沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试一课一练

沪科版九年级数学下册第24章圆定向练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C．  D．

2、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（    ）

A．直径所对圆周角为 B．如果点在圆上，那么点到圆心的距离等于半径

C．直径是最长的弦 D．垂直于弦的直径平分这条弦

3、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（    ）

A．50° B．60° C．40° D．30°

4、如图，是△ABC的外接圆，已知，则的大小为（      ）

A．55° B．60° C．65° D．75°

5、如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转90°得到，则的度数为（    ）

A．105° B．120° C．135° D．150°

6、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（    ）

A．22.5° B．45° C．90° D．67.5°

7、将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B，与直角三角板相切于点C，且，则光盘的直径是（    ）

A．6 B． C．3 D．

8、下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

9、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

10、如图，是的直径，、是上的两点，若，则（    ）

A．15° B．20° C．25° D．30°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，将Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与零刻度线的一端重合，∠ABC＝38°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是 ___．

2、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则的长为__．

3、如图，点C是半圆上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使在正方形内），连OE，若AB＝4cm，则OE的最大值为_____cm．

4、一个五边形共有__________条对角线．

5、已知60°的圆心角所对的弧长是3.14厘米，则它所在圆的周长是______厘米．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点．

（1）求证：．

（2）若，，求BD．

2、元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，OA经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C两点，点B的坐标为，点D在上，且，求OA的半径和圆心A的坐标．

元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程：

解：如图2，连接BC．作AELOB于E、AF⊥OC于F．

∴、（依据是  ①  ）

∵，

∴（依据是  ②  ）．

∵，．

∴BC是的直径（依据是  ③  ）．

∴

∵，

∴A的坐标为（  ④  ）的半径为  ⑤ 

3、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，半径OD弦BC．

（1）求证：弧AD=弧CD；

（2）连接AC、BD相交于点F，AC与OD相交于点E，连接CD，若⊙O的半径为5，BC=6，求CD和EF的长．

4、如图，在中，，，将绕着点A顺时针旋转得到，连接BD，连接CE并延长交BD于点F．

（1）求的度数；

（2）若，且，求DF的长．

5、请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Binmi （973-1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi详本出版了俄文版《阿基米德全集》．第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），， 是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．

下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．

证明：如图2，在上截取，连接和．

是的中点，

…

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明部分；

（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是_________．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【详解】

解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2、A

【分析】

定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.

【详解】

A选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为，A选项符合要求；

B、C选项，根据圆的定义可以得到；

D选项，是垂径定理；

故选：A

【点睛】

本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.

3、A

【分析】

根据旋转的性质求解再利用三角形的内角和定理求解再利用角的和差关系可得答案.

【详解】

解： 将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，

∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，

故选A

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.

4、C

【分析】

由OA=OB，，求出∠AOB=130°，根据圆周角定理求出的度数．

【详解】

解：∵OA=OB，，

∴∠BAO=．

∴∠AOB=130°．

∴=∠AOB=65°．

故选：C．

【点睛】

此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．

5、B

【分析】

由题意易得，然后根据三角形外角的性质可求解．

【详解】

解：由旋转的性质可得：，

∴；

故选B．

【点睛】

本题主要考查旋转的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．

6、B

【分析】

根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．

7、D

【分析】

如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，由切线的性质可知∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，即可证明Rt△OCA≌Rt△OBA得到∠OAC=∠OAB，则，∠AOB=30°，推出OA=2AB=6，利用勾股定理求出，即可得到圆O的直径为．

【详解】

解：如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，

∵AC，AB都是圆O的切线，

∴∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，

又∵OA=OA，

∴Rt△OCA≌Rt△OBA（HL），

∴∠OAC=∠OAB，

∵∠DAC=60°，

∴，

∴∠AOB=30°，

∴OA=2AB=6，

∴，

∴圆O的直径为，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟知切线的性质是解题的关键．

8、A

【详解】

解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，此项符合题意；

B、是中心对称图形，不是轴对称图形，此项不符题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）是解题关键．

9、B

【分析】

由切线的性质可推出，．再根据直角三角形全等的判定条件“HL”，即可证明，即得出．

【详解】

∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，

∴，，

∴在和中，，

∴，

∴．

故选：B

【点睛】

本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．

10、C

【分析】

根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．

【详解】

解：∵∠BOC=130°，

∴∠BDC=∠BOC=65°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADC=90°-65°=25°，

故选：C．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

二、填空题

1、76°或142°

【分析】

设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，根据圆周角定理得∠BOD=2∠BCD，根据等腰三角形的性质分BC为底边和BC为腰求∠BCD的度数即可．

【详解】

解：设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，

∵Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，

∴A、C、B、D四点共圆，圆心为点O，

∴∠BOD=2∠BCD，

①若BC为等腰三角形的底边时，如图射线CD1，则∠BCD1=∠ABC=38°，

连接OD1，则∠BOD1=2∠BCD1=76°；

②若BC为等腰三角形的腰时，

当∠ABC为顶角时，如图射线CD2，则∠BCD2=（180°-∠ABC）÷2=71°，

连接OD2，则∠BOD2=2∠BCD2=142°，

当∠ABC为底角时，∠BCD=180°-2∠ABC=104°，不符合题意，舍去，

综上，点D在量角器上对应的度数是76°或142°，

故答案为：76°或142°．

【点睛】

本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理，利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．

2、##

【分析】

连接OA、OC，先求出∠ABC的度数，然后得到∠AOC，再由弧长公式即可求出答案．

【详解】

解：连接OA、OC，如图，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°，

∴，

∴，

∴；

故答案为：．

【点睛】

本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式．

3、

【分析】

如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，通过△OCD≌△OBE（SAS），可得OE＝OD，通过旋转观察如图可知当DO⊥AB时，DO最长，此时OE最长，设DO与⊙O交于点M，连接CM，先证明△MED≌△MEB，得MD＝BM．再利用勾股定理计算即可．

【详解】

解：如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，

∵四边形BCDE是正方形，

∴∠BCD＝∠CBE＝90°，CD＝BC＝BE＝DE，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠BCD+∠OCB＝∠CBE+∠OBC，即∠OCD＝∠OBE，

∴△OCD≌△OBE（SAS），

∴OE＝OD，

根据旋转的性质，观察图形可知当DO⊥AB时，DO最长，即OE最长，

∵∠MCB＝∠MOB＝×90°＝45°，

∴∠DCM＝∠BCM＝45°，

∵四边形BCDE是正方形，

∴C、M、E共线，∠DEM＝∠BEM，

在△EMD和△EMB中，

，

∴△MED≌△MEB（SAS），

∴DM＝BM＝＝＝2（cm），

∴OD的最大值＝2+2，即OE的最大值＝2+2；

故答案为：（2+2）cm．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，解题的关键是OD取得最大值时的位置，学会通过特殊位置探究得出结论．

4、5

【分析】

由n边形的对角线有： 条，再把代入计算即可得．

【详解】

解：边形共有条对角线，

五边形共有条对角线．

故答案为：5

【点睛】

本题考查的是多边形的对角线的条数，掌握n边形的对角线的条数是解题的关键．

5、18.84

【分析】

先根据弧长公式求得πr，然后再运用圆的周长公式解答即可．

【详解】

解：设圆弧所在圆的半径为厘米，

则，

解得，

则它所在圆的周长为（厘米），

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了弧长公式、圆的周长公式等知识点，牢记弧长公式是解答本题的关键．

三、解答题

1、（1）见详解；（2）

【分析】

（1）由题意及垂径定理可知AC垂直平分BD，进而问题可求解；

（2）由题意易得，然后由（1）可知△ABD是等边三角形，进而问题可求解．

【详解】

（1）证明：∵AC是直径，点C是劣弧BD的中点，

∴AC垂直平分BD，

∴；

（2）解：∵，，

∴，

∵，

∴△ABD是等边三角形，

∵，

∴．

【点睛】

本题主要考查垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键．

2、垂径定理，圆周角定理，圆周角定理，（1，），2

【分析】

根据垂径定理，圆周角定理依次分析解答．

【详解】

解：如图2，连接BC．作AE⊥OB于E、AF⊥OC于F．

∴、（依据是垂径定理）

∵，

∴（依据是圆周角定理）．

∵，．

∴BC是的直径（依据是圆周角定理）．

∴，

∵，

∴A的坐标为（1，），的半径为2，

故答案为：垂径定理，圆周角定理，圆周角定理，（1，），2．

【点睛】

此题考查了圆的知识，垂径定理、圆周角定理，熟记各定理知识并综合应用是解题的关键．

3、（1）见解析；（2）CD=，EF=1．

【分析】

（1）连接OC，根据圆的性质，得到OB=OC；根据等腰三角形的性质，得到；根据平行线的性质，得到；在同圆和等圆中，根据相等的圆心解所对的弧等即得证．

（2）根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB=90°，根据平行线的性质求得∠AEO=∠ACB=90°，利用勾股定理求出AC=8，根据垂径定理求得EC=AE=4，根据中位线定理求出OE，在Rt△CDE中，根据勾股定理求出CD，因为，所以△EDF∽△BCF，最后根据似的性质，列方程求解即可．

【详解】

（1）解：连结OC．

∵

∴∠1=∠B

∠2=∠C

∵OB =OC

∴∠B=∠C

∴∠1=∠2

∴弧AD=弧CD

（2）∵AB是的直径

∴∠ACB=90°

∵

∴∠AEO=∠ACB=90°

Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∵BC=6，AB=10

∴AC=8

∵半径OD⊥AC于E

∴EC=AE=4

  OE=

∴ED=2 

由勾股定理得，CD=

∵

∴△EDF∽△CBF

∴

设EF=x，则FC=4-x

∴EF=1，经检验符合题意.

【点睛】

本题考查了圆的综合题，圆的有关性质：圆的半径相等；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧等；直径所对的圆周角是直角；垂径定理；平行线的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质等知识，正确理解圆的相关性质是解题的关键．

4、（1）45°；（2）

【分析】

（1）根据旋转的性质得，，，，通过等量代换及三角形内角和得，根据四点共圆即可求得；

（2）连接EB，先证明出，根据全等三角形的性质得，在中利用勾股定理，即可求得．

【详解】

解：（1）由旋转可知：

，，，，

∴，，．

由三角形内角和定理得，

∴点A，D，F，E共圆．

∴．

（2）连接EB，

∵，

∴．

∵，

∴．

又∵，，

∴．

∴，．

∴．

在中，，，，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、三角形全等判定及性质、勾股定理、三角形内角和等，解题的关键是掌握旋转的性质．

5、

（1）证明见解析；

（2）．

【分析】

（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；

（2）首先证明，进而得出，以及，进而求出的长即可得出答案．

（1）

证明：如图2，在上截取，连接，，和．

是的中点，

．

在和中

，

，

，

又，

，

；

（2）

解：如图3，截取，连接，，，

由题意可得：，

∵

∴，

在和中

，

，

，

，

，则，

，

，

∵，

∴

则

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了圆与三角形综合，涉及了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．