沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试课后测评
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沪科版九年级数学下册第24章圆必考点解析
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放,直角三角板的直角边AD与直尺的一边重合,光盘与直尺相切于点B,与直角三角板相切于点C,且,则光盘的直径是( )
A.6 B. C.3 D.
2、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的,其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3、如图,PA是的切线,切点为A,PO的延长线交于点B,若,则的度数为( ).
A.20° B.25° C.30° D.40°
4、将等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合,那么n的最小值是( )
A.60 B.90 C.120 D.180
5、下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
6、在下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
7、如图,在Rt△ABC中,,,,以边上一点为圆心作,恰与边,分别相切于点,,则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
8、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”,可以直接推导出的命题是( )
A.直径所对圆周角为 B.如果点在圆上,那么点到圆心的距离等于半径
C.直径是最长的弦 D.垂直于弦的直径平分这条弦
9、如图,△ABC外接于⊙O,∠A=30°,BC=3,则⊙O的半径长为( )
A.3 B. C. D.
10、下列说法正确的个数有( )
①方程的两个实数根的和等于1;
②半圆是弧;
③正八边形是中心对称图形;
④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件;
⑤如果反比例函数的图象经过点,则这个函数图象位于第二、四象限.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图,AB为⊙O的弦,∠AOB=90°,AB=a,则OA=______,O点到AB的距离=______.
2、如图AB为⊙O的直径,点P为AB延长线上的点,过点P作⊙O的切线PE,切点为M,过A、B两点分别作PE垂线AC、BD,垂足分别为C、D,连接AM,则下列结论正确的是______(写所有正确论的号)
①AM平分∠CAB;②;③若AB=4,∠APE=30°,则的长为;④若AC=3BD,则有tan∠MAP=.
3、如图,在⊙O中,∠BOC=80°,则∠A=___________°.
4、把一个正六边形绕其中心旋转,至少旋转________度,可以与自身重合.
5、如图,在Rt△ABC,∠B=90°,AB=BC=1,将△ABC绕着点C逆时针旋转60°,得到△MNC,那么BM=______________.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、如图1,点O为直线AB上一点,将两个含60°角的三角板MON和三角板OPQ如图摆放,使三角板的一条直角边OM、OP在直线AB上,其中.
(1)将图1中的三角板OPQ绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置,使得边OP在的内部且平分,此时三角板OPQ旋转的角度为______度;
(2)三角板OPQ在绕点O按逆时针方向旋转时,若OP在的内部.试探究与之间满足什么等量关系,并说明理由;
(3)如图3,将图1中的三角板MON绕点O以每秒2°的速度按顺时针方向旋转,同时将三角板OPQ绕点O以每秒3°的速度按逆时针方向旋转,将射线OB绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转,旋转后的射线OB记为OE,射线OC平分,射线OD平分,当射线OC、OD重合时,射线OE改为绕点O以原速按顺时针方向旋转,在OC与OD第二次相遇前,当时,直接写出旋转时间t的值.
2、如图,在△ABC中,∠C=90°,点O为边BC上一点.以O为圆心,OC为半径的⊙O与边AB相切于点D.
(1)尺规作图:画出⊙O,并标出点D(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)所作的图中,连接CD,若CD=BD,且AC=6.求劣弧的长.
3、综合与实践
“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具——三分角器.图1是它的示意图,其中与半圆的直径在同一直线上,且的长度与半圆的半径相等;与垂直于点,足够长.
使用方法如图2所示,若要把三等分,只需适当放置三分角器,使经过的顶点,点落在边上,半圆与另一边恰好相切,切点为,则,就把三等分了.
为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.
独立思考:(1)如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整.
已知:如图2,点,,,在同一直线上,,垂足为点,________,切半圆于.求证:________________.
探究解决:(2)请完成证明过程.
应用实践:(3)若半圆的直径为,,求的长度.
4、如图,在⊙O中,点E是弦CD的中点,过点O,E作直径AB(AE>BE),连接BD,过点C作CFBD交AB于点G,交⊙O于点F,连接AF.求证:AG=AF.
5、如图,已知等边内接于⊙O,D为的中点,连接DB,DC,过点C作AB的平行线,交BD的延长线于点E.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若AB的长为6,求CE的长.
-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
如图所示,设圆的圆心为O,连接OC,OB,由切线的性质可知∠OCA=∠OBA=90°,OC=OB,即可证明Rt△OCA≌Rt△OBA得到∠OAC=∠OAB,则,∠AOB=30°,推出OA=2AB=6,利用勾股定理求出,即可得到圆O的直径为.
【详解】
解:如图所示,设圆的圆心为O,连接OC,OB,
∵AC,AB都是圆O的切线,
∴∠OCA=∠OBA=90°,OC=OB,
又∵OA=OA,
∴Rt△OCA≌Rt△OBA(HL),
∴∠OAC=∠OAB,
∵∠DAC=60°,
∴,
∴∠AOB=30°,
∴OA=2AB=6,
∴,
∴圆O的直径为,
故选D.
【点睛】
本题主要考查了切线的性质,全等三角形的性质与判定,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,熟知切线的性质是解题的关键.
2、C
【分析】
利用中心对称图形的定义:旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形,即可判断出答案.
【详解】
解:A、不是中心对称图形,故A错误.
B、不是中心对称图形,故B错误.
C、是中心对称图形,故C正确.
D、不是中心对称图形,故D错误.
故选:C.
【点睛】
本题主要是考查了中心对称图形的定义,熟练掌握中心对图形的定义,是解决该题的关键.
3、B
【分析】
连接OA,如图,根据切线的性质得∠PAO=90°,再利用互余计算出∠AOP=50°,然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数.
【详解】
解:连接OA,如图,
∵PA是⊙O的切线,
∴OA⊥AP,
∴∠PAO=90°,
∵∠P=40°,
∴∠AOP=50°,
∵OA=OB,
∴∠B=∠OAB,
∵∠AOP=∠B+∠OAB,
∴∠B=∠AOP=×50°=25°.
故选:B.
【点睛】
本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.
4、C
【分析】
根据旋转对称图形的概念(把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角),找到旋转角,求出其度数.
【详解】
解:等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合,因而绕其中心旋转的最小度数是=120°.
故选C.
【点睛】
本题考查了根据旋转对称性,掌握旋转的性质是解题的关键.
5、C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【详解】
解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
C、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项符合题意;
D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不符合题意;
故选:C.
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
6、B
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的定义解答即可.
【详解】
解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
B既是中心对称图形又是轴对称图形,符合题意;
C. 是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
D. 既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,不符合题意.
故选B.
【点睛】
本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的定义.一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形叫作轴对称图形;把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形与另一个图形重合叫作中心对称图形.
7、A
【分析】
连结OC,根据切线长性质DC=AC,OC平分∠ACD,求出∠OCD=∠OCA==30°,利用在Rt△ABC中,AC=ABtanB=3×,在Rt△AOC中,∠ACO=30°,AO=ACtan30°=,利用三角形面积公式求出,,再求出扇形面积,利用割补法求即可.
【详解】
解:连结OC,
∵以边上一点为圆心作,恰与边,分别相切于点A, ,
∴DC=AC,OC平分∠ACD,
∵,,
∴∠ACD=90°-∠B=60°,
∴∠OCD=∠OCA==30°,
在Rt△ABC中,AC=ABtanB=3×,
在Rt△AOC中,∠ACO=30°,AO=ACtan30°=,
∴OD=OA=1,DC=AC=,
∴,,
∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°,
∴,
S阴影=.
故选择A.
【点睛】
本题考查切线长性质,锐角三角形函数,扇形面积,三角形面积,角的和差计算,割补法求阴影面积,掌握切线长性质,锐角三角形函数,扇形面积,三角形面积,角的和差计算,割补法求阴影面积是解题关键.
8、A
【分析】
定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理,分析各个选项即可.
【详解】
A选项,直径所在的圆心角是180°,直接可以由圆周角定理推导出:直径所对的圆周角为,A选项符合要求;
B、C选项,根据圆的定义可以得到;
D选项,是垂径定理;
故选:A
【点睛】
本题考查圆的基本性质,熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.
9、A
【分析】
分析:连接OA、OB,根据圆周角定理,易知∠AOB=60°;因此△ABO是等边三角形,即可求出⊙O的半径.
【详解】
解:连接BO,并延长交⊙O于D,连结DC,
∵∠A=30°,
∴∠D=∠A=30°,
∵BD为直径,
∴∠BCD=90°,
在Rt△BCD中,BC=3,∠D=30°,
∴BD=2BC=6,
∴OB=3.
故选A.
【点睛】
本题考查了圆周角性质,利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质,30°角所对直角三角形性质,掌握圆周角性质,利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质,30°角所对直角三角形性质是解题的关键.
10、B
【分析】
根据所学知识对五个命题进行判断即可.
【详解】
1、Δ=12-4×1=-3
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