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2021-2022学年河南省南阳市南召县九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年河南省南阳市南召县九年级（上）期末数学试卷 解析版，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省南阳市南召县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）下列各式化简后的结果为的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）方程（x﹣2）（x+3）＝0的两根分别是（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝3 B．x1＝2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝﹣3
3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的面积的比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．9：1
4．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2
5．（3分）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
7．（3分）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）在大力发展现代化农业的形势下，现有A、B两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量
100
300
500
1000
3000
A
出芽率
0.99
0.94
0.96
0.98
0.97
B
出芽率
0.99
0.95
0.94
0.97
0.96
下面有三个推断：
①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以A、B两种新玉米种子出芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97；
③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线G的开口向下
B．抛物线G的对称轴是直线x＝﹣2
C．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）
D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
10．（3分）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．（3分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：
移植的棵数n
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵数m
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的频率
0.865
0.904
0.888
0.875
0.882
0.878
0.879
0.881
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 ．
12．（3分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是 m．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作直线（b为常数且b＜2）的垂线，垂足为点Q，则sin∠OPQ＝ ．
14．（3分）如图，已知函数y＝与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+＝0的解为 ．
15．（3分）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）（1）计算：4sin30°﹣cos45°tan30°+2sin60°；
（2）计算：．
17．（9分）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
①求n的取值范围；
②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
18．（9分）根据公安部交管局下发的通知，春节前开展一次“一带一盔”安全守护行动，其中要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔，某日交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
（1）统计表中m的值为 ；
（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
年龄x（岁）
人数
男性占比
x＜20
4
50%
20≤x＜30
m
60%
30≤x＜40
25
60%
40≤x＜50
8
75%
x≥50
3
100%
（3）若从年龄在“x＜20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男性和1名女性的概率．
19．（9分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE．
（1）若AD•AB＝AE•AC．求证：△ADE∽△ACB；
（2）若AB＝8，AC＝6，AD＝3，直接写出：当AE＝ 时，△ADE与△ACB相似．
20．（9分）【材料阅读】2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度，其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个标杆，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．
【问题解决】某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山顶标杆顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
请你计算该山的海拔高度（要计算球气差，结果精确到0.01m）．
21．（9分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4米，宽AB＝3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米．
（1）按图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝ax2+c（a≠0）表示．直接写出抛物线的函数表达式 ．
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户每平方米的成本为50元．已知GM＝2米，直接写出：每个B型活动板房的成本是 元．（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场信息，这样的B型活动板房公司每月最多能生产160个，若以单价650元销售B型活动板房，每月能售出100个；若单价每降低10元，每月能多售出20个这样的B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
22．（10分）如图，已知抛物线经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）直接写出：b＝ ，c＝ ；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年河南省南阳市南召县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）下列各式化简后的结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质逐一化简可得．
【解答】解：A、＝3，故此选项符合题意；
B、＝2，故此选项不符合题意；
C、不能化简，故此选项不符合题意；
D、＝6，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（3分）方程（x﹣2）（x+3）＝0的两根分别是（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝3 B．x1＝2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝﹣3
【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程（x﹣2）（x+3）＝0，
可得x﹣2＝0或x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3，
故选：D．
3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的面积的比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．9：1
【分析】根据信息，找到OB与OD的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．
【解答】解：∵B（0，1），D（0，3），
∴OB＝1，OD＝3，
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD＝1：3，
∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9．
故选：C．
4．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2
【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2．
故选：D．
5．（3分）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝，
在Rt△ACD中，AD＝，
∴AB：AD＝：＝，
故选：B．
6．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＝﹣2时，函数值最大，
又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
7．（3分）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减．
【解答】解：原式＝（﹣2）2×﹣（﹣2）×﹣3
＝4+2﹣3
＝3，
故选：A．
8．（3分）在大力发展现代化农业的形势下，现有A、B两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量
100
300
500
1000
3000
A
出芽率
0.99
0.94
0.96
0.98
0.97
B
出芽率
0.99
0.95
0.94
0.97
0.96
下面有三个推断：
①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以A、B两种新玉米种子出芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97；
③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【分析】根据概率的定义和频率的含义，可以判断各个小题中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，实验种子为100，数量太少，出现的频率不能作为A、B两种新玉米种子出芽的概率，故①错误；
随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97，故②正确；
在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．故③正确；
故选：D．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线G的开口向下
B．抛物线G的对称轴是直线x＝﹣2
C．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）
D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由表格可知，
该函数的对称轴是直线x＝＝﹣，故选项B错误，
该抛物线开口向上，在x＝﹣时，取得最小值，故选项A错误，
当x＞﹣时，y随x的增大而最大，故选项D错误，
当x＝0时，y＝4，则抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4），故选项C正确；
故选：C．
10．（3分）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
【分析】根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点D坐标，再根据旋转的性质可得旋转后点D的坐标．
【解答】解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得
D点坐标为（，），即（1，1）．
每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60＝2700°，
2700°÷360＝7.5周，
OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），
故选：B．
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．（3分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：
移植的棵数n
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵数m
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的频率
0.865
0.904
0.888
0.875
0.882
0.878
0.879
0.881
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 0.881 ．
【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.881．
故答案为：0.881．
12．（3分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是 8 m．
【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．
【解答】解：∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE＝AC：DE，
即1：5＝1.6：DE，
∴DE＝8（m），
故答案为：8．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作直线（b为常数且b＜2）的垂线，垂足为点Q，则sin∠OPQ＝ ．
【分析】利用对顶角相等及等角的余角相等可得出∠BAO＝∠BPQ，即∠BAO＝∠OPQ，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，利用勾股定理可求出AB的长，再在△OAB中，利用sin∠BAO＝可求出sin∠OPQ的值，此题得解．
【解答】解：∵∠PBQ＝∠ABO，∠PBQ+∠BPQ＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠BPQ，即∠BAO＝∠OPQ．
当x＝0时，y＝×0+b＝b，
∴点B的坐标为（0，b），
∴OB＝|b|；
当y＝0时，x+b＝0，解得：x＝﹣2b，
∴点A的坐标为（﹣2b，0），
∴OA＝|2b|．
∴AB＝＝|b|．
在△OAB中，sin∠BAO＝＝＝，
∴sin∠OPQ＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，已知函数y＝与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+＝0的解为 x＝﹣3 ．
【分析】先根据点P的纵坐标为1求出x的值，再把于x的方程ax2+bx+＝0化为于x的方程ax2+bx＝﹣的形式，此方程就化为求
函数y＝与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点的横坐标，由求出的P点坐标即可得出结论．
【解答】解：∵P的纵坐标为1，
∴1＝﹣，
∴x＝﹣3，
∵ax2+bx+＝0化为关于x的方程ax2+bx＝﹣的形式，
∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，
∴x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
15．（3分）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ﹣ ．
【分析】根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以解决．
【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，
故答案为：﹣．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）（1）计算：4sin30°﹣cos45°tan30°+2sin60°；
（2）计算：．
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算，最后根据二次根式的加减进行计算即可；
（2）先根据积的乘方和二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝4×﹣﹣+2×
＝2﹣1﹣1+
＝；
（2）原式＝[（+2）×（﹣2）]2021×（﹣2）﹣3×（1﹣）
＝（﹣1）2021×（﹣2）﹣3+9
＝﹣1×（﹣2）﹣3+9
＝﹣+2﹣3+9
＝11﹣4．
17．（9分）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
①求n的取值范围；
②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）根据方程得出Δ＝m2﹣4n＝0，变形即可；
（2）①根据方程得到Δ＝（﹣4）2﹣4n＞0，解得即可；
②在n的取值范围内取n＝3，然后解方程即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4n＝0，
∴n＝m2；
（2）①∵方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
∴Δ＝（﹣4）2﹣4n＞0，
解得n＜4；
∴n的取值范围为n＜4．
②∵n＜4，
∴n可以是3，
此时方程为x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
解得x1＝3，x2＝1．
18．（9分）根据公安部交管局下发的通知，春节前开展一次“一带一盔”安全守护行动，其中要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔，某日交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
（1）统计表中m的值为 10 ；
（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的度数为 180° ；
年龄x（岁）
人数
男性占比
x＜20
4
50%
20≤x＜30
m
60%
30≤x＜40
25
60%
40≤x＜50
8
75%
x≥50
3
100%
（3）若从年龄在“x＜20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男性和1名女性的概率．
【分析】（1）先根据表格中的数据可得统计表中m的值；
（2）由360°乘以年龄在“30≤x＜40”部分所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男性和1名女性的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）m＝50﹣4﹣25﹣8﹣3＝10，
故答案为：10；
（2）年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝180°，
故答案为：180°；
（3）年龄在“x＜20”的4人中有2名男性，2名女性，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男性和1名女性的结果有8种，
∴恰好抽到1名男性和1名女性的概率为＝．
19．（9分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE．
（1）若AD•AB＝AE•AC．求证：△ADE∽△ACB；
（2）若AB＝8，AC＝6，AD＝3，直接写出：当AE＝ 或4 时，△ADE与△ACB相似．
【分析】（1）根据相似三角形的判定可以推出△ADE∽△ACB．
（2）分两种情况：若△ADE∽△ACB，则，若△ADE∽△ABC，则，则可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AD•AB＝AE•AC，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：若△ADE∽△ACB，则，
即，
∴AE＝4．
若△ADE∽△ABC，则，
即，
∴AE＝．
故答案为：．
20．（9分）【材料阅读】2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度，其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个标杆，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．
【问题解决】某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山顶标杆顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
请你计算该山的海拔高度（要计算球气差，结果精确到0.01m）．
【分析】如图，过点C作CH⊥BE于H．解直角三角形求出DB，加上海拔高度，加上球气差即可．
【解答】解：如图，过点 C 作 CH⊥BE 于点 H，
由题意，得 AB＝CH＝800m，AC＝BH＝1.5m，
在 Rt△ECH 中，EH＝CH⋅tan37°≈600（m），
又 DE＝2，
∴DB＝EH﹣DE+BH＝599.5（m），
由题意，得 ，
∴599.5+0.043+1800≈2399.54（m），
故山的海拔高度为 2399.54m．
21．（9分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4米，宽AB＝3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米．
（1）按图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝ax2+c（a≠0）表示．直接写出抛物线的函数表达式 ．
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户每平方米的成本为50元．已知GM＝2米，直接写出：每个B型活动板房的成本是 500 元．（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场信息，这样的B型活动板房公司每月最多能生产160个，若以单价650元销售B型活动板房，每月能售出100个；若单价每降低10元，每月能多售出20个这样的B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据图形和直角坐标系可得点D和点E的坐标，代入y＝ax2+c，即可求解；
（2）根据M和N的横坐标相等，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，即可求解；
（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵长方形的长 AD＝4，宽 AB＝3，
抛物线的最高点 E 到 BC 的距离为 4，
∴OH＝AB＝3，EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，E（0，1），D（2，0），
由题意知抛物线的函数表达式为 y＝ax2+1，把点 D（2，0）代入，
得 ，
∴该抛物线的函数表达式为 ，
故答案为：；
（2）∵GM＝2，
∴OM＝OG＝1，
∵当 x＝1 时，，
∴，
∴，
∴，
∴每个B型活动板房的成本是 （元），
故答案为：500；
（3）根据题意，得 ＝﹣2（n﹣600）2+20000，
∵每月最多能生产 160 个B型活动板房，
∴，
解得 n≥620，
∵﹣2＜0，
∴n≥620 时，w 随 n 的增大而减小，
∴当 n＝620 时，w 有最大值，且最大值为 19200元．
答：公司将销售单价 n 定为 620 元时，每月销售B型活动板房所获利润 w 最大，最大利润是 19200 元．
22．（10分）如图，已知抛物线经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）直接写出：b＝ 2 ，c＝ 1 ；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点 A（0，1），B（﹣9，10）代入，即可求解析式；
（2）设点 ，则 E（m，﹣m+1），S四边形AECP＝S△AEC+S△APC＝﹣（m+）2+，当 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 ，此时点 ；
（3）求出∠PCF＝45°．∠EAF＝45°，则∠PCF＝∠EAF，设 Q（t，1）且 ，AC＝6，，分两种情况讨论：①当△CPQ∽△ABC 时，Q（﹣4，1）；②当△CQP∽△ABC时，Q（3，1）．
【解答】解：（1）将点 A（0，1），B（﹣9，10）代入，
∴，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∴b＝2，c＝1，
故答案为：2，1；
（2）∵AC∥x 轴，A（0，1），
∴，
∴x1＝6，x2＝0，
∴C （﹣6，1），
∵A（0，1），B（﹣9，10），
∴直线 AB 的解析式为 y＝﹣x+1，
设点 ，则 E（m，﹣m+1），
∴，
∵AC⊥EP，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC+S△APC
＝×AC×EF+
＝×AC×（EF+PF）
＝×AC×PE
＝×6×（﹣m2﹣3m）
＝﹣m2﹣9m
＝﹣（m+）2+，
∵﹣6＜m＜0，
当 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 ，
此时点 ；
（3）存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
∵，
∴P（﹣3，﹣2），
∴PF＝yF﹣yP＝3，CF＝xF﹣xC＝3，
∴PF＝CF，
∴∠PCF＝45°．
同理可得：∠EAF＝45°，
∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线 AC 上存在满足条件的 Q，
设 Q（t，1），
∵A（0，1），B（﹣9，10），C （﹣6，1），
∴，AC＝6，，
以 C，P，Q 为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t＝﹣4，
∴Q（﹣4，1）；
②当△CQP∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t＝3，
∴Q（3，1）；
综上所述：Q点坐标为（﹣4，1）或（3，1）．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）易证PB'∥AB．所以∠B'PA＝∠BAP，又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，所以∠B'PA＝∠B'AP．故PB′＝AB′；
（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，则△ABC为等腰直角三角形．再证明△CDP∽△B'DA，可得＝＝．设B'D＝b，则CD＝b．则AD＝a﹣b，PD＝﹣b，由＝解得b＝．再过点D作DE⊥AB'于点E，则△B'DE为等腰直角三角形．所以B'E＝sin45°×B'D＝，AE＝AB﹣B'E＝，AD＝．故cos∠B'AC＝cos∠EAD＝即可求；
（3）分①点P在BC外的圆弧上；②点P在BC上两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵PB'⊥AC，∠CAB＝90°，
∴PB'∥AB．
∴∠B'PA＝∠BAP，
又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，
∴∠B'PA＝∠B'AP．
故PB′＝AB′．
（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，如答图1所示，
则△ABC为等腰直角三角形，
∴BC＝，PC＝，PB＝，
由折叠可知，∠PB'A＝∠B＝45°，
又∠ACB＝45°，
∴∠PB'A＝∠ACB，
又∠CDP＝∠B'DA，
∴△CDP∽△B'DA．
∴＝＝．①
设B'D＝b，则CD＝b．
∴AD＝AC﹣CD＝a﹣b，
PD＝PB'﹣B'D＝PB﹣B'D＝﹣b，
由①＝得：＝．
解得：b＝．
过点D作DE⊥AB'于点E，则△B'DE为等腰直角三角形．
∴B'E＝sin45°×B'D＝＝＝，
∴AE＝AB'﹣B'E＝AB﹣B'E＝a﹣＝．
又AD＝AC﹣CD＝a﹣b＝a﹣＝．
∴cos∠B'AC＝cos∠EAD＝＝＝．
（3）存在点P，使得CB'＝AB＝m．理由如下：
∵∠ACB＝30°，∠CAB＝90°．
∴BC＝2m．
①如答图2所示，
由题意可知，点B'的运动轨迹为以A为圆心、AB为半径的半圆A．
当P为BC中点时，PC＝BP＝AP＝AB'＝m，
又∠B＝60°，
∴△PAB为等边三角形．
又由折叠可得四边形ABPB'为菱形．
∴PB'∥AB，
∴PB'⊥AC．
又∵AP＝AB'，
则易知AC为PB'的垂直平分线．
故CB'＝PC＝AB＝m，满足题意．
此时，＝＝．
②当点B'落在BC上时，如答图3所示，
此时CB'＝AB＝m，
则PB'＝＝，
∴PC＝CB'+PB'＝m+＝，
∴＝＝．
综上所述，的值为或．
2021-2022学年河南省南阳市南召县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）下列各式化简后的结果为的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）方程（x﹣2）（x+3）＝0的两根分别是（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝3 B．x1＝2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝﹣3
3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的面积的比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．9：1
4．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2
5．（3分）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
7．（3分）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）在大力发展现代化农业的形势下，现有A、B两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量
100
300
500
1000
3000
A
出芽率
0.99
0.94
0.96
0.98
0.97
B
出芽率
0.99
0.95
0.94
0.97
0.96
下面有三个推断：
①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以A、B两种新玉米种子出芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97；
③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线G的开口向下
B．抛物线G的对称轴是直线x＝﹣2
C．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）
D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
10．（3分）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．（3分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：
移植的棵数n
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵数m
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的频率
0.865
0.904
0.888
0.875
0.882
0.878
0.879
0.881
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 ．
12．（3分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是 m．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作直线（b为常数且b＜2）的垂线，垂足为点Q，则sin∠OPQ＝ ．
14．（3分）如图，已知函数y＝与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+＝0的解为 ．
15．（3分）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）（1）计算：4sin30°﹣cos45°tan30°+2sin60°；
（2）计算：．
17．（9分）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
①求n的取值范围；
②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
18．（9分）根据公安部交管局下发的通知，春节前开展一次“一带一盔”安全守护行动，其中要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔，某日交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
（1）统计表中m的值为 ；
（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
年龄x（岁）
人数
男性占比
x＜20
4
50%
20≤x＜30
m
60%
30≤x＜40
25
60%
40≤x＜50
8
75%
x≥50
3
100%
（3）若从年龄在“x＜20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男性和1名女性的概率．
19．（9分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE．
（1）若AD•AB＝AE•AC．求证：△ADE∽△ACB；
（2）若AB＝8，AC＝6，AD＝3，直接写出：当AE＝ 时，△ADE与△ACB相似．
20．（9分）【材料阅读】2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度，其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个标杆，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．
【问题解决】某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山顶标杆顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
请你计算该山的海拔高度（要计算球气差，结果精确到0.01m）．
21．（9分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4米，宽AB＝3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米．
（1）按图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝ax2+c（a≠0）表示．直接写出抛物线的函数表达式 ．
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户每平方米的成本为50元．已知GM＝2米，直接写出：每个B型活动板房的成本是 元．（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场信息，这样的B型活动板房公司每月最多能生产160个，若以单价650元销售B型活动板房，每月能售出100个；若单价每降低10元，每月能多售出20个这样的B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
22．（10分）如图，已知抛物线经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）直接写出：b＝ ，c＝ ；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年河南省南阳市南召县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）下列各式化简后的结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质逐一化简可得．
【解答】解：A、＝3，故此选项符合题意；
B、＝2，故此选项不符合题意；
C、不能化简，故此选项不符合题意；
D、＝6，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（3分）方程（x﹣2）（x+3）＝0的两根分别是（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝3 B．x1＝2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝﹣3
【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程（x﹣2）（x+3）＝0，
可得x﹣2＝0或x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3，
故选：D．
3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的面积的比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．9：1
【分析】根据信息，找到OB与OD的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．
【解答】解：∵B（0，1），D（0，3），
∴OB＝1，OD＝3，
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD＝1：3，
∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9．
故选：C．
4．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2
【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2．
故选：D．
5．（3分）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝，
在Rt△ACD中，AD＝，
∴AB：AD＝：＝，
故选：B．
6．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＝﹣2时，函数值最大，
又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
7．（3分）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减．
【解答】解：原式＝（﹣2）2×﹣（﹣2）×﹣3
＝4+2﹣3
＝3，
故选：A．
8．（3分）在大力发展现代化农业的形势下，现有A、B两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量
100
300
500
1000
3000
A
出芽率
0.99
0.94
0.96
0.98
0.97
B
出芽率
0.99
0.95
0.94
0.97
0.96
下面有三个推断：
①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以A、B两种新玉米种子出芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97；
③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【分析】根据概率的定义和频率的含义，可以判断各个小题中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，实验种子为100，数量太少，出现的频率不能作为A、B两种新玉米种子出芽的概率，故①错误；
随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97，故②正确；
在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．故③正确；
故选：D．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线G的开口向下
B．抛物线G的对称轴是直线x＝﹣2
C．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）
D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由表格可知，
该函数的对称轴是直线x＝＝﹣，故选项B错误，
该抛物线开口向上，在x＝﹣时，取得最小值，故选项A错误，
当x＞﹣时，y随x的增大而最大，故选项D错误，
当x＝0时，y＝4，则抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4），故选项C正确；
故选：C．
10．（3分）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
【分析】根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点D坐标，再根据旋转的性质可得旋转后点D的坐标．
【解答】解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得
D点坐标为（，），即（1，1）．
每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60＝2700°，
2700°÷360＝7.5周，
OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），
故选：B．
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．（3分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：
移植的棵数n
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵数m
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的频率
0.865
0.904
0.888
0.875
0.882
0.878
0.879
0.881
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 0.881 ．
【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.881．
故答案为：0.881．
12．（3分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是 8 m．
【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．
【解答】解：∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE＝AC：DE，
即1：5＝1.6：DE，
∴DE＝8（m），
故答案为：8．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作直线（b为常数且b＜2）的垂线，垂足为点Q，则sin∠OPQ＝ ．
【分析】利用对顶角相等及等角的余角相等可得出∠BAO＝∠BPQ，即∠BAO＝∠OPQ，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，利用勾股定理可求出AB的长，再在△OAB中，利用sin∠BAO＝可求出sin∠OPQ的值，此题得解．
【解答】解：∵∠PBQ＝∠ABO，∠PBQ+∠BPQ＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠BPQ，即∠BAO＝∠OPQ．
当x＝0时，y＝×0+b＝b，
∴点B的坐标为（0，b），
∴OB＝|b|；
当y＝0时，x+b＝0，解得：x＝﹣2b，
∴点A的坐标为（﹣2b，0），
∴OA＝|2b|．
∴AB＝＝|b|．
在△OAB中，sin∠BAO＝＝＝，
∴sin∠OPQ＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，已知函数y＝与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+＝0的解为 x＝﹣3 ．
【分析】先根据点P的纵坐标为1求出x的值，再把于x的方程ax2+bx+＝0化为于x的方程ax2+bx＝﹣的形式，此方程就化为求
函数y＝与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点的横坐标，由求出的P点坐标即可得出结论．
【解答】解：∵P的纵坐标为1，
∴1＝﹣，
∴x＝﹣3，
∵ax2+bx+＝0化为关于x的方程ax2+bx＝﹣的形式，
∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，
∴x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
15．（3分）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ﹣ ．
【分析】根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以解决．
【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，
故答案为：﹣．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）（1）计算：4sin30°﹣cos45°tan30°+2sin60°；
（2）计算：．
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算，最后根据二次根式的加减进行计算即可；
（2）先根据积的乘方和二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝4×﹣﹣+2×
＝2﹣1﹣1+
＝；
（2）原式＝[（+2）×（﹣2）]2021×（﹣2）﹣3×（1﹣）
＝（﹣1）2021×（﹣2）﹣3+9
＝﹣1×（﹣2）﹣3+9
＝﹣+2﹣3+9
＝11﹣4．
17．（9分）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
①求n的取值范围；
②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）根据方程得出Δ＝m2﹣4n＝0，变形即可；
（2）①根据方程得到Δ＝（﹣4）2﹣4n＞0，解得即可；
②在n的取值范围内取n＝3，然后解方程即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4n＝0，
∴n＝m2；
（2）①∵方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
∴Δ＝（﹣4）2﹣4n＞0，
解得n＜4；
∴n的取值范围为n＜4．
②∵n＜4，
∴n可以是3，
此时方程为x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
解得x1＝3，x2＝1．
18．（9分）根据公安部交管局下发的通知，春节前开展一次“一带一盔”安全守护行动，其中要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔，某日交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
（1）统计表中m的值为 10 ；
（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的度数为 180° ；
年龄x（岁）
人数
男性占比
x＜20
4
50%
20≤x＜30
m
60%
30≤x＜40
25
60%
40≤x＜50
8
75%
x≥50
3
100%
（3）若从年龄在“x＜20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男性和1名女性的概率．
【分析】（1）先根据表格中的数据可得统计表中m的值；
（2）由360°乘以年龄在“30≤x＜40”部分所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男性和1名女性的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）m＝50﹣4﹣25﹣8﹣3＝10，
故答案为：10；
（2）年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝180°，
故答案为：180°；
（3）年龄在“x＜20”的4人中有2名男性，2名女性，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男性和1名女性的结果有8种，
∴恰好抽到1名男性和1名女性的概率为＝．
19．（9分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE．
（1）若AD•AB＝AE•AC．求证：△ADE∽△ACB；
（2）若AB＝8，AC＝6，AD＝3，直接写出：当AE＝ 或4 时，△ADE与△ACB相似．
【分析】（1）根据相似三角形的判定可以推出△ADE∽△ACB．
（2）分两种情况：若△ADE∽△ACB，则，若△ADE∽△ABC，则，则可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AD•AB＝AE•AC，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：若△ADE∽△ACB，则，
即，
∴AE＝4．
若△ADE∽△ABC，则，
即，
∴AE＝．
故答案为：．
20．（9分）【材料阅读】2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度，其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个标杆，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．
【问题解决】某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山顶标杆顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
请你计算该山的海拔高度（要计算球气差，结果精确到0.01m）．
【分析】如图，过点C作CH⊥BE于H．解直角三角形求出DB，加上海拔高度，加上球气差即可．
【解答】解：如图，过点 C 作 CH⊥BE 于点 H，
由题意，得 AB＝CH＝800m，AC＝BH＝1.5m，
在 Rt△ECH 中，EH＝CH⋅tan37°≈600（m），
又 DE＝2，
∴DB＝EH﹣DE+BH＝599.5（m），
由题意，得 ，
∴599.5+0.043+1800≈2399.54（m），
故山的海拔高度为 2399.54m．
21．（9分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4米，宽AB＝3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米．
（1）按图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝ax2+c（a≠0）表示．直接写出抛物线的函数表达式 ．
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户每平方米的成本为50元．已知GM＝2米，直接写出：每个B型活动板房的成本是 500 元．（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场信息，这样的B型活动板房公司每月最多能生产160个，若以单价650元销售B型活动板房，每月能售出100个；若单价每降低10元，每月能多售出20个这样的B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据图形和直角坐标系可得点D和点E的坐标，代入y＝ax2+c，即可求解；
（2）根据M和N的横坐标相等，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，即可求解；
（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵长方形的长 AD＝4，宽 AB＝3，
抛物线的最高点 E 到 BC 的距离为 4，
∴OH＝AB＝3，EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，E（0，1），D（2，0），
由题意知抛物线的函数表达式为 y＝ax2+1，把点 D（2，0）代入，
得 ，
∴该抛物线的函数表达式为 ，
故答案为：；
（2）∵GM＝2，
∴OM＝OG＝1，
∵当 x＝1 时，，
∴，
∴，
∴，
∴每个B型活动板房的成本是 （元），
故答案为：500；
（3）根据题意，得 ＝﹣2（n﹣600）2+20000，
∵每月最多能生产 160 个B型活动板房，
∴，
解得 n≥620，
∵﹣2＜0，
∴n≥620 时，w 随 n 的增大而减小，
∴当 n＝620 时，w 有最大值，且最大值为 19200元．
答：公司将销售单价 n 定为 620 元时，每月销售B型活动板房所获利润 w 最大，最大利润是 19200 元．
22．（10分）如图，已知抛物线经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）直接写出：b＝ 2 ，c＝ 1 ；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点 A（0，1），B（﹣9，10）代入，即可求解析式；
（2）设点 ，则 E（m，﹣m+1），S四边形AECP＝S△AEC+S△APC＝﹣（m+）2+，当 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 ，此时点 ；
（3）求出∠PCF＝45°．∠EAF＝45°，则∠PCF＝∠EAF，设 Q（t，1）且 ，AC＝6，，分两种情况讨论：①当△CPQ∽△ABC 时，Q（﹣4，1）；②当△CQP∽△ABC时，Q（3，1）．
【解答】解：（1）将点 A（0，1），B（﹣9，10）代入，
∴，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∴b＝2，c＝1，
故答案为：2，1；
（2）∵AC∥x 轴，A（0，1），
∴，
∴x1＝6，x2＝0，
∴C （﹣6，1），
∵A（0，1），B（﹣9，10），
∴直线 AB 的解析式为 y＝﹣x+1，
设点 ，则 E（m，﹣m+1），
∴，
∵AC⊥EP，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC+S△APC
＝×AC×EF+
＝×AC×（EF+PF）
＝×AC×PE
＝×6×（﹣m2﹣3m）
＝﹣m2﹣9m
＝﹣（m+）2+，
∵﹣6＜m＜0，
当 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 ，
此时点 ；
（3）存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
∵，
∴P（﹣3，﹣2），
∴PF＝yF﹣yP＝3，CF＝xF﹣xC＝3，
∴PF＝CF，
∴∠PCF＝45°．
同理可得：∠EAF＝45°，
∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线 AC 上存在满足条件的 Q，
设 Q（t，1），
∵A（0，1），B（﹣9，10），C （﹣6，1），
∴，AC＝6，，
以 C，P，Q 为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t＝﹣4，
∴Q（﹣4，1）；
②当△CQP∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t＝3，
∴Q（3，1）；
综上所述：Q点坐标为（﹣4，1）或（3，1）．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）易证PB'∥AB．所以∠B'PA＝∠BAP，又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，所以∠B'PA＝∠B'AP．故PB′＝AB′；
（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，则△ABC为等腰直角三角形．再证明△CDP∽△B'DA，可得＝＝．设B'D＝b，则CD＝b．则AD＝a﹣b，PD＝﹣b，由＝解得b＝．再过点D作DE⊥AB'于点E，则△B'DE为等腰直角三角形．所以B'E＝sin45°×B'D＝，AE＝AB﹣B'E＝，AD＝．故cos∠B'AC＝cos∠EAD＝即可求；
（3）分①点P在BC外的圆弧上；②点P在BC上两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵PB'⊥AC，∠CAB＝90°，
∴PB'∥AB．
∴∠B'PA＝∠BAP，
又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，
∴∠B'PA＝∠B'AP．
故PB′＝AB′．
（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，如答图1所示，
则△ABC为等腰直角三角形，
∴BC＝，PC＝，PB＝，
由折叠可知，∠PB'A＝∠B＝45°，
又∠ACB＝45°，
∴∠PB'A＝∠ACB，
又∠CDP＝∠B'DA，
∴△CDP∽△B'DA．
∴＝＝．①
设B'D＝b，则CD＝b．
∴AD＝AC﹣CD＝a﹣b，
PD＝PB'﹣B'D＝PB﹣B'D＝﹣b，
由①＝得：＝．
解得：b＝．
过点D作DE⊥AB'于点E，则△B'DE为等腰直角三角形．
∴B'E＝sin45°×B'D＝＝＝，
∴AE＝AB'﹣B'E＝AB﹣B'E＝a﹣＝．
又AD＝AC﹣CD＝a﹣b＝a﹣＝．
∴cos∠B'AC＝cos∠EAD＝＝＝．
（3）存在点P，使得CB'＝AB＝m．理由如下：
∵∠ACB＝30°，∠CAB＝90°．
∴BC＝2m．
①如答图2所示，
由题意可知，点B'的运动轨迹为以A为圆心、AB为半径的半圆A．
当P为BC中点时，PC＝BP＝AP＝AB'＝m，
又∠B＝60°，
∴△PAB为等边三角形．
又由折叠可得四边形ABPB'为菱形．
∴PB'∥AB，
∴PB'⊥AC．
又∵AP＝AB'，
则易知AC为PB'的垂直平分线．
故CB'＝PC＝AB＝m，满足题意．
此时，＝＝．
②当点B'落在BC上时，如答图3所示，
此时CB'＝AB＝m，
则PB'＝＝，
∴PC＝CB'+PB'＝m+＝，
∴＝＝．
综上所述，的值为或．
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