2021-2022学年云南省昆明市九年级（上）期末数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年云南省昆明市九年级（上）期末数学试卷 解析版，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年云南省昆明市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题4分，共计32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的；每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号的小框涂黑）
1．（4分）在一个不透明的布袋中有形状、大小与质地都相同的绿球1个、蓝球2个，下列事件不是随机事件的是（　　）
A．随机摸出1个球，是绿球
B．随机摸出1个球，是蓝球
C．随机摸出1个球，是绿球或蓝球
D．随机摸出2个球，都是蓝球
2．（4分）把一元二次方程x2+12x+27＝0，化为（x+p）2+q＝0的形式，正确的是（　　）
A．（x﹣6）2﹣9＝0 B．（x+6）2﹣9＝0
C．（x+12）2+27＝0 D．（x+6）2+27＝0
3．（4分）如果将抛物线y＝x2﹣1向上平移2个单位，那么所得抛物线的表达式是（　　）
A．y＝x2﹣3 B．y＝x2+1 C．y＝2x2﹣1 D．y＝（x+2）2﹣1
4．（4分）一元二次方程（m﹣2）x2+2mx﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≠2 B．m＝﹣2 C．m＝1 D．m＝﹣2或m＝1
5．（4分）函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）如图，将直角三角板45°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于E、F两点，P是优弧EF上任意一点（与E、F不重合），则∠EPF的度数是（　　）

A．22° B．22.5° C．45° D．50°
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过原点O，并且分别与x轴、y轴相交于A、B两点，已知A（﹣3，0）、B（0，4），则⊙P的半径为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2.5
8．（4分）如图，G是正方形ABCD内一点，以GC为边长，作正方形GCEF，连接BG和DE，试用旋转的思想说明线段BG与DE的关系（　　）

A．DE＝BG B．DE＞BG C．DE＜BG D．DE≥BG
二、填空题（每小题3分，满分18分。请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上）
9．（3分）若（m﹣2）x2+4x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 　 　．
10．（3分）抛物线y＝x2+1的顶点坐标是 　 　．
11．（3分）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞出100条鱼，在每一条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，过一段时间，再从鱼塘中打捞出100条鱼，发现其中10条鱼有记号，则该鱼塘中的总鱼数大约为 　 　条．
12．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，若AC⊥B'C'，则∠C＝　 　度．

13．（3分）如图，直径为60cm的转动轮转过120°角时，那么传送带上的物体G平移的距离是 　 　cm．（结果保留π）

14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 　 　．

三、解答题（9个小题，满分70分）
15．（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x﹣7﹣x（x﹣7）＝0．
16．（5分）某老旧小区为了解决停车难问题，把一正方形绿化区域一边减少1m，相邻一边减少2m，剩余的绿化区域面积为20m2，原正方形绿化区域的边长是多少米？

17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣2，4），C（﹣1，1）．
（1）以x轴为对称轴画出△ABC的对称图形△A'B'C'；
（2）画出△ABC绕点C按顺时针旋转90°后的△A″B″C；
（3）直接写出A'、A″点的坐标．

18．（8分）去年某大型商场在“十月黄金周”期间开展促销活动，前6天的营业额合计为7920万元，第七天的营业额是前6天营业额的10%．
（1）求该商场去年“十月黄金周”七天的营业总额；
（2）该商场去年7月份的营业额为7200万，7至9月份营业额的增长率相同，“十月黄金周”七天的营业额与9月份的营业额相等，求该商场去年7至9月份营业额的月平均增长率．
19．（9分）一个口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1、2、3，小杨从中随机摸出一个小球．
（1）小杨摸到标号为2的小球的概率为 　 　；
（2）若小杨摸到的小球不放回，把小杨摸出的球的标号记为a，然后由小东再随机摸出一个小球的标号记为b，小杨和小东在此基础上共同协商一个游戏规则：当a＞b时，小杨获胜，否则小东获胜，请问他们制定的游戏规则公平吗？（请用列表法或树状图法说明理由）
20．（7分）如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度6m时，水深3m，当水面上升1m时，水面宽度为多少米？

21．（6分）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD．
求证：OD＝CD．

22．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AB与DC的延长线相交于点P，AC平分∠DAB，AD⊥CD于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若∠BAC＝30°，OA＝4，求阴影部分的面积．（结果保留根号及π）

23．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B（2，0）、C两点，与y轴交于点A（0，2），连接AB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为抛物线上第一象限内的一个动点，过点P作y轴的平行线PD，交直线AB于点D，求当PD值最大时点P的坐标．


2021-2022学年云南省昆明市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共计32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的；每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号的小框涂黑）
1．（4分）在一个不透明的布袋中有形状、大小与质地都相同的绿球1个、蓝球2个，下列事件不是随机事件的是（　　）
A．随机摸出1个球，是绿球
B．随机摸出1个球，是蓝球
C．随机摸出1个球，是绿球或蓝球
D．随机摸出2个球，都是蓝球
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：在一个不透明的布袋中有形状、大小与质地都相同的绿球1个、蓝球2个，
A．随机摸出1个球，是绿球，这是随机事件，故A不符合题意；
B．随机摸出1个球，是蓝球，这是随机事件，故B不符合题意；
C．随机摸出1个球，是绿球或蓝球，这是必然事件，故C符合题意；
D．随机摸出2个球，都是蓝球，这是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
2．（4分）把一元二次方程x2+12x+27＝0，化为（x+p）2+q＝0的形式，正确的是（　　）
A．（x﹣6）2﹣9＝0 B．（x+6）2﹣9＝0
C．（x+12）2+27＝0 D．（x+6）2+27＝0
【分析】利用完全平方公式进行判断．
【解答】解：∵x2+12x+27＝0，
∴x2+12x+62﹣62+27＝0，
∴（x+6）2﹣9＝0．
故选：B．
3．（4分）如果将抛物线y＝x2﹣1向上平移2个单位，那么所得抛物线的表达式是（　　）
A．y＝x2﹣3 B．y＝x2+1 C．y＝2x2﹣1 D．y＝（x+2）2﹣1
【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
【解答】解：根据“上加下减”的法则可知，将抛物线y＝x2﹣1向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是y＝x2﹣1+2，即y＝x2+1．
故选：B．
4．（4分）一元二次方程（m﹣2）x2+2mx﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≠2 B．m＝﹣2 C．m＝1 D．m＝﹣2或m＝1
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＝0，即可得出关于m的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：∵一元二次方程（m﹣2）x2+2mx﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴，
解得：m1＝﹣2，m2＝1．
故选：D．
5．（4分）函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+a的图象点的坐标特征即可判断．
【解答】解：当a＞0，由二次函数y＝ax2+a＝a（x2+1）可知y＞0，当a＜0，由二次函数y＝ax2+a＝a（x2+1）可知y＜0，
故A、B、C错误，D正确；
故选：D．
6．（4分）如图，将直角三角板45°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于E、F两点，P是优弧EF上任意一点（与E、F不重合），则∠EPF的度数是（　　）

A．22° B．22.5° C．45° D．50°
【分析】由题意得∠EOF＝45°，再由圆周角定理求得∠EPF的度数即可．
【解答】解：根据题意得：∠EOF＝45°，
∴∠EPF＝∠EOF＝22.5°．
故选：B．
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过原点O，并且分别与x轴、y轴相交于A、B两点，已知A（﹣3，0）、B（0，4），则⊙P的半径为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2.5
【分析】过点P作PD⊥OB于点D，作PE⊥OA于点E，连接OP，由垂径定理即可求出OD与OE的长度，然后利用勾股定理即可求答案．
【解答】解：过点P作PD⊥OB于点D，作PE⊥OA于点E，连接OP．

∵A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴由垂径定理可知：OD＝OB＝2，OE＝OA＝，
∵∠PDO＝∠PEO＝∠DOE＝90°，
∴四边形PDOE是矩形，
∴OE＝PD＝
∴由勾股定理可知：OP＝＝＝2.5，
故选：D．
8．（4分）如图，G是正方形ABCD内一点，以GC为边长，作正方形GCEF，连接BG和DE，试用旋转的思想说明线段BG与DE的关系（　　）

A．DE＝BG B．DE＞BG C．DE＜BG D．DE≥BG
【分析】证明△BCG≌△DCE（SAS），则将△BCG绕点B顺时针方向旋转90°后能与△DCE重合，可得出BG＝DE．
【解答】解：∵CD＝CB，GC＝EC，∠BCG＝90°﹣∠GCD，∠DCE＝90°﹣∠GCD，
∴∠BCG＝∠DCE，
在△BCG与△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴将△BCG绕点B顺时针方向旋转90°后能与△DCE重合，
∴BG＝DE．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，满分18分。请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上）
9．（3分）若（m﹣2）x2+4x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 　m≠2　．
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：由题意得：
m﹣2≠0
∴m≠2，
故答案为：m≠2．
10．（3分）抛物线y＝x2+1的顶点坐标是 　（0，1）　．
【分析】依据二次函数的顶点坐标公式求解即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝0，c＝1．
∴x＝﹣＝﹣＝0．
将x＝0代入得到y＝1．
∴抛物线的顶点坐标为：（0，1）．
故答案为：（0，1）．
11．（3分）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞出100条鱼，在每一条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，过一段时间，再从鱼塘中打捞出100条鱼，发现其中10条鱼有记号，则该鱼塘中的总鱼数大约为 　1000　条．
【分析】首先求出有记号的10条鱼在100条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【解答】解：由题意可得：100÷＝1000（条），
故答案为：1000．
12．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，若AC⊥B'C'，则∠C＝　30　度．

【分析】由旋转的性质可得∠CAC'＝60°，∠C＝∠C'，由余角的性质可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，
∴∠CAC'＝60°，∠C＝∠C'，
∵AC⊥B'C'，
∴∠C'＝90°﹣∠CAC'＝30°＝∠C，
故答案为：30．
13．（3分）如图，直径为60cm的转动轮转过120°角时，那么传送带上的物体G平移的距离是 　20π　cm．（结果保留π）

【分析】先求出圆的半径，再根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：∵圆的直径是60cm，
∴圆的半径是30cm，
转动轮转过120°角时传送带上的物体G平移的距离是＝20π（cm），
故答案为：20π．
14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 　﹣5＜x＜3　．

【分析】利用抛物线的对称性求得二次函数与x轴的另一个交点的坐标，结合图形中在x轴上方部分对应的x值即可得出结论．
【解答】解：由题意得：二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，经过（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣5，0）．
∵抛物线在x轴的上方部分y＞0，
∴当y＞0时，x的取值范围是﹣5＜x＜3．
故答案为：﹣5＜x＜3．
三、解答题（9个小题，满分70分）
15．（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x﹣7﹣x（x﹣7）＝0．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x﹣1＝0，然后解一次方程即可；
（2）利用因式分解法把方程转化为x﹣7＝0或1﹣x＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝1；
（2）（x﹣7）（1﹣x）0，
x﹣7＝0或1﹣x＝0，
所以x1＝7，x2＝1．
16．（5分）某老旧小区为了解决停车难问题，把一正方形绿化区域一边减少1m，相邻一边减少2m，剩余的绿化区域面积为20m2，原正方形绿化区域的边长是多少米？

【分析】可设原正方形绿化区域的边长是为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．
【解答】解：设原正方形的边长为xm，
依题意有：（x﹣2）（x﹣1）＝20，
解得：x1＝6，x2＝﹣3（不合题意，舍去）．
答：原正方形绿化区域的边长是6米．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣2，4），C（﹣1，1）．
（1）以x轴为对称轴画出△ABC的对称图形△A'B'C'；
（2）画出△ABC绕点C按顺时针旋转90°后的△A″B″C；
（3）直接写出A'、A″点的坐标．

【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；
（2）根据旋转的性质可画出图形；
（3）由点A'，A''的位置可得坐标．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；

（2）如图，△A″B″C即为所求；
（3）由图形可知，A'（﹣3，﹣3），A''（1，3）．
18．（8分）去年某大型商场在“十月黄金周”期间开展促销活动，前6天的营业额合计为7920万元，第七天的营业额是前6天营业额的10%．
（1）求该商场去年“十月黄金周”七天的营业总额；
（2）该商场去年7月份的营业额为7200万，7至9月份营业额的增长率相同，“十月黄金周”七天的营业额与9月份的营业额相等，求该商场去年7至9月份营业额的月平均增长率．
【分析】（1）根据该商场去年“十月黄金周”这七天的总营业额＝前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；
（2）设该商场去年7至9月份营业额的月平均增长率为x，根据该商场去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）7920+7920×10%＝8712（万元）．
答：该商场去年“十月黄金周”这七天的总营业额为8712万元；

（2）设该商场去年7至9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：7200（1+x）2＝8712，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该商场去年7至9月份营业额的月增长率为10%．
19．（9分）一个口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1、2、3，小杨从中随机摸出一个小球．
（1）小杨摸到标号为2的小球的概率为 　　；
（2）若小杨摸到的小球不放回，把小杨摸出的球的标号记为a，然后由小东再随机摸出一个小球的标号记为b，小杨和小东在此基础上共同协商一个游戏规则：当a＞b时，小杨获胜，否则小东获胜，请问他们制定的游戏规则公平吗？（请用列表法或树状图法说明理由）
【分析】（1）3个小球，摸出一个为2号的占了3个结果中的一个，即可得到结果；
（2）根据题意画出相应的树状图，找出所有的可能，找出两人获胜的情况数，求出两人获胜的概率，根据概率的大小即可作出判断．
【解答】解：（1）小杨摸出的球标号为2的概率为，
故答案为：；

（2）他们制定的游戏规则是公平的．理由如下：
画树状图，如图所示：

由树状图可知，共有6种机会均等的情况，其中满足a＞b的有3种，
∵P（小杨获胜）＝＝，P（小东获胜）＝1﹣＝，
∴P（小杨获胜）＝P（小东获胜）
故他们制定的游戏规则是公平的．
20．（7分）如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度6m时，水深3m，当水面上升1m时，水面宽度为多少米？

【分析】首先建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为y＝ax2，进而求出解析式，即可得出水面宽度．
【解答】解：建立直角坐标系如图：

设抛物线为y＝ax2，
由已知抛物线过点（3，3），
∴3＝a×32，
解得a＝，
∴抛物线为y＝x2，
当y＝4时，4＝x2，
解得：x1＝2，x2＝﹣2，
∴水面宽度为4，
答：水面宽度为4米．
21．（6分）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD．
求证：OD＝CD．

【分析】连接OC，根据点O是△ABC的内心，可得∠CAD＝∠BAD，∠OCA＝∠OCB，然后证明∠COD＝∠DCO，即可得到结论．
【解答】证明：如图，连接OC，

∵点O是△ABC的内心，
∴∠CAD＝∠BAD，∠OCA＝∠OCB，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠COD＝∠CAD+∠OCA＝∠BAD+∠OCB，
∠DCO＝∠BCD+∠OCB，
∴∠COD＝∠DCO，
∴△DCO是等腰三角形，
∴OD＝CD．
22．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AB与DC的延长线相交于点P，AC平分∠DAB，AD⊥CD于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若∠BAC＝30°，OA＝4，求阴影部分的面积．（结果保留根号及π）

【分析】（1）连接OC，推出∠DAC＝∠CAB，∠OAC＝∠OCA，求出∠DAC＝∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；
（2）由直角三角的性质求出∠BOC＝2∠BAC＝60°，CP＝OC＝4，由扇形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
又∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD是圆O的切线．
（2）解：∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵OA＝OC＝4，
∴CP＝OC＝4，
∴S阴影部分＝S△OCP﹣S扇形COB
＝
＝8﹣π．
23．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B（2，0）、C两点，与y轴交于点A（0，2），连接AB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为抛物线上第一象限内的一个动点，过点P作y轴的平行线PD，交直线AB于点D，求当PD值最大时点P的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）设点P的横坐标为m，利用抛物线和直线AB的解析式分别得到点P，D的坐标，进而用m的代数式表示出线段PD的长，利用配方法得到当PD值最大时的m的值即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（2，0）、点A（0，2），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）设点P的横坐标为m，
则P（m，﹣m2+m+2）．
∵P为抛物线上第一象限内的一个动点，
∴m＞0，﹣m2+m+2＞0．
设直线AB的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
∵PD∥y轴，
∴D（m，﹣m+2）．
∴PD＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1．
∵﹣1＜0，
∴当m＝1时，PD取得最大值1．
∴当PD值最大时点P的坐标为（1，2）．