数学沪科版第24章 圆综合与测试课后测评

沪科版九年级数学下册第24章圆重点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列语句判断正确的是（　　）

A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形

B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形

D．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

2、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且ABCD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（　　）

A．5 B． C． D．

3、在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽cm，则水的最大深度为（    ）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm

4、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

5、如图，AB，CD是⊙O的弦，且，若，则的度数为（    ）

A．30° B．40° C．45° D．60°

6、如图，△ABC外接于⊙O，∠A＝30°，BC＝3，则⊙O的半径长为（    ）

A．3 B． C． D．

7、如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（　　　　）

A．AM=BM B．CM=DM C． D．

8、在半径为6cm的圆中，的圆心角所对弧的弧长是（    ）

A．cm B．cm C．cm D．cm

9、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

10、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A．  B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，把分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果的周长为，那么该正六边形的边长是______．

2、将点绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点，当点恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为________．

3、如图，在平行四边形中，，，，以点为圆心，为半径的圆弧交于点，连接，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留）

4、一个直角三角形的斜边长cm，两条直角边长的和是6cm，则这个直角三角形外接圆的半径为______cm，直角三角形的面积是________．

5、如图，在等腰直角中，已知，将绕点逆时针旋转60°，得到，连接，若，则________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．

已知点N（3，0），A（1，0），，．

（1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是______；

②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；

（2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在的“二分点”，直接写出r的取值范围．

2、如图，在等边中，D为BC边上一点，连接AD，将沿AD翻折得到，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的大小；

（3）猜想CF，BF，AF之间的数量关系，并证明．

3、如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若，，求的半径．

4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．

（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；

（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．

5、如图，已知在中，，D、E是BC边上的点，将绕点A旋转，得到，连接．

（1）当时，时，求证：；

（2）当时，与有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．

（3）在（2）的结论下，当，BD与DE满足怎样的数量关系时，是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

根据等边三角形的对称性判断即可．

【详解】

∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，

∴B，C，D都不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了等边三角形的对称性，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．

2、D

【分析】

连接OF，OE，OG，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB平分，OC平分，利用平行线的性质及角之间的关系得出，利用勾股定理得出，再由三角形的等面积法即可得．

【详解】

解：连接OF，OE，OG，

∵AB、BC、CD分别与相切，

∴，，，且，

∴OB平分，OC平分，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

3、B

【分析】

连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．

【详解】

解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：

∵AB=8cm，

∴BD=AB=4（cm），

由题意得：OB=OC==5cm，

在Rt△OBD中，OD=（cm），

∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），

即水的最大深度为2cm，

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

4、B

【分析】

根据“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”及“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，由此问题可求解．

【详解】

解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；

B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；

C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；

D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．

5、B

【分析】

由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．

6、A

【分析】

分析：连接OA、OB，根据圆周角定理，易知∠AOB=60°；因此△ABO是等边三角形，即可求出⊙O的半径．

【详解】

解：连接BO，并延长交⊙O于D，连结DC，

∵∠A=30°，

∴∠D=∠A=30°，

∵BD为直径，

∴∠BCD=90°，

在Rt△BCD中，BC=3，∠D=30°，

∴BD=2BC=6，

∴OB=3．

故选A．

【点睛】

本题考查了圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质，掌握圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质是解题的关键．

7、B

【分析】

根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．

【详解】

解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，

∴AM=BM，，，

即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，

当根据已知条件得CM和DM不一定相等，

故选B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．

8、C

【分析】

直接根据题意及弧长公式可直接进行求解．

【详解】

解：由题意得：的圆心角所对弧的弧长是；

故选C．

【点睛】

本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．

9、B

【分析】

由切线的性质可推出，．再根据直角三角形全等的判定条件“HL”，即可证明，即得出．

【详解】

∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，

∴，，

∴在和中，，

∴，

∴．

故选：B

【点睛】

本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．

10、B

【分析】

根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析

【详解】

解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；

C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

故选B

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．

二、填空题

1、6

【分析】

如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，证明△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，再求出圆的半径即可．

【详解】

解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．

∵正六边形ABCDEF，

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，

∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，

∵的周长为，

∴的半径为，

正六边形的边长是6；

【点睛】

本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定和性质等知识，明确正六边形的边长和半径相等是解题的关键．

2、或

【分析】

设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，由全等三角形求出点坐标，由点在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G的坐标．

【详解】

设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，

如图所示：

∵，

∴，，

∵点A绕点G顺时针旋转90°后得到点，

∴，，

∴，

∵轴，轴，

∴，

∴，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得：，

解得：或，

∴或．

故答案为：，．

【点睛】

本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键．

3、

【分析】

过点C作于点H，根据正弦定义解得CH的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．

【详解】

解：过点C作于点H，

在平行四边形中，

平行四边形的面积为：，

图中黑色阴影部分的面积为：

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

4、    4   

【分析】

设一直角边长为x，另一直角边长为（6-x）根据勾股定理，解一元二次方程求出，根据这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，可求外接圆的半径为cm，利用三角形面积公式求即可．

【详解】

解：设一直角边长为x，另一直角边长为（6-x），

∵三角形是直角三角形，

∴根据勾股定理，

整理得：，

解得，

这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，

∴外接圆的半径为cm，

三角形面积为．

故答案为；．

【点睛】

本题考查直角三角形的外接圆，直角所对弦性质，勾股定理，一元二次方程，三角形面积，掌握以上知识是解题关键．

5、

【分析】

如图连接并延长，过点作交于点，，由题意可知为等边三角形，，，在中；在中计算求解即可．

【详解】

解：如图连接并延长，过点作交于点，

由题意可知，，为等边三角形

在中

在中

故答案为：．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形，勾股定理，含的直角三角形等知识．解题的关键在于做辅助线构造直角三角形．

三、解答题

1、（1）①B和C；②或；（2）或

【分析】

（1）①分别找出点A，B，C到线段ON的最小值和最大值，是否满足“二分点”定义即可；

②对a的取值分情况讨论：、、和，根据“二分点”的定义可求解；

（2）设线段AN上存在的“二分点”为，对的取值分情况讨论、，、，和，根据“二分点”的定义可求解．

【详解】

（1）①

∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，

点B到ON的最小值为，最大值为，

∴点B是线段ON的“二分点”，

点C到ON的最小值为1，最大值为，

∴点C是线段ON的“二分点”，

故答案为：B和C；

②若时，如图所示：

点C到OD的最小值为，最大值为，

∵点C为线段OD的“二分点”，

∴，

解得：；

若，如图所示：

点C到OD的最小值为1，最大值为，满足题意；

若时，如图所示：

点C到OD的最小值为1，最大值为，

∵点C为线段OD的“二分点”，

∴，

解得：（舍）；

若时，如图所示：

点C到OD的最小值为，最大值为，

∵点C为线段OD的“二分点”，

∴，

解得：或（舍），

综上所得：a的取值范围为或；

（2）

如图所示，设线段AN上存在的“二分点”为，

当时，最小值为：，最大值为：，

∴，即，

∵，

∴

∴；

当，时，最小值为：，最大值为：，

∴∴，即，

∵，

∴，

∵，

∴不存在；

当，时，最小值为：，最大值为：，

∴，即，

∴，

∵，

∴不存在；

当时，最小值为：，最大值为：，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

综上所述，r的取值范围为或．

【点睛】

本题考查坐标上的两点距离，解一元二次方程解不等式以及点到圆的距离求最值，根据题目所给条件，掌握“二分点”的定义是解题的关键．

2、（1）20°；（2）；（3）AF= CF+BF，理由见解析

【分析】

（1）由△ABC是等边三角形，得到AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，则∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，，∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；

（2）同（1）求解即可；

（3）如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG，先证明△AEF≌△ACF得到∠AFE=∠AFC，然后证明∠AFE=∠AFC=60°，得到∠BFC=120°，即可证明F、C、G三点共线，得到△AFG是等边三角形，则AF=GF=CF+CG=CF+BF．

【详解】

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，

由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，

∴∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，

∴，

∴∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°，

由折叠的性质可知，，AC=AE，

∴ ，AB=AE，

∴，

∴；

（3）AF= CF+BF，理由如下：

如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG，

∴AF=AG，∠FAG=60°，∠ACG=∠ABF，BF=CG

在△AEF和△ACF中，

，

∴△AEF≌△ACF（SAS），

∴∠AFE=∠AFC，

∵∠CBF+∠BCF+∠BFD+∠CFD=180°，∠CAF+∠CFA+∠ACD+∠CFD=180°，

∴∠BFD=∠ACD=60°，

∴∠AFE=∠AFC=60°，

∴∠BFC=120°，

∴∠BAC+∠BFC=180°，

∴∠ABF+∠ACF=180°，

∴∠ACG+∠ACF=180°，

∴F、C、G三点共线，

∴△AFG是等边三角形，

∴AF=GF=CF+CG=CF+BF．

【点睛】

本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．

3、（1）证明见解析；（2）．

【分析】

（1）连接，只要证明即可．此题可运用三角形的中位线定理证，因为，所以．

（2）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理可分别求出的长和、的长，即可根据中位线性质求出的长，即的半径长．

【详解】

（1）证明：连接．

因为是的中点，是的中点，

，

．

，

．

，是圆的半径，

是的切线．

（2）如图，，，

，，

，且，

，

，

且，

∴，

，

，

∴ ，

的半径长为．

【点睛】

本题考查了切线的判定、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．

4、

（1）65°

（2）

【分析】

（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC=50°，根据旋转的性质得到∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；

（2）根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到BE=BC=6，EF=AC=8，根据勾股定理即可得到结论．

【小题1】

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，

∴∠ABC=50°，

∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，

∴∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，

∴∠BAF=∠BFA=（180°-50°）=65°；

【小题2】

∵∠C=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，

∴BE=BC=6，EF=AC=8，

∴AE=AB-BE=10-6=4，

∴AF=．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

5、（1）见解析；（2）∠DAE＝∠BAC，见解析；（3）DE＝BD，见解析

【分析】

（1）根据旋转的性质可得AD＝AD′，∠CAD′＝∠BAD，然后求出∠D′AE＝60°，从而得到∠DAE＝∠D′AE，再利用“边角边”证明△ADE和△AD′E全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）根据旋转的性质可得AD＝AD′，再利用“边边边”证明△ADE和△AD′E全等，然后根据全等三角形对应角相等求出∠DAE＝∠D′AE，然后求出∠BAD＋∠CAE＝∠DAE，从而得解；

（3）求出∠D′CE＝90°，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍可得D′E＝CD′，再根据旋转的性质解答即可．

【详解】

（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，

∴AD＝AD′，∠CAD′＝∠BAD，

∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，

∴∠D′AE＝∠CAD′＋∠CAE

＝∠BAD＋∠CAE

＝∠BAC−∠DAE

＝120°−60°

＝60°，

∴∠DAE＝∠D′AE，

在△ADE和△AD′E中，

，

∴△ADE≌△AD′E（SAS），

∴DE＝D′E；

（2）解：∠DAE＝ ∠BAC．

理由如下：在△ADE和△AD′E中，

，

∴△ADE≌△AD′E（SSS），

∴∠DAE＝∠D′AE，

∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE，

∴∠DAE＝∠BAC；

（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝∠ACD′＝45°，

∴∠D′CE＝45°＋45°＝90°，

∵△D′EC是等腰直角三角形，

∴D′E＝CD′，

由（2）DE＝D′E，

∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，

∴BD＝C′D，

∴DE＝BD．

【点睛】

本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键．