江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2020届高三第一次调研考试（期末考试）数学试题含答案

2020届高三模拟考试试卷

数　　学

(满分160分，考试时间120分钟)

2020．1

参考公式：

1. 样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－x)2，其中x＝xi；

2. 圆锥的体积V＝Sh，其中S是圆锥的底面圆面积，h是圆锥的高．

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|－1<x<1)，则A∪B＝________．

S←0

I←1

While I＜6

　I←I＋1

　S←S＋I

End While

Print S

　　　　　(第4题)

2. 已知复数z满足z2＝－4，且z的虚部小于0，则z＝________．

3. 若一组数据7，x，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是________．

4. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．

5. 函数f(x)＝的定义域为________．

6. 某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________．

7. 若关于x的不等式x2－mx＋3<0的解集是(1，3)，则实数m的值为________．

8. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px上，则实数p的值为________．

9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a9＝8，S5＝－5，则S15的值为________．

10. 已知函数y＝sin 2x的图象与函数y＝cos 2x的图象相邻的三个交点分别是A，B，C，则△ABC的面积为________．

11. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2＋y2－4x－8y＋12＝0，圆N与圆M外切于点(0，m)，且过点(0，－2)，则圆N的标准方程为______________．

12. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈(0，1]时，f(x)＝－eax(其中e是自然对数的底数)．若f(2 020－ln 2)＝8，则实数a的值为________．

(第13题)

13. 如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，·＝2·，则cos∠ADE的最小值为________．

14. 设函数f(x)＝|x3－ax－b|，x∈[－1，1]，其中a，b∈R.若f(x)≤M恒成立，则当M取得最小值时，a＋b的值为________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

如图，在三棱锥PABC中，AP＝AB，点M，N分别为棱PB，PC的中点，平面PAB⊥平面PBC.求证：

(1) BC∥平面AMN；

(2) 平面AMN⊥平面PBC.

16. (本小题满分14分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝.

(1) 若a＝5，c＝2，求b的值；

(2) 若B＝，求tan 2C的值．

17. (本小题满分14分)

如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5.用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为r.现要以截面为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥OO1，记圆锥OO1的体积为V.

(1) 将V表示成r的函数；

(2) 求V的最大值．

18. (本小题满分16分)

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，过点A作直线l与圆O：x2＋y2＝b2相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q.设直线l的斜率为k.

(1) 用k表示椭圆C的离心率；

(2) 若·＝0，求椭圆C的离心率．

19. (本小题满分16分)

已知函数f(x)＝(a－)ln x(a∈R)．

(1) 若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－1＝0，求a的值；

(2) 若f(x)的导函数f′(x)存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；

(3) 当a＝2时，是否存在整数λ，使得关于x的不等式f(x)≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．

20. (本小题满分16分)

已知数列{an}的首项a1＝3，对任意的n∈N*，都有an＋1＝kan－1(k≠0)，数列{an－1}是公比不为1的等比数列．

(1) 求实数k的值；

(2) 设bn＝数列{bn}的前n项和为Sn，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{bn}中的项．

2020届高三模拟考试试卷(四)

数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修42：矩阵与变换)

已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M－1.

B. (选修44：坐标系与参数方程)

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝12，曲线C的参数方程为(θ为参数，θ∈R)．在曲线C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值．

C. (选修45：不等式选讲)

已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，求＋＋的最小值．

【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠BB1C1＝60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.

(1) 求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值；

(2) 求二面角BAC1C的余弦值．

23. 已知n为给定的正整数，设(＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，x∈R.

(1) 若n＝4，求a0，a1的值；

(2) 若x＝，求(n－k)akxk的值．

2020届高三模拟考试试卷(四)(苏北四市)

数学参考答案及评分标准

1. {x|－1<x<2}　2. －2i　 3. 　4. 20　5. [4，＋∞)　6. 　7. 4　8. 　9. 135　10. π　 11. (x＋2)2＋y2＝8　12. 3　13. 　14.

15. 证明：(1) 在△PBC中，因为点M，N分别为棱PB，PC的中点，所以MN∥BC.(3分)

又MN⊂平面AMN，BC⊄平面AMN，所以BC∥平面AMN.(6分)

(2) 在△PAB中，因为AP＝AB，点M为棱PB的中点，所以AM⊥PB.(8分)

因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，AM⊂平面PAB，所以AM⊥平面PBC.(12分)

又AM⊂平面AMN，所以平面AMN⊥平面PBC.(14分)

16. 解：(1) 在△ABC中，由余弦定理b2＋c2－2bccos A＝a2，得

b2＋20－2×2×b＝25，即b2－4b－5＝0，(4分)

解得b＝5或b＝－1(舍)，所以b＝5.(6分)

(2) 由cos A＝及0<A<π，得sin A＝＝＝，(8分)

所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋)＝－(cos A－sin A)＝.

因为0<C<π，所以sin C＝＝＝，

从而tan C＝＝＝3，(12分)

所以tan 2C＝＝＝－.(14分)

17. 解：(1) 在△SAO中，SO＝＝＝4.(2分)

由△SNO1∽△SAO可知＝，所以SO1＝r，(4分)

所以OO1＝4－r，所以V(r)＝πr2(4－r)＝π(3r2－r3)，0<r<3.(7分)

(2) 由(1)得V(r)＝π(3r2－r3)，0<r<3，

所以V′(r)＝π(6r－3r2)，令V′(r)＝0，得r＝2，(9分)

当r∈(0，2)时，V′(r)>0，所以V(r)在(0，2)上单调递增；

当r∈(2，3)时，V′(r)<0，所以V(r)在(2，3)上单调递减．

所以当r＝2时，V(r)取得最大值V(2)＝.

答：小圆锥的体积V的最大值为.(14分)

18. 解：(1) 直线l的方程为y＝k(x－a)，即kx－y－ak＝0.

因为直线l与圆O：x2＋y2＝b2相切，所以＝b，故k2＝.

所以椭圆C的离心率e＝＝.(4分)

(2) 设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为x＝.

由得y＝k(－a)＝k，所以Q(，)．(6分)

由得(b2＋a2k2)x2－2a3k2x＋a4k2－a2b2＝0，

解得xP＝，则yP＝k(－a)＝，

所以P(，)．(10分)

因为·＝0，所以·＋·＝0，

即a(a2k2－b2)＝2b2k2(a－c)．(12分)

由(1)知k2＝，所以a(－b2)＝，

所以a＝2a－2c，即a＝2c，所以＝，故椭圆C的离心率为.(16分)

19. 解：(1) f′(x)＝ln x＋(a－).

因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－1＝0，

所以f′(1)＝a－1＝－1，解得a＝0.(2分)

(2) 因为f′(x)＝存在两个不相等的零点，

所以g(x)＝ax－1＋ln x存在两个不相等的零点，则g′(x)＝＋a.

①当a≥0时，g′(x)>0，所以g(x)单调递增，至多有一个零点．(4分)

②当a<0时，因为当x∈(0，－)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当x∈(－，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

所以x＝－时，g(x)max＝g(－)＝ln(－)－2.(6分)

因为g(x)存在两个零点，所以ln(－)－2>0，解得－e－2<a<0.(7分)

因为－e－2<a<0，所以－>e2>1.

因为g(1)＝a－1<0，所以g(x)在(0，－)上存在一个零点．(8分)

因为－e－2<a<0，所以(－)2>－.

因为g((－)2)＝ln(－)2＋－1，设t＝－，则y＝2ln t－t－1(t>e2)．

因为y′＝<0，所以y＝2ln t－t－1(t>e2)单调递减，

所以y<2ln(e2)－e2－1＝3－e2<0，所以g((－)2)＝ln(－)2＋－1<0，

所以g(x)在(－，＋∞)上存在一个零点．

综上可知，实数a的取值范围是(－e－2，0)．(10分)

(3) 当a＝2时，f(x)＝(2－)ln x，f′(x)＝ln x＋(2－)＝，

设g(x)＝2x－1＋ln x，则g′(x)＝＋2>0，所以g(x)单调递增，

且g()＝ln<0，g(1)＝1>0，所以存在x0∈(，1)使得g(x0)＝0.(12分)

因为当x∈(0，x0)时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)单调递减；

当x∈(x0，＋∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0，所以f(x)单调递增，

所以x＝x0时，f(x)取得极小值，也是最小值，

此时f(x0)＝(2－)ln x0＝(2－)(1－2x0)＝－(4x0＋)＋4.(14分)

因为x0∈(，1)，所以f(x0)∈(－1，0)．

因为f(x)≥λ，且λ为整数，所以λ≤－1，即λ的最大值为－1.(16分)

20. 解：(1) 由an＋1＝kan－1，a1＝3可知，a2＝3k－1，a3＝3k2－k－1.

因为{an－1}为等比数列，所以(a2－1)2＝(a1－1)(a3－1)，

即(3k－2)2＝2×(3k2－k－2)，即3k2－10k＋8＝0，解得k＝2或k＝.(2分)

当k＝时，an＋1－3＝(an－3)，所以an＝3，则an－1＝2，

所以数列{an－1}的公比为1，不符合题意；

当k＝2时，an＋1－1＝2(an－1)，所以数列{an－1}的公比q＝＝2，

所以实数k的值为2.(4分)

(2) 由(1)知an－1＝2n，所以bn＝

则S2m＝(4－1)＋4＋(4－3)＋42＋…＋[4－(2m－1)]＋4m

＝(4－1)＋(4－3)＋…＋[4－(2m－1)]＋4＋42＋…＋4m

＝m(4－m)＋，(6分)

则S2m－1＝S2m－b2m＝m(4－m)＋.

因为b2m＋b2m＋1＝3－2m＋4m，又(b2m＋2＋b2m＋3)－(b2m＋b2m＋1)＝3×4m－2>0，

且b2＋b3＝5>0，b1＝3>0，所以S2m－1>0，则S2m>0.

设＝bt>0，t∈N*，(8分)

则t＝1，3或t为偶数，因为b3＝1不可能，所以t＝1或t为偶数．

①当＝b1时，＝3，化简得6m2－24m＋8＝－4m≤－4，

即m2－4m＋2≤0，所以m可能取值为1，2，3，

验证＝，＝3，＝，得当m＝2时，＝b1成立．(12分)

②当t为偶数时，＝＝1＋，

设cm＝，则cm＋1－cm＝.

由①知m>3，当m＝4时，c5－c4＝<0；

当m>4时，cm＋1－cm>0，所以c4>c5<c6<…，所以cm的最小值为c5＝，

所以0<<1＋<5.

令＝4＝b2，则1＋＝4，即－3m2＋12m－4＝0，无整数解．

综上，正整数m的值2.(16分)

2020届高三模拟考试试卷(苏北四市)

数学附加题参考答案及评分标准

21. A.  解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－3t.(2分)

因为矩阵M的一个特征值为4，所以f(4)＝6－3t＝0，所以t＝2.(5分)

所以M＝，所以M－1＝＝.(10分)

B. 解：由l：ρcos θ＋ρsin φ－12＝0，及x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

所以l的直角坐标方程为x＋y－12＝0. (2分)

在曲线C上取点M(2cos φ，2sin φ)，则点M到l的距离

d＝＝＝，(6分)

当φ＝时，d取最小值4，(8分)

此时点M的坐标为(3，1)．(10分)

C. 解：因为x，y，z都为正数，且x＋y＋z＝1，

所以由柯西不等式，得3(＋＋)

＝(＋＋)·[(x＋2y)＋(y＋2z)＋(z＋2x)](5分)

≥(·＋·＋·)2＝9，

当且仅当x＝y＝z＝时等号成立，

所以＋＋的最小值为3.(10分)

22. 解：(1) 因为四边形AA1B1B为正方形，所以AB⊥BB1.

因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝BB1，

AB⊂平面AA1B1B，所以AB⊥平面BB1C1C. (2分)

以点B为坐标原点，分别以BA，BB1所在的直线为x，y轴，以过点B且垂直于平面AA1B1B的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.

不妨设正方形AA1B1B的边长为2，

则A(2，0 ，0)，B1(0，2，0)．

在菱形BB1C1C中，因为∠BB1C1＝60°，

所以C1(0，1，)，所以＝(－2，1，)．

因为平面AA1B1B的一个法向量为n＝(0，0，1)，

设直线AC1与平面AA1B1B所成角为α，

则sin α＝|cos〈，n〉|＝＝，

即直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值为.(6分)

(2) 由(1)可知，C(0，－1，)，所以＝(0，2，0)．

设平面ACC1的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

因为即

取x1＝，y1＝0，z1＝1，即n1＝(，0，1)．

设平面ABC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

因为＝(2，0，0)，＝(0，1, )，

所以取n2＝(0，，－1)．(8分)

设二面角BAC1C的平面角为θ，

则cos θ＝－cos〈n1，n2〉＝－＝－＝，

所以二面角BAC1C的余弦值为.(10分)

23. 解：(1) 因为n＝4，所以a0＝C()4＝，a1＝C()3＝.(2分)

(2) 当x＝时，akxk＝C()n－k()k，

因为kC＝k＝n＝nC，(4分)

＝n－n(＋)n－1

＝n，当n＝1时，也符合．

所以(n－k)akxk的值为n.(10分)