沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试课后测评

沪科版九年级数学下册第24章圆章节训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

2、如图，在△ABC中，∠CAB=64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′AB，则旋转角的度数为（    ）

A．64° B．52° C．42° D．36°

3、如图，AB，CD是⊙O的弦，且，若，则的度数为（    ）

A．30° B．40° C．45° D．60°

4、下列语句判断正确的是（　　）

A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形

B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形

D．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

5、如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G， H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（    ）

A． B． C． D．

6、下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

7、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（    ）

A．50° B．60° C．40° D．30°

8、在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切

C．相离 D．不确定

9、如图，是的直径，弦，垂足为，若，则（    ）

A．5 B．8 C．9 D．10

10、如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转60°得到，此时点B的对应点D恰好落在BC边上，则CD的长为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是______步．

2、如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．

3、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为________．

4、如果点与点B关于原点对称，那么点B的坐标是______．

5、如图，已知，在中，，．将绕点A逆时针旋转一个角至位置，连接BD，CE交于点F．

（I）求证：；

（2）若四边形ABFE为菱形，求的值；

（3）在（2）的条件下，若，直接写出CF的值．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3）,B（﹣3，5），C（﹣4，1）．

（1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；

（2）把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．

2、如图，⊙O的半径为10cm，弦AB垂直平分半径OC，垂足为点D．

（1）弦AB的长为          ．

（2）求劣弧的长．

3、如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°．

（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；

（2）求证：PA＋PB＝PC．

4、问题：如图，是的直径，点在内，请仅用无刻度的直尺，作出中边上的高.

小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．

作法：如图，

①延长交于点，延长交于点；

②分别连接，并延长相交于点；

③连接并延长交于点．

所以线段即为中边上的高．

（1）根据小芸的作法，补全图形；

（2）完成下面的证明．

证明：∵是的直径，点，在上，

∴________°．（______）（填推理的依据）

∴，．

∴，________是的两条高线．

∵，所在直线交于点，

∴直线也是的高所在直线．

∴是中边上的高．

5、在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．已知：如图，点A(，0)，B(0，)．

（1）如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝        ，d(B，⊙O)＝        ．

（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围；

（3）如果C(m，0)是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范围．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

【详解】

解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2、B

【分析】

先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=64°，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′=∠AC′C=64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．

【详解】

解：∵CC′∥AB，

∴∠ACC′=∠CAB=64°

∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，

∴∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，

∴∠ACC′=∠AC′C=64°，

∴∠CAC′=180°-∠ACC′-∠AC′C=180°-2×64°=52°，

∴旋转角为52°．

故选：B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

3、B

【分析】

由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．

4、A

【分析】

根据等边三角形的对称性判断即可．

【详解】

∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，

∴B，C，D都不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了等边三角形的对称性，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．

5、A

【分析】

如图，记过A，G， H三点的圆为则是，的垂直平分线的交点， 记的交点为 的交点为 延长交于为的垂直平分线，结合正方形的性质可得：再设利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.

【详解】

解：如图，记过A，G， H三点的圆为则是，的垂直平分线的交点，

记的交点为 的交点为 延长交于为的垂直平分线，结合正方形的性质可得：

四边形为正方形，则

设 而AB＝2，CD＝3，EF＝5，结合正方形的性质可得：

而

又 而

解得：

故选A

【点睛】

本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A，G， H三点的圆的圆心是解本题的关键.

6、A

【详解】

解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，此项符合题意；

B、是中心对称图形，不是轴对称图形，此项不符题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）是解题关键．

7、A

【分析】

根据旋转的性质求解再利用三角形的内角和定理求解再利用角的和差关系可得答案.

【详解】

解： 将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，

∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，

故选A

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.

8、B

【分析】

根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得⊙C 与AB的位置关系

【详解】

解：连接,

，点O为AB中点．

CO为⊙C的半径，

是的切线，

⊙C 与AB的位置关系是相切

故选B

【点睛】

本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．

9、C

【分析】

连接，根据垂径定理可得，设的半径为，则,进而勾股定理列出方程求得半径，进而求得

【详解】

解：如图，连接，

∵是的直径，弦，

∴

设的半径为，则

在中，，

即

解得

即

故选C

【点睛】

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

10、B

【分析】

由题意以及旋转的性质可得为等边三角形，则BD=2，故CD=BC-BD=2．

【详解】

由题意以及旋转的性质知AD=AB，∠BAD=60°

∴∠ADB=∠ABD

∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°

∴∠ADB=∠ABD=60°

故为等边三角形，即AB= AD =BD=2

则CD=BC-BD=4-2=2

故选：B．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定及性质，等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于，等边三角形判定的方法有：三边相等的三角形是等边三角形（定义）；三个内角都相等的三角形是等边三角形；有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形；两个内角为60度的三角形是等边三角形．

二、填空题

1、6

【分析】

依题意，直角三角形性质，结合题意能够容纳的最大为内切圆，结合内切圆半径，利用等积法求解即可；

【详解】

设直角三角形中能容纳最大圆的半径为：；

依据直角三角形的性质：可得斜边长为：

依据直角三角形面积公式：，即为；

内切圆半径面积公式：，即为；

所以，可得：，所以直径为：；

故填：6；

【点睛】

本题主要考查直角三角形及其内切圆的性质，重点在理解题意和利用内切圆半径求解面积；

2、       

【分析】

过O作OC垂直于弦AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，然后由OA=OB，且∠AOB为直角，得到三角形OAB为等腰直角三角形，由斜边AB的长，利用勾股定理求出直角边OA的长即可；再由C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，在直角三角形OAC中，由OA及AC的长，利用勾股定理即可求出OC的长，即为O点到AB的距离．

【详解】

解：过O作OC⊥AB，则有C为AB的中点，

∵OA=OB，∠AOB=90°，AB=a，

∴根据勾股定理得： OA2+OB2=AB，

∴OA=，

在Rt△AOC中，OA=，AC=AB=，

根据勾股定理得：OC==．

故答案为：；

【点睛】

此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，在圆中遇到弦，常常过圆心作弦的垂线，根据近垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．

3、4

【分析】

由周长公式可得⊙O半径为4，再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF中心角为，即可知正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF边长．

【详解】

∵⊙O的周长为8π

∴⊙O半径为4

∵正六边形ABCDEF内接于⊙O

∴正六边形ABCDEF中心角为

∴正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的

∴正六边形ABCDEF边长为4.

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了正多边形的中心角公式，正n边形的每个中心角都等于，由中心角为得出正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键．

4、

【分析】

关于原点对称的点坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；进而求出点B坐标．

【详解】

解：由题意知点B横坐标为；纵坐标为；

故答案为：．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标知识．解题的关键在于熟练记忆关于原点对称的点坐标中相对应的坐标互为相反数．

5、（1）见解析；（2）120°；（3）

【分析】

（1）根据旋转的性质和全等三角形的判定解答即可；

（2）根据等腰三角形的性质求得∠ABD=90°－，∠BAE=+30°，根据菱形的邻角互补求解即可；

（3）连接AF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可求得∠FAC=45°，∠FCA=30°，过F作FG⊥AC于G，设FG=x，根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求解即可．

【详解】

解：（1）由旋转得：AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=，

∵AB=AC，

∴AB=AC=AD=AE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）∵AB=AD，∠BAD=，∠BAC=30°，

∴∠ABD=（180°－∠BAD）÷2=（180°－）÷2=90°－，∠BAE=+30°，

∵四边形ABFE是菱形，

∴∠BAE+∠ABD=180°，即+30°+90°－=180°，

解得：=120°；

(3)连接AF，

∵四边形ABFE是菱形，∠BAE=+30°=150°，

∴∠BAF=∠BAE=75°，又∠BAC=30°，

∴∠FAC=75°－30°=45°，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠FCA=∠ABD=90°－=30°，

过F作FG⊥AC于G，设FG=x，

在Rt△AGF中，∠FAG=45°，∠AGF=90°，

∴∠AFG=∠FAG=45°，

∴△AGF是等腰直角三角形，

∴AG=FG=x，

在在Rt△AGF中，∠FCG=30°，∠FGC=90°，

∴CF=2FG=2x，，

∵AC=AB=2，又AG+CG=AC，

∴，

解得：，

∴CF=2x= ．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

三、解答题

1、（1）图见解析；A1（3，3）；（2）见解析

【分析】

（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．

【详解】

解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（3，3）；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．

【点睛】

此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．

2、（1），（2）．

【分析】

（1）根据弦AB垂直平分半径OC，OC=OB=10cm，得出OD=CD=，∠ODB=90°，根据勾股定理，可求AB=2BD=2×；

（2）根据锐角三角函数定义求出cos∠DOB=，得出∠DOB=60°，利用弧长公式求出即可．

【详解】

解：（1）∵弦AB垂直平分半径OC，OC=OB=10cm，

∴OD=CD=，∠ODB=90°，

∴，

∴AB=2BD=2×，

故答案为；

（2）cos∠DOB=，

∴∠DOB=60°，

∴的度数为2×60°=120°，

∴．

【点睛】

本题考查垂直平分线性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长，掌握垂直平分线性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长是解题关键．

3、（1）△ABC是等边三角形，证明见解析；（2）见解析

【分析】

（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；

（2）如图所示，在PC取一点E使得AE=AP，先证明△APE是等边三角形，得到AP=PE，∠AEP=60°，可以推出∠AEC=∠APB，然后证明△APB≌△AEC得到BP=CE，即可证明PC=PE+CE=AP+BP．

【详解】

解：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：

由圆周角定理：∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC

∵∠APC＝∠CPB＝60°，

∴∠BAC＝∠ABC＝60°，

∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°．

∴△ABC是等边三角形．

（2）如图所示，在PC取一点E使得AE=AP，

∵∠APE=60°，AP=AE，

∴△APE是等边三角形，

∴AP=PE，∠AEP=60°，

∴∠AEC=120°，

又∵∠APC＝∠CPB＝60°，

∴∠APB=120°，

∴∠AEC=∠APB，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，

又∵∠ABP=∠ACE，

∴△APB≌△AEC（AAS），

∴BP=CE，

∴PC=PE+CE=AP+BP．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是掌握圆周角定理，正确求出∠ABC=∠BAC=60°．

4、（1）见详解；（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD．

【分析】

（1）根据作图步骤作出图形即可；

（2）根据题意填空，即可求解．

【详解】

解：（1）如图，CH为△ABC中AB边上的高；

（2）证明：∵是的直径，点，在上，

∴___90_°．（__直径所对的圆周角是直角_）（填推理的依据）

∴，．

∴，_BD__是的两条高线．

∵，所在直线交于点，

∴直线也是的高所在直线．

∴是中边上的高．

故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．

【点睛】

本题考查了圆周角定理的推理，三角形的三条高线相交于一点等知识，熟知两个定理，并根据题意灵活应用是解题关键．

5、（1）0，；（2）；（3）

【分析】

（1）根据新定义，即可求解；

（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据三角形的面积，可得，再由d（⊙O，线段AB）=0，可得当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，即可求解；

（3）过点C作CN⊥AB于点N ，利用锐角三角函数，可得∠OAB=60°，然后分三种情况：当点C在点A的右侧时，当点C与点A重合时，当点C在点A的左侧时，即可求解．

【详解】

解：（1）∵⊙O的半径为2，A(，0)，B(0，)．

∴，

∴点A在⊙O上，点B在⊙O外，

∴d（A，⊙O）＝，

∴d（B，⊙O）＝；

（2）过点O作OD⊥AB于点D，

∵点A(，0)，B(0，)．

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴

∴，

∵d（⊙O，线段AB）=0，

∴当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，

∴r的取值范围是，

（3）如图，过点C作CN⊥AB于点N ，

∵点A(，0)，B(0，)．

∴ ，

∴ ，

∴∠OAB=60°，

∵C(m，0)，

当点C在点A的右侧时， ，

∴ ，

∴ ，

∵d（⊙C，线段AB）<1，⊙C的半径为1，

∴ ，解得： ，

当点C与点A重合时， ，

此时d（⊙C，线段AB）=0，

当点C在点A的左侧时， ，

∴

，

∴ ，解得： ，

∴．

【点睛】

本题主要考查了点与圆的位置关系，点与直线的位置关系，理解新定义，熟练掌握点与圆的位置关系，点与直线的位置关系是解题的关键．