初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试精练

这是一份初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试精练，共32页。试卷主要包含了点P关于原点O的对称点的坐标是，将一把直尺等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，AB是的直径，弦CD交AB于点P，，，，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．8
2、如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3、如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（ ）
A．B．
C．或D．（﹣2，0）或（﹣5，0）
4、若的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5、下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6、下列图形中，既是中心对称图形又是抽对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7、如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8、点P(3，﹣2)关于原点O的对称点的坐标是（ ）
A．(3，﹣2)B．(﹣3，2)C．(﹣3，﹣2)D．(2，3)
9、将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B，与直角三角板相切于点C，且，则光盘的直径是（ ）
A．6B．C．3D．
10、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A．36 cmB．27 cmC．24 cmD．15 cm
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝___________．
2、是的内接正六边形一边，点是优弧上的一点（点不与点，重合）且，与交于点，则的度数为_______．
3、如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次函数是（），那么这个一次函数的解析式为______．
4、如图，将半径为的圆形纸片沿一条弦折叠，折叠后弧的中点与圆心重叠，则弦的长度为________．
5、已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（与A、B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE、BE
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若BE=5，DE=13，求AB的长
2、已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转．
（1）当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△ABC旅转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数．
3、如图，和中，，，，连接，点M，N，P分别是的中点．
（1）请你判断的形状，并证明你的结论．
（2）将绕点A旋转，若，请直接写出周长的最大值与最小值．
4、在平面直角坐标系xOy中，旋转角满足，对图形M与图形N给出如下定义：将图形M绕原点逆时针旋转得到图形．P为图形上任意一点，Q为图形N上的任意一点，称PQ长度的最小值为图形M与图形N的“转后距”．已知点，点，点．
（1）当时，记线段OA为图形M．
①画出图形；
②若点C为图形N，则“转后距”为______；
③若线段AC为图形N，求“转后距”；
（2）已知点，点，记线段AB为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角，“转后距”大于1，直接写出t的取值范围．
5、如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作ECOA于点C，过点B作O的切线交CE的延长线于点D ．
（1）求证：DBDE；
（2）若AB12，BD5，求AC长．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
过点作于点，连接，根据已知条件即可求得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理即可求得的长．
【详解】
解：如图，过点作于点，连接，
AB是的直径，，，
，
在中，
故选A
【点睛】
本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．
2、D
【分析】
根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，然后证明△OCE≌△BDE，得到求出扇形COB面积，即可得出答案．
【详解】
解：设AB与CD交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，如图，
∴CE=CD=，∠CEO=∠DEB=90°，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∴∠OCE=30°，
∴，
∴，
又∵，即
∴，
在△OCE和△BDE中，
，
∴△OCE≌△BDE（AAS），
∴
∴阴影部分的面积S=S扇形COB=，
故选D．
【点睛】
本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．
3、C
【分析】
由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0．-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD=1，
∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴，
∴，
∴AP= ，
∴OP= 或OP= ，
∴P或P，
故选：C．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．
4、C
【分析】
先设半径为r，再根据弧长公式建立方程，解出r即可
【详解】
设半径为r，
则周长为2πr，
120°所对应的弧长为
解得r=3
故选C
【点睛】
本题考查弧长计算，牢记弧长公式是本题关键．
5、C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6、B
【详解】
解：．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，解题的关键是判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
7、A
【分析】
先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据线段的和差即可得．
【详解】
由旋转的性质得：，
，
是等边三角形，
，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
8、B
【分析】
根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【详解】
解：点P（3，﹣2）关于原点O的对称点P'的坐标是（﹣3，2）．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
9、D
【分析】
如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，由切线的性质可知∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，即可证明Rt△OCA≌Rt△OBA得到∠OAC=∠OAB，则，∠AOB=30°，推出OA=2AB=6，利用勾股定理求出，即可得到圆O的直径为．
【详解】
解：如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，
∵AC，AB都是圆O的切线，
∴∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，
又∵OA=OA，
∴Rt△OCA≌Rt△OBA（HL），
∴∠OAC=∠OAB，
∵∠DAC=60°，
∴，
∴∠AOB=30°，
∴OA=2AB=6，
∴，
∴圆O的直径为，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟知切线的性质是解题的关键．
10、C
【分析】
连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．
【详解】
解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：
则，
的直径为，
，
在中，，
，
即水的最大深度为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二、填空题
1、5
【分析】
设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=r-2，先由垂径定理得到AD=BD=AB=4，再由勾股定理得到42+（r-2）2=r2，然后解方程即可．
【详解】
解：设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=OC-CE=r-2，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AE=BE=AB=4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半径长为5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
2、90°
【分析】
先根据是的内接正六边形一边得，再根据圆周角性质得，再根据平行线的性质得,最后由三角形外角性质可得结论．
【详解】
解：∵是的内接正六边形一边
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为90°
【点睛】
本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键
3、
【分析】
由题意可知二次函数与坐标轴的三个交点坐标为（0，k），（1，0），（-k，0），将其代入抛物线（）即可得m、k的二元一次方程组，即可解出，故这个一次函数的解析式为．
【详解】
一次函数与y轴的交点为（0，k），与x轴的交点为（1，0）
绕O点逆时针旋转90°后，与x轴的交点为（-k，0）
即（0，k），（1，0），（-k，0）过抛物线（）
即
得
将代入有
整理得
解得k=3或k=-1（舍）
将k=3代入得
故方程组的解为
则一次函数的解析式为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，解二元一次方程组，结合旋转的性质以及图象得出抛物线与坐标轴的三个交点坐标是解题的关键．
4、
【分析】
连接OC交AB于点D，再连接OA．根据轴对称的性质确定，OD=CD；再根据垂径定理确定AD=BD；再根据勾股定理求出AD的长度，进而即可求出AB的长度．
【详解】
解：如下图所示，连接OC交AB于点D，再连接OA．
∵折叠后弧的中点与圆心重叠，
∴，OD=CD．
∴AD=BD．
∵圆形纸片的半径为10cm，
∴OA=OC=10cm．
∴OD=5cm．
∴cm．
∴BD=cm．
∴cm．
故答案为：．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．
5、在⊙A上
【分析】
先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．
【详解】
解：∵点A的坐标为（4，3），
∴OA==5，
∵半径为5，
∴OA=r，
∴点O在⊙A上．
故答案为：在⊙A上．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）17
【分析】
（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，由“SAS”可证△ACD≌△BCE；
（2）由∠ACB＝90°，AC＝BC，可得∠CAB＝∠CBA＝45°，再由△ACD≌△BCE，得到BE＝AD=5，∠CBE＝∠CAD＝45°，则∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，然后利用勾股定理求出BD的长即可得到答案．
【详解】
解：（1）证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵△ACD≌△BCE，
∴BE＝AD=5，∠CBE＝∠CAD＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴，
∴AB=AD+BD=17．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
2、
（1），证明见解析
（2）成立，证明见解析
（3）
【分析】
（1）设，先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，，都是等边三角形，从而可得，由此即可得出结论；
（2）在上截取，连接，先根据旋转的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得出结论；
（3）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据旋转角即可得．
（1）
解：，证明如下：
设，
在中，，
，
由旋转的性质得：，
，和都是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
；
（2）
解：成立，证明如下：
如图，在上截取，连接，
由旋转的性质得：，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
；
（3）
解：如图，当点三点在一条直线上时，
由旋转的性质得：，
，
在和中，，
，
，
则旋转角．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
3、
（1）是等腰直角三角形，证明见解析
（2）周长最小值为。最大值为
【分析】
（1）连接BD，CE，根据SAS证明得BD=CE，根据三角形中位线性质可证明PM=PN；，进而可得结论；
（2）当BD最小时即点D在AB上，此时周长最小，当点D在BA的延长线上时，BD最大，此时周长最大，均为，求出BD的长即可解决问题．
（1）
连接BD，CE，如图，
∵，，，
∴
∴
∴
∴BD=CE，
∵点M，N，P分别是的中点
∴//，，PN//BD，PN=BD
∴PM=PN，
∵PN//BD
∴∠PNC=∠DBC
∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECA+∠ACD+∠PCN+∠PNC=∠ACB+∠DBC+∠ABD=∠ACB+∠ABC=90°
∴
∴是等腰直角三角形；
（2）
由（1）知，是等腰直角三角形
∴
∴的周长为
∵
∴的周长为
当BD最小时即点D在AB上，此时周长最小，
∵AB=8，AD=3
∴BD的最小值为AB-AD=8-3=5
∴周长最小为
当点D在BA的延长线上时，BD最大，此时周长最大，
∴BD=AB+AD=8+3=11
∴周长最大为
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理的应用等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
4、（1）①OA′，图形见详解；②2；③ “转后距”为；（2）t的取值范围为t＜-5或0＜t＜2或．
【分析】
（1）①当时，记线段OA为图形M．图形M绕原点逆时针旋转90°得到图形即OA′．
②∵点C为图形N，求出OC=2最短距离；
③过点O作OF⊥AC于F，先证△OAC为等边三角形，OF⊥AC，根据勾股定理求出OF=即可；
（2）点，点，可求tan∠OPQ=，得出当点P在x轴负半轴时，∠OPQ=120°，当点P在x轴正半轴时，∠OPQ=60°，得出∠CAB=∠ABC=30°，分三种情况，当°，当点P在点B右边，PB=t-4，BD＞1，列不等式，解得，当点P在点B左边B′右边时，∠EPB=∠OPQ=60°，PB=2PE＞2×1即4-t＞2解得t＜2，当t=0时，OA′=2，A′Q=2-1=1，t＞0，当点P在B′左边，PB′＞1，OB′=OB=4，t＜-5即可．
【详解】
解：（1）①当时，记线段OA为图形M．图形M绕原点逆时针旋转90°得到图形即OA′；
②∵点C为图形N，OC=2为图形M与图形N的“转后距”，
∴“转后距”为2，
故答案为2；
③线段AC为图形N，
过点O作OF⊥AC于F，
根据勾股定理OA=，AC=，
∴OA=AC=OC=2，
∴△OAC为等边三角形，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF=1，
∴OF=，
∴“转后距”为；
（2）∵点，点，
∴tan∠OPQ=，
∴当点P在x轴负半轴时，∠OPQ=120°，当点P在x轴正半轴时，∠OPQ=60°，
∵CB=4-2=2=AC，∠ACO=60°，
∴∠CAB=∠ABC=30°，
分三种情况，
当°，当点P在点B右边，PB=t-4，BD＞1，
∴BPsin60＞1，
∴，
解得；
当点P在点B左边B′右边时，∠EPB=∠OPQ=60°，
∴∠OEB=180°-∠EPB-∠ABC=180°-60°-30°=90°，
∵PB=4-t，
∴PB=2PE＞2×1即4-t＞2，
解得t＜2，
当t=0时，点P与原点O重合，OA′=2，A′Q=2-1=1，
∴t＞0，
∴0＜t＜2；
当点P在B′左边，PB′＞1，OB′=OB=4，
∴t＜-5；
综合t的取值范围为t＜-5或0＜t＜2或．
【点睛】
本题考查图形新定义，仔细阅读，熟悉新定义要点，图形旋转性质，最短距离，锐角三角函数，锐角三角函数值求角度，等边三角形判定与性质，勾股定理，掌握图形新定义，仔细阅读，熟悉新定义要点，图形旋转性质，最短距离，锐角三角函数，锐角三角函数值求角度，等边三角形判定与性质，勾股定理是解题关键．
5、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；
（2）由已知条件得出sin∠DEF和sin∠AOE的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.
【详解】
（1）如图，
∵DC⊥OA，
∴∠1+∠3=90°，
∵BD为切线，
∴OB⊥BD，
∴∠2+∠5=90°，
∵OA=OB，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5，
在△DEB中，∠4=∠5，
∴DE=DB.
(2)如图，作DF⊥AB于F，
连接OE，∵DB=DE，
∴EF=BE=3，
在Rt△DEF中，EF=3，DE=BD=5，
∴DF=
∴sin∠DEF== ，
∵∠AOE,，
∴∠AOE=∠DEF，
∴在Rt△AOE中，sin∠AOE= ，
∵AE=6，
∴AO=.
【点睛】
本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.