初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试随堂练习题

沪科版九年级数学下册第24章圆同步练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（    ）

A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm

2、如图，ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将ABC绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是（    ）

A．50° B．70° C．110° D．120°

3、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（   ）

A．  B． 

C．  D．

4、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A．  B． 

C．  D．

5、如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（    ）

A．45° B．60° C．90° D．120°

6、在半径为6cm的圆中，的圆心角所对弧的弧长是（    ）

A．cm B．cm C．cm D．cm

7、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（    ）

A．22.5° B．45° C．90° D．67.5°

8、如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

9、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°

10、平面直角坐标系中点关于原点对称的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在ABC中，∠C＝90°，AB=10，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于________．

2、一个直角三角形的斜边长cm，两条直角边长的和是6cm，则这个直角三角形外接圆的半径为______cm，直角三角形的面积是________．

3、如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是______．

4、如图，在矩形中，，，F为中点，P是线段上一点，设，连结并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段，连结、，则在点P从点B向点C的运动过程中，有下面四个结论：①当时，；②点E到边的距离为m；③直线一定经过点；④的最小值为．其中结论正确的是______．（填序号即可）

5、如图，、分别与相切于A、B两点，若，则的度数为________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°．

（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；

（2）求证：PA＋PB＝PC．

2、如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3）,B（﹣3，5），C（﹣4，1）．

（1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；

（2）把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．

3、元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，OA经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C两点，点B的坐标为，点D在上，且，求OA的半径和圆心A的坐标．

元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程：

解：如图2，连接BC．作AELOB于E、AF⊥OC于F．

∴、（依据是  ①  ）

∵，

∴（依据是  ②  ）．

∵，．

∴BC是的直径（依据是  ③  ）．

∴

∵，

∴A的坐标为（  ④  ）的半径为  ⑤ 

4、如图，在等边中，D为BC边上一点，连接AD，将沿AD翻折得到，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的大小；

（3）猜想CF，BF，AF之间的数量关系，并证明．

5、如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．

【详解】

解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：

则，

的直径为，

，

在中，，

，

即水的最大深度为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

2、B

【分析】

根据旋转可得，，得．

【详解】

解：，，

，

将绕点逆时针旋转得到△，使点的对应点恰好落在边上，

，，

．

故选：B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．

3、C

【分析】

利用中心对称图形的定义：旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故A错误．

B、不是中心对称图形，故B错误．

C、是中心对称图形，故C正确．

D、不是中心对称图形，故D错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．

4、C

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；

D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

5、B

【分析】

设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得 ，求出β即可解决问题．

【详解】

解：设∠ADC=α，∠ABC=β；

∵四边形ABCO是菱形，

∴∠ABC=∠AOC；

∠ADC=β；

四边形为圆的内接四边形，

α+β=180°，

∴ ，

解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，

故选：B．

【点睛】

该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.

6、C

【分析】

直接根据题意及弧长公式可直接进行求解．

【详解】

解：由题意得：的圆心角所对弧的弧长是；

故选C．

【点睛】

本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．

7、B

【分析】

根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．

8、D

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

【详解】

解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

9、A

【分析】

根据三角形旋转得出，，根据点A，D，E在同一条直线上利用邻补角关系求出，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC=50°，由此即可求解．

【详解】

证明：∵绕点C逆时针旋转得到，

∴，，

∴∠ADC=∠DAC，

∵点A，D，E在同一条直线上，

∴，

∴∠DAC=50°，

∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=80°

故选A．

【点睛】

本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．

10、B

【分析】

根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．

【详解】

解：平面直角坐标系中点关于原点对称的点的坐标是

故选B

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．

二、填空题

1、5

【分析】

直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．

【详解】

解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

即可知道点到点A，B，C的距离相等，

如下图：

，

，

故答案是：5．

【点睛】

本题考查了直角三角形的外接圆的外心，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．

2、    4   

【分析】

设一直角边长为x，另一直角边长为（6-x）根据勾股定理，解一元二次方程求出，根据这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，可求外接圆的半径为cm，利用三角形面积公式求即可．

【详解】

解：设一直角边长为x，另一直角边长为（6-x），

∵三角形是直角三角形，

∴根据勾股定理，

整理得：，

解得，

这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，

∴外接圆的半径为cm，

三角形面积为．

故答案为；．

【点睛】

本题考查直角三角形的外接圆，直角所对弦性质，勾股定理，一元二次方程，三角形面积，掌握以上知识是解题关键．

3、

【分析】

由与是等腰直角三角形，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得在以为直径的圆上，由的外心为，，得到，如图，当时，的值最小，解直角三角形即可得到结论．

【详解】

解：与是等腰直角三角形，

，

，

在与中，

，

≌，

，

，

，

在以为直径的圆上，

的外心为，，

，

如图，当时，的值最小，

，

，

，，

．

则的最小值是，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

4、②③④

【分析】

①当在点的右边时，得出即可判断；

②证明出即可判断；

③根据为等腰直角三角形，得出都是等腰直角三角形，得到即可判断；

④当时，有最小值，计算即可．

【详解】

解：，

为等腰直角三角形，

，

当在点的左边时，

，

当在点的右边时，

，

故①错误；

过点作，

在和中，

根据旋转的性质得：，

，

，

，

，

故②正确；

由①中得知为等腰直角三角形，

，

也是等腰直角三角形，

过点，

不管P在上怎么运动，

得到都是等腰直角三角形，

，

即直线一定经过点，

故③正确；

是等腰直角三角形，

当时，有最小值，

，

为等腰直角三角形，

，

，

由勾股定理：

，

，

故④正确；

故答案是：②③④．

【点睛】

本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理．

5、

【分析】

根据已知条件可得出，，再利用圆周角定理得出即可．

【详解】

解：、分别与相切于、两点，

，，

，

，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查的知识点是切线的性质以及圆周角定理，掌握以上知识点是解此题的关键．

三、解答题

1、（1）△ABC是等边三角形，证明见解析；（2）见解析

【分析】

（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；

（2）如图所示，在PC取一点E使得AE=AP，先证明△APE是等边三角形，得到AP=PE，∠AEP=60°，可以推出∠AEC=∠APB，然后证明△APB≌△AEC得到BP=CE，即可证明PC=PE+CE=AP+BP．

【详解】

解：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：

由圆周角定理：∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC

∵∠APC＝∠CPB＝60°，

∴∠BAC＝∠ABC＝60°，

∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°．

∴△ABC是等边三角形．

（2）如图所示，在PC取一点E使得AE=AP，

∵∠APE=60°，AP=AE，

∴△APE是等边三角形，

∴AP=PE，∠AEP=60°，

∴∠AEC=120°，

又∵∠APC＝∠CPB＝60°，

∴∠APB=120°，

∴∠AEC=∠APB，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，

又∵∠ABP=∠ACE，

∴△APB≌△AEC（AAS），

∴BP=CE，

∴PC=PE+CE=AP+BP．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是掌握圆周角定理，正确求出∠ABC=∠BAC=60°．

2、（1）图见解析；A1（3，3）；（2）见解析

【分析】

（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．

【详解】

解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（3，3）；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．

【点睛】

此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．

3、垂径定理，圆周角定理，圆周角定理，（1，），2

【分析】

根据垂径定理，圆周角定理依次分析解答．

【详解】

解：如图2，连接BC．作AE⊥OB于E、AF⊥OC于F．

∴、（依据是垂径定理）

∵，

∴（依据是圆周角定理）．

∵，．

∴BC是的直径（依据是圆周角定理）．

∴，

∵，

∴A的坐标为（1，），的半径为2，

故答案为：垂径定理，圆周角定理，圆周角定理，（1，），2．

【点睛】

此题考查了圆的知识，垂径定理、圆周角定理，熟记各定理知识并综合应用是解题的关键．

4、（1）20°；（2）；（3）AF= CF+BF，理由见解析

【分析】

（1）由△ABC是等边三角形，得到AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，则∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，，∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；

（2）同（1）求解即可；

（3）如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG，先证明△AEF≌△ACF得到∠AFE=∠AFC，然后证明∠AFE=∠AFC=60°，得到∠BFC=120°，即可证明F、C、G三点共线，得到△AFG是等边三角形，则AF=GF=CF+CG=CF+BF．

【详解】

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，

由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，

∴∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，

∴，

∴∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°，

由折叠的性质可知，，AC=AE，

∴ ，AB=AE，

∴，

∴；

（3）AF= CF+BF，理由如下：

如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG，

∴AF=AG，∠FAG=60°，∠ACG=∠ABF，BF=CG

在△AEF和△ACF中，

，

∴△AEF≌△ACF（SAS），

∴∠AFE=∠AFC，

∵∠CBF+∠BCF+∠BFD+∠CFD=180°，∠CAF+∠CFA+∠ACD+∠CFD=180°，

∴∠BFD=∠ACD=60°，

∴∠AFE=∠AFC=60°，

∴∠BFC=120°，

∴∠BAC+∠BFC=180°，

∴∠ABF+∠ACF=180°，

∴∠ACG+∠ACF=180°，

∴F、C、G三点共线，

∴△AFG是等边三角形，

∴AF=GF=CF+CG=CF+BF．

【点睛】

本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．

5、（1）见详解；（2）

【分析】

（1）连接OD，由圆周角定理可得∠AOD=∠ABC，从而得OD∥BC，进而即可得到结论；

（2）连接AC，交OD于点F，利用勾股定理可得AC，，再证明四边形DFCE是矩形，进而即可求解．

【详解】

（1）证明：连接OD，

∵是的中点，

∴∠ABC=2∠ABD，

∵∠AOD=2∠ABD，

∴∠AOD=∠ABC，

∴OD∥BC，

∵，

∴，

∴是的切线；

（2）连接AC，交OD于点F，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC=，

∵是的中点，

∴OD⊥AC，AF=CF=3，

∴，

∴DF=5-4=1，

∵∠E=∠EDF=∠DFC=90°，

∴四边形DFCE是矩形，

∴DE=CF=3，CE=DF=1，

∴，

∴AD=CD=，

∵∠ADB=90°，

∴

【点睛】

本题主要考查切线的判定定理，圆周角定理以及勾股定理，添加辅助线构造直角三角形和矩形，是解题的关键．