沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试课堂检测

沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P． A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（   ）

A．20 m B．20m

C．（20 - 20）m D．（40 - 20）m

2、如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（　　　　）

A．AM=BM B．CM=DM C． D．

3、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（    ）cm．

A．3π B．6π C．12π D．18π

4、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A．  B．

C． D．

5、点P(－3，1)关于原点对称的点的坐标是（    ）

A．(－3，1) B．(3，1) C．(3，－1) D．(－3，－1)

6、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC=130°，则∠AOC的度数为（    ）

A．25° B．80° C．130° D．100°

7、在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切

C．相离 D．不确定

8、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（   ）

A．70° B．50° C．20° D．40°

9、下列各点中，关于原点对称的两个点是（　　）

A．（﹣5，0）与（0，5） B．（0，2）与（2，0）

C．（﹣2，﹣1）与（﹣2，1） D．（2，﹣1）与（﹣2，1）

10、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（　　）

A．5厘米 B．4厘米 C．厘米 D．厘米

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，把分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果的周长为，那么该正六边形的边长是______．

2、一块直角三角板的30°角的顶点A落在上，两边分别交于B、C两点，若弦BC长为4，则的半径为______．

3、到点的距离等于8厘米的点的轨迹是__．

4、如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆．

（1）点M的纵坐标为______；

（2）当最大时，点P的坐标为______．

5、如图，在中，，分别以、、边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为__________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．

（1）求证：AC为⊙O的切线；

（2）若⊙O半径为2，OD＝4．求线段AD的长．

2、如图1，图2，图3的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题．

（1）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是　   　对称图形（填“轴”或“中心”）．

（2）请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图2，3的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求：

①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影；

②图2中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图3中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形．

3、综合与实践

“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点，足够长．

使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则，就把三等分了．

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．

独立思考：（1）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整．

已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点，________，切半圆于．求证：________________．

探究解决：（2）请完成证明过程．

应用实践：（3）若半圆的直径为，，求的长度．

4、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC

求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC

作法：①以点A为圆心， AB长为半径画圆；

②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；

③连接DA并延长交⊙A于点P

点P即为所求

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明

证明：连接PC，BD

∵AB＝AC，

∴点C在⊙A上

∵BC＝BD，

∴∠_________＝∠_________

∴∠BAC＝∠CAD

∵点D，P在⊙A上，

∴∠CPD＝∠CAD（______________________） （填推理的依据）

∴∠APC＝∠BAC

5、在所给的的正方形网格中，按下列要求操作：（单位正方形的边长为1）

（1）请在第二象限内的格点上找一点，使是以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，求点的坐标；

（2）画出以点为中心，旋转180°后的，并求的面积．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．

【详解】

∵人工湖面积尽量小，

∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，

过点B作BC ⊥，垂足为C，

∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，

∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，

∴OC=CB=CP=20，

∴OP=40，OB==，

∴最小的距离PE=PO-OE=40 - 20（m），

故选D．

【点睛】

本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．

2、B

【分析】

根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．

【详解】

解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，

∴AM=BM，，，

即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，

当根据已知条件得CM和DM不一定相等，

故选B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．

3、B

【分析】

利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．

【详解】

解：它的侧面展开图的面积＝×2×2×3＝6（cm2）．

故选：B．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

4、B

【分析】

根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析

【详解】

解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；

C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

故选B

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．

5、C

【分析】

据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（x，y），然后直接作答即可．

【详解】

解：根据中心对称的性质，可知：点P（3，1）关于原点O中心对称的点的坐标为（3，1）．

故选：C．

【点睛】

本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．

6、D

【分析】

根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理计算即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠B+∠ADC=180°，

∵∠ADC=130°，

∴∠B=50°，

由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=100°，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

7、B

【分析】

根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得⊙C 与AB的位置关系

【详解】

解：连接,

，点O为AB中点．

CO为⊙C的半径，

是的切线，

⊙C 与AB的位置关系是相切

故选B

【点睛】

本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．

8、D

【分析】

首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．

【详解】

解：连接OA，OB，

∵PA，PB为⊙O的切线，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∵∠ACB=70°，

∴∠AOB=2∠P=140°，

∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．

故选：D．

【点睛】

此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．

9、D

【分析】

根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．

【详解】

解：A、（﹣5，0）与（0，5）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故A错误；

B、（0，2）与（2，0）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故B错误；

C、（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）关于x轴对称，故C错误；

D、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故D正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

10、D

【分析】

根据题意先求出弦AC的长，再过点O作OB⊥AC于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可．

【详解】

解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，

∴AC=8-2=6厘米，

过点O作OB⊥AC于点B，

则AB=AC=×6=3厘米，

设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，

在Rt△AOB中，

OA2=OB2+AB2，即r2=（r-2）2+32，

解得r=厘米．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

二、填空题

1、6

【分析】

如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，证明△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，再求出圆的半径即可．

【详解】

解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．

∵正六边形ABCDEF，

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，

∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，

∵的周长为，

∴的半径为，

正六边形的边长是6；

【点睛】

本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定和性质等知识，明确正六边形的边长和半径相等是解题的关键．

2、4

【分析】

连接OB、OC，由题意易得∠BOC=60°，则有△BOC是等边三角形，然后问题可求解．

【详解】

连接OB、OC，如图所示：

∵∠A=30°，

∴∠BOC=60°，

∵OB=OC，

∴△BOC是等边三角形，

∵，

∴，即⊙O的半径为4．

故答案为：4．

【点睛】

本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

3、以点为圆心，8厘米长为半径的圆

【分析】

由题意直接根据圆的定义进行分析即可解答．

【详解】

到点的距离等于8厘米的点的轨迹是：以点为圆心，2厘米长为半径的圆．

故答案为：以点为圆心，8厘米长为半径的圆．

【点睛】

本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键，注意掌握圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合．

4、5    (4，0)   

【分析】

（1）根据点M在线段AB的垂直平分线上求解即可；

（2）点P在⊙M切点处时，最大，而四边形OPMD是矩形，由勾股定理求解即可．

【详解】

解：（1）∵⊙M为△ABP的外接圆，

∴点M在线段AB的垂直平分线上，

∵A(0，2)，B(0，8)，

∴点M的纵坐标为：，

故答案为：5；

（2）过点，，作⊙M与x轴相切，则点M在切点处时，最大，

理由：

若点是x轴正半轴上异于切点P的任意一点，

设交⊙M于点E，连接AE，则∠AEB=∠APB，

∵∠AEB是ΔAE的外角，

∴∠AEB>∠AB，

∵∠APB>∠AB，即点P在切点处时，∠APB最大，

∵⊙M经过点A(0，2)、B(0，8)，

∴点M在线段AB的垂直平分线上，即点M在直线y=5上，

∵⊙M与x轴相切于点P，ＭP⊥x轴，从而MP=5，即⊙M的半径为5，

设AB的中点为D，连接MD、AM，如上图，则MD⊥AB，AD=BD=AB=3，BM=MP=5，

而∠POD=90°，

∴四边形OPMD是矩形，从而OP=MD，

由勾股定理，得

MD=，

∴OP=MD=4，

∴点P的坐标为(4，0)，

故答案为：(4，0)．

【点睛】

本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键．

5、

【分析】

根据阴影部分面积等于以为直径的2 个半圆的面积加上减去为半径的半圆面积即．

【详解】

解：在中，，

，

．

故答案为：

【点睛】

本题考查了勾股定理，求扇形面积，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．

三、解答题

1、（1）见解析；（2）4

【分析】

（1）连接OB，证明△AOB≌△AOC（SSS），可得∠ACO＝∠ABO＝90°，即可证明AC为⊙O的切线；

（2）在Rt△BOD中，勾股定理求得BD，根据sinD＝＝，代入数值即可求得答案

【详解】

解：（1）连接OB，

∵AB是⊙O的切线，

∴OB⊥AB，

即∠ABO＝90°，

∵BC是弦，OA⊥BC，

∴CE＝BE，

∴AC＝AB，

在△AOB和△AOC中，

，

∴△AOB≌△AOC（SSS），

∴∠ACO＝∠ABO＝90°，

即AC⊥OC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）在Rt△BOD中，由勾股定理得，

BD＝＝2，

∵sinD＝＝，⊙O半径为2，OD＝4．

∴＝，

解得AC＝2，

∴AD＝BD+AB＝4．

【点睛】

本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．

2、

（1）中心

（2）见解析

【分析】

（1）利用中心对称图形的意义得到答案即可；

（2）①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠，是轴对称图形；

②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形．

（1）

图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是中心对称图形，

故答案为：中心；

（2）

如图2是轴对称图形而不是中心对称图形；

图3既是轴对称图形，又是中心对称图形．

【点睛】

本题考查利用旋转或轴对称设计方案，关键是理解旋转和轴对称的概念，按要求作图即可．

3、（1），，将三等分；（2）见解析；（3）

【分析】

（1）根据题意即可得；

（2）先证明与全等，然后根据全等的性质可得，再由圆的切线的性质可得，可得三个角相等，即可证明结论；

（3）连，延长与相交于点，由（2）结论可得，再由切线的性质，，然后利用勾股定理及线段间的数量关系可得，最后利用相似三角形的判定和性质求解即可得．

【详解】

解：（1），，将三等分，

故答案为：；，将三等分，

（2）证明：在与中，

，

，

．

，

是的切线．

、都是的切线，

，

，

，将三等分．

（3）如图，连，延长与相交于点，

由（2），知．

是的切线，

，

，．

∵半径，

∴由勾股定理得，在中，

，，

．

∵，

，

，

，即，

．

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的切线的性质，勾股定理等，理解题意，结合图形综合运用这些知识点是解题关键．

4、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半

【分析】

（1）根据按步骤作图即可；

（2）根据圆周角定理进行证明即可

【详解】

解：（1）如图所示，

（2）证明：连接PC，BD

∵AB＝AC，

∴点C在⊙A上

∵BC＝BD，

∴∠BAC=∠BAD

∴∠BAC＝∠CAD

∵点D，P在⊙A上，

∴∠CPD＝∠CAD（圆周角定理） （填推理的依据）

∴∠APC＝∠BAC

故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半

【点睛】

本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．

5、

（1）图见解析，点的坐标为

（2）图见解析，4

【分析】

（1）根据题意，腰长为无理数且为以AB为底的等腰三角形，只在第二象限，作图即可确定点，然后写出点的坐标即可；

（2）现确定旋转后的点，然后依次连接即可，根据旋转前后三角形的面积不变，利用表格及勾股定理确定三角形的底和高，即可得出面积．

（1）

解：如图所示，点的坐标为；

，为无理数，符合题意；

（2）

如图所示：点的坐标，点的坐标为，

∵旋转180°后的的面积等于的面积，

，

∴，

∴的面积为4．

【点睛】

题目主要考查等腰三角形的定义及旋转图形的作法，理解题意，熟练掌握在坐标系中旋转图形的作法是解题关键．