成立，理由如下：

如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，

由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG，

又∵CE=CD=CG，AC=BC，

∴△ACE≌△BCG（SAS），

∴AE=BG，

∵F是BD的中点，CD=CG，

∴CF是△BDG的中位线，

∴BG=2CF，

∴AE=2CF．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．

5、（1）见详解；（2）

【分析】

（1）由题意及垂径定理可知AC垂直平分BD，进而问题可求解；

（2）由题意易得，然后由（1）可知△ABD是等边三角形，进而问题可求解．

【详解】

（1）证明：∵AC是直径，点C是劣弧BD的中点，

∴AC垂直平分BD，

∴；

（2）解：∵，，

∴，

∵，

∴△ABD是等边三角形，

∵，

∴．

【点睛】

本题主要考查垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键．